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华师大二附中2013届高三数学周测



华师大二附中 2013 届高三数学周测十三
一、填空题(本大题满分为 56 分)本大题共 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分.

1. 若无穷等比数列 {a n } 的各项和等于 a12 ,则 a1 的取值范围是 _________
2. 已 知 a ? ( ?2, ?1), b ? (? , 1) , 若 a 与 b 夹 角 为 钝 角 , 则 实 数 __________________.

?

?

?

? 取值范围是

3. 设 A ? ( x, y ) ( x ? y ) x ? 0 , _________________. 4.复数 z 满足 z ? 3 ? 3i ?
n

?

?

B ? ( x, y ) y ? 1

?

? , 则 A? B 用 列 举 法 可 表 示 为

3 ,设 z max ? m, z min ? n ,则 m ? n ? __________.

3? ? 5. 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,各项系数之和为 A, 各项二项式系数之和为 B, 且 x? ?

A ? B ? 72 ,则展开式中常数项的值为__________.
6.已知函数 f ( x) ? A cos (?x ? ? ) ? 1 ( A ? 0,
2

? ? 0) 的最大值为 3, f ( x) 的图像与 y 轴

的交点坐标为 (0, 2) ,其相邻两条对称轴间的距离为 2 ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? ____________.

x
7. 已知 a ? b , 则关于 x 的方程 a ? b?c,

b?c a?b?c a a ? b ? c ? 0 的解集为________. a ?b

x

a ?b a ?c
8. 函数 y ?

2x ? 5 ( x ? A)的值域是 ? ??, 0? ? ? 4, ? ? ? ,则集合A=___________. x ?3

9. 在 ?ABC 中 , 已 知 b ? 2 2 , a ? 2 , 如 果 三 角 形 有 解 , 则 ?A 的 取 值 范 围 是 ___________________. 10.甲、乙两队比赛,每局甲胜的概率为

1 1 ,乙胜的概率也是 ,则在一次五局三胜制的比 2 2

赛中,甲队以 3:1 获胜的概率是_______. 11.设函数 f ( x) ?

1 ,点 A? 表示原点,点 An (n, f (n)) ( n ? N ? ) , ? n 是向量 a 与向量 x?2 ?? ? ????? ???? ? ? ????? ? ?????? ? ? ? i ? (1, 0) 的夹角, an ? A0 A1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An ?1 An ,
n ??

设 Sn ? tan ?1 ? tan ? 2 ? tan ?3 ? ? ? tan ? n ,则 lim S n ? _________ .

1

12.已知 f ( x) ?
2010

1 a?b abx ? log 3 (3 x ? 1) 为偶函数, g ( x) ? 2 x ? x 为奇函数,其中 a, b 为 2 2
k

复数,则

? (a
k ?1

? b k ) 的值是_________.

13. 已 知 函 数 y = f ( x) 的 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 , 且 对 任 意 x ∈ R , 都 有 若向量 a ? (log 1 m, ? 1), b ? (1,?2) , 则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) f ( 1- x )= f ( 1 + x, )
2

的实数 m 的取值范围是 14.有下列四个命题:



(1)一定存在直线 l ,使函数 f ( x) ? lg x ? lg 关于直线 l 对称; (2)不等式: arcsin x ? arccos x 的解集为 ?

1 的图像与函数 g ( x) ? lg(? x) ? 2 的图像 2

? 2 ? ,1? ; 2 ? ?

(3)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? (?1) n , n ? N ? ,则数列 ? an ? 一定是等比数列; (4)过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的任意一点 M ( x? , y? ) 的切线方程一定可以表示为
2

y0 y ? p( x ? x0 ) .
则正确命题的序号为_________________. 二、选择题: (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只 有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一 律得零分. 15.方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线是( sin(192010 )? cos(192010 )?

).

( A ) 双曲线 ( B ) 焦点在 x 轴上的椭圆 ( C ) 焦点在 y 轴上的椭圆 ( D ) 以上答案都不正确 16.长度分别为 2、x、x、x、x、x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是 ( ). ( A) x ?

2 3 3

(B)

3 ?x?2 3

(C )

3 2 3 ?x? 3 3

(D) x ?1

17.给定正数 a, b, c, p, q ,其中 p ? q ,若 p, a, q 成等比数列, p, b, c, q 成等差数列,则关 于 x 的一元二次方程 bx2 ? 2ax ? c ? 0 ( ( A ) 有两个相等实根
2

). ( B ) 有两个相异实根

( C ) 有一个实根和一个虚根 ( D ) 有两个共轭虚根 18.有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任 意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任 意分成两堆, 求出这两堆小球球数的乘积, 直到不能再分为止, 则所有乘积的和为 ( ) . ( A ) n! (B)

n ? n ? 1? 2

(C )

n ? n ? 1? 2

( D ) nn

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解题时要写出必要的解题过程. 19.(本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) O' 如图, AB 是圆柱体 OO? 的一条母线, BC 过底面圆的圆心 A 已知棱 AB ? 5 , O ,D 是圆 O 上不与点 B 、C 重合的任意一点, BC ? 5 , CD ? 3 . (1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 转动一周,求 ?ACD 的三边在旋 O B 转过程中所围成的几何体的体积.
D

C
a

20.(本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 设全集 U ? R ,关于 x 的不等式 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 ( a ? R )的解集为 A . (1)分别求出当 a ? 1 和 a ? 3 时的集合 A ; (2)设集合 B ? ? x

? ?

? ? ? 3 sin(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 0 ? ,若 (CU A) ? B 中有且只有三 6 6 ?

个元素,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 16 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 10 分) 如图, 已知点 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心, 线段 DE 经过点 G , 并绕点 G 转 动,分别交边 AB 、 AC 于点 D 、 E ;设 AD ? m AB , AE ? nAC ,其中

????

??? ?

??? ?

????

A

0 ? m ? 1 , 0 ? n ? 1. 1 1 (1)求表达式 ? 的值,并说明理由; m n (2)求 ?ADE 面积的最大和最小值,并指出相应的 m 、 n 的值.
B

E D F G C

22.(本题满分 16 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 f ? x ? ?
1 , 对于n ? N? ,定义 f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ?1 ? x ? ? f ? ? f n ? x ?? ? ,偶函数 g ? x ? 的 1? x

定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? ,当 x ? 0 时, g ?x ? ? f 2012 ?x ? 。 (1) (满分 6 分)求 g ? x ? ; (2) (满分 10 分) 若存在实数 a, b ? a ? b ? 使得 g ? x ? 在 ? a, b ? 上的最大值为 ma , 最小值为 mb , 求非零实数 m 的取值范围。
3

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)
2

若数列 ? an ? 满足:a1 ? m1 , a2 ? m2 , an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p, q 是常数) , 则称数列 ? an ? 为 二阶线性递推数列,且定义方程 x ? px ? q 为数列 ? an ? 的特征方程,方程的根称为特 征根; 数列 ? an ? 的通项公式 an 均可用特征根求得: ①若方程 x ? px ? q 有两相异实根 ? , ? ,则数列通项可以写成 an ? c1? n ? c2 ? n , (其
2

中 c1 , c2 是待定常数) ; ②若方程 x ? px ? q 有两相同实根 ? , 则数列通项可以写成 an ? (c1 ? nc2 )? n , (其中
2

c1 , c2 是待定常数) ; 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an .
根据上述结论求下列问题: (1)当 a1 ? 5, a2 ? 13 , an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an ( n ? N ? )时,求数列 ? an ? 的通项公式; (2)当 a1 ? 1, a2 ? 11 , an ? 2 ? 2an ?1 ? 3an ? 4 ( n ? N ? )时,求数列 ? an ? 的通项公式;
1 2 n ( 3 )当 a1 ? 1, a2 ? 1 , an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N ? )时,记 Sn ? a1Cn , ? a2Cn ? ? ? anCn

若 S n 能被数 8 整除,求所有满足条件的正整数 n 的取值集合.

4

华师大二附中 2013 届高三数学周测(13)答案
一、填空题: ( 14 × 4 = 56 分)

1 ( ,1) ? (1,??) ? 1 ? 1、 2 ;2、 ? ? , 2 ? ? ? 2, ?? ? ;3、 ??1,1? , ? 0,1? , ? 0, ?1?? ;4、 9 ;5、 9 ; ? 2 ?
6、 4019 7、 ?a ? b ? c? ;8、 ? ,3 ? ? ? 3, ? ;9、 ? 0, ? ;10、 ;11、 16 4 ?2 ? ? 2? ? 4?
1 (0, ) ? (8,??) 12、 0 ;13、 2 ;14、 (3) (4)

?5

? ?

7?

?

??

3

3

二、选择题: ( 4 × 5 = 20 分) 15—18: C A D B 三、解答题: (满分 74 分) 19、解:因为点 D 在以 BC 为直径的圆上,所以 BD ? DC ,……………2 分 因为 AB ? 平面BDC , DC ? 平面BDC ,所以 AB ? DC , 从而有 CD ? 平面ABD ………………………………4 分 所以 ?CAD 为直线 AC 与平面 ABD 所成的角,在 Rt ?ADC 中, sin ?CAD ?

CD AC

?

3 3 2 3 2 ? ,所以 ?CAD ? arcsin , 10 10 50
3 2 。………………………………6 分 10

即直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 arcsin

(2)由题意可知,所求体积是两个圆锥体的体积之差,

1 1 V ? V圆锥ABC ? V圆锥ABD ? ? ? 52 ? 5 ? ? ? 42 ? 5 3 3 ? 125? 80? ? ? 15? , 3 3

故所求体积为 15? ………………………………12 分 20、解: (1)当 a ? 1 时, A ? ? ??, ?3? ? ? ?1, ?? ? …………………3 分 当 a ? 3 时, A ? R ………………………………………………………6 分

5

(2)由 x ? 2 ? a ? 2 ? 0 可以得到: x ? 2 ? 2 ? a . 当 a ? 2 ,解集是 R ; 当 a ? 2 时,解集是 x x ? a ? 4或x ? ? a ………………………………8 分 (i)当 a ? 2 时, CU A ? ? ,不合题意; (ii)当 a ? 2 时, CU A ? x a ? 4 ? x ? ? a ………………………………10 分 因 3 sin(? x ? = 2 sin ?x 由 sin ?x ? 0 ,得 ?x ? k? (k ? Z ) ,即 x ? k ? Z ,所以 B ? Z ……………12 分

?

?

?

?

?

? ? ? ? ?? ? ) ? cos(? x ? ) ? 2 ?sin(? x ? ) cos ? cos(? x ? ) sin ? 6 6 6 6 6 6? ?

a?2 ? ? 当 (CU A) ? B 有 3 个元素时, a 就满足 ? ?4 ? a ? 4 ? ?3, ? ?1 ? ? a ? 0 ?
可以得到:

0 ? a ? 1………………………………………………14 分

21、解:解: (1)如图延长 AG 交 BC 与 F,?G 为△ABC 的中心

1 1 AB ? AC 2 2 2 ? AD ? m AB , AE ? n AC , AG ? AF 3 3 1 1 1 1 AD ? AE 即 AG ? AD ? AE ………………………………3 分 ? AG ? 2 2m 2n 3m 3n ?D、G、E 三点共线 A 1 1 ? ?1 ? 3m 3n 1 1 故 ? =3 ………………………………6 分 m n G D (2)?△ABC 是边长为 1 的正三角形,

?F 为 BC 的中点,则有 AF ?

E

B

F

C

? AD ? m , AE ? n


?S ?ADE =

3 mn…………………8 分 4

1 1 ? =3,0<m ? 1,0<n ? 1 m n m 1 1 ,1 ? 即 ? m ? 1 。…………………10 分 ?2 ?n= 3m ? 1 m 2

6

3 3 m2 mn= ?S ?ADE = 4 4 3m ? 1
设 t=m-

1 1 1 2 则 m=t+ ( ? t ? ) 3 3 6 3
3 3 1 2 mn= (t+ + )…………………12 分 4 12 9t 3

?S ?ADE =

易知 f ?t ? ? t ?

1 ?1 1? ?1 2 ? 在 ? , ? 为减函数,在 ? , ? 为增函数。 9t ? 6 3 ? ?3 3 ?

1 2 2 ?t= ,即 m ? n ? ,时, f ?t ? 取得最小值 , 3 3 3
即 S ?ADE 取得最小值

3 …………………14 分 9

又 f? ?? f? ??

?1? ?6?

?2? ?3?

5 5 ,? f ?t ? 取得最大值是 , 6 6
3 1 2 1 ,此时 m ? , n ? 或 m ? 1, n ? …………………16 分 8 2 5 2

则 S ?ADE 取得最大值

22、解: (1)因为 1 1 x ?1 1 f1 ? x ? ? f ? x ? ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? , f3 ? x ? ? f ? ?x ? f 2 ? x ?? ?? 1 x ?1 1? x x 1? 1? 1? x x

f 4 ?x ? ? f ? f 3 ?x ?? ?

1 xx ?? 11 ?x ?x ?? ?x ?? , 所以迭代函数以3为周期,f 2009 f 2012 ??f 2 f? ?? 2x 1? x xx
?x ?1 1 ? 1? , ?x x

设 x ? 0, 则 ? x ? 0, g ? x ? ? g ? ? x ? ?

? 1 ?1? x , x ? 0 ? 所以 g ? x ? ? ? …………………(6 分) ?1? 1 , x ? 0 ? x ? 图象如右:

(2)因为 a ? b, ma ? mb ? 0 ? m ? 0, a ? b ? 0 ;…………………………(8 分) 又因为 mb ? 0 ,所以 ? 1 ? [a, b] (否则 m ? 0, mb ? ma ? 0 ,矛盾)

7

? 1 1 ? ? ma ? 1 ? 当 a ? b ? ?1, 则f ? x ? ? 1 ? 在(??, ?1]上是减函数? 由题意 ? a x ?1 ? 1 ? mb ? ? b 1 1 1 所以 a, b是方程1 ? ? mx的两不同实根, ? x2 ? x ? ? 0在? ??, ?1? 有两个不同实根, x m m 1 4 ? ?? ? m 2 ? m ? 0 ? 1 1 1 ? 分 14 ) ?15 ? ? g ? ?1? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? m ? 0????( m m 4 ? ? 1 ? 2 m ? ?1 ?
1 ? ?1 ? ? mb ? 1 ? a 当 ? 1 ? a ? b ? 0时, 则f ? x ? ? ?1 ? 在(?1, 0)上是增函数,由题意 ? 1 x ??1 ? ? ma ? b ? ? a ? b不合.

1 综上所述 ? ? m ? 0 。…………(16 分) 4

23、解: (1)由 an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an 可知特征方程为:

x 2 ? 5x ? 6 ? 0 , x1 ? 2, x2 ? 3 …………………3 分
所以 设 an ? c1 ? 2n ? c2 ? 3n ,由 ?

? c1 ? 2 ? c2 ? 3 ? 5 得到 c1 ? c2 ? 1 , ?c1 ? 4 ? c2 ? 9 ? 13

所以

an ? 2n ? 3n ; …………………6 分

(2)由 an ? 2 ? 2an ?1 ? 3an ? 4 可以得到 (an ? 2 ? 1) ? 2(an ?1 ? 1) ? 3(an ? 1) 设 bn ? an ? 1 ,则上述等式可以化为: bn? 2 ? 2bn?1 ? 3bn …………………8 分

b1 ? a1 ? 1 ? 2, b2 ? a2 ? 1 ? 12 ,所以 bn?2 ? 2bn?1 ? 3bn 对应的特征方程为:
x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , x1 ? ?1, x2 ? 3 …………………10 分

所以令

7 ? c1 ? ? ? 6 bn ? c1 ? 3n ? c2 ? (?1) n ,由 b1 ? 2, b2 ? 12 可以得出 ? ?c ? 3 2 ? ? 2

8

所以 bn ? 即

7 n 3 n ? 3 ? ? ? ?1? …………………11 分 6 2

7 3 n an ? ? 3n ? ? ? ?1? ? 1, n ? N ? …………………12 分 6 2

n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ?? ? , n ? N ? ………14 分 (3)同样可以得到通项公式 an ? ?? ? ? ? ? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
1 2 3 n 所以 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? ? ? anCn

1 1 2 2 3 3 1 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 2 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 3 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? Cn ?? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? 5 Cn ?? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? 5 Cn ?? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 5 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? n n 1 n ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? Cn ?? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 ? 5 ?? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? 5 ? 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? C ? C ? ? ? C ? ? ? ? ? ? n n n ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ] 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? 5 ? 2 1? 5 3 1? 5 n 1? 5 ? [Cn ? ? C ? C ? ? ? C ? ? ? ? ? ? n n n ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ] 5 ? ? ? ? ? ? ? ?
n n n n 1 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 ? 2 ? ? ? ? 5 ?? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 5 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? n n 1 ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ?? ? , n ? N ? …………………14 分 Sn ? ?? ? ? ? ? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

1

2

3

n

1

2

3

n



Sn ? 2

1 ?? 3 ? 5 ? ?? ? ? 2 ? 5 ?? ? ? ?

n?2

? 3? 5 ? ?? ? 2 ? ? ? ?

n?2

? 1 ?? 3 ? 5 ?n ?1 ? 3 ? 5 ?n ?1 ? ?? ?? ? ? ?? ? 2 ? ? ?? 2 ? 5 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

n n ? ? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 3 ? 5 ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 3Sn ?1 ? Sn


Sn? 2 ? 3Sn?1 ? Sn , n ? N ? …………………16 分

因此 Sn ? 2 除以 8 的余数,完全由 S n ?1 , S n 除以 8 的余数确定,

9

因为 a1 ? 1, a2 ? 1

所以

1 S1 ? C1 a1 ? 1 ,

1 2 S2 ? C2 a1 ? C2 a2 ? 3 , S3 ? 3S2 ? S1 ? 9 ? 1 ? 8 ,

S4 ? 3S3 ? S2 ? 24 ? 3 ? 21, S5 ? 3S4 ? S3 ? 63 ? 8 ? 55 , S6 ? 3S5 ? S4 ? 165 ? 21 ? 144 , S7 ? 3S6 ? S5 ? 432 ? 55 ? 377 , S8 ? 3S7 ? S6 ? 1131 ? 144 ? 987 , S9 ? 3S8 ? S7 ? 2961 ? 377 ? 2584 ,
由以上计算及 Sn ? 2 ? 3Sn ?1 ? Sn 可知,数列 ? S n ? 各项除以 8 的余数依次是:

1, 3, 0, 5, 7, 0,1, 3, 0, 5, 7, 0, ??, 它是一个以 6 为周期的数列,从而 S n 除以 8 的余数等价
于 n 除以 3 的余数,所以 n ? 3k , k ? N ? , 即所求集合为: n n ? 3k , k ? N ? …………………18 分

?

?

10



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