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第8章 第5节椭圆一轮复习



必 考 部 分

第八章 解析几何

第五节

椭圆的离心率


目 导 航
02
课堂·难点考点


01

课前·基础对接


固本清

分层突

r /> 必考部分 第八章 解析几何

01

课前·基础对接


固本清

1.椭圆的定义

条件 平面内的动点M与平面内的两个 定点F1,F2 |MF1|+|MF2|=2a 2a>|F1F2|

结论1
M点的轨 迹为椭圆

结论2
F1,F2 为椭圆的焦点 __________ |F1F2| 为椭圆的焦距 __________

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必考部分 第八章 解析几何

2.椭圆的标准方程和几何性质

图形

标准方程 范围 对称性

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

a -a ≤x≤____ ____ b -b≤y≤____ ____

b -b ≤x≤____ ____ a -a ≤y≤____ ____

性 质

坐标轴 对称轴:__________ 原点 对称中心:__________
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必考部分 第八章 解析几何

图形

顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c的关系
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(a,0) (-a,0) ,A2__________ (0,-a) ,A2__________ (0,a) A1__________ A1__________ (0,b) B1__________ B1__________ (b,0) (0,-b) ,B2__________ (-b,0) ,B2__________ 2a 2b 长轴A1A2的长为____ 短轴B1B2的长为____
|F1F2|=2c c (0,1) e=a∈__________ b2+c2 a2=__________
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必考部分 第八章 解析几何

1.(思考辨析)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )

(2) 动 点 P 到 两 定 点 A(0 , - 2) , B(0,2) 的 距 离 之 和 为 4 , 则 点 P 的 轨 迹 是 椭
圆.( × ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × ) (4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.( √ )

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必考部分 第八章 解析几何

x2 y2 (文科)2. 导学号94951743 (2015· 广东卷)已知椭圆 25 + m2 =1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则m=( B ) A.2 C.4 B.3 D.9

解析:由题意得:m2=25-42=9,因为m>0,所以m=3,故选B.

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必考部分 第八章 解析几何

x2 y2 5. 导学号94951747 已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的两个焦 1 2 点,若椭圆上一点P满足|PF1|+|PF2|=4,则椭圆的离心率e=________.

c 解析:由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4,所以2a=4,解得a=2,又c=1,所以e= a 1 =2 .

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必考部分 第八章 解析几何

考点一 椭圆的定义及标准方程(自主完成)

1 . 求椭圆的标准方程时 , 应从 “ 定形 ”“ 定式 ”“ 定量 ” 三个方面去思 考.“定形”就是指椭圆的对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,能否确 定椭圆的焦点在哪个坐标轴上 ,“ 定式 ” 就是根据 “ 形 ” 设出椭圆方程的具体形 式,“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a,b或m,n.

2.椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是
利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 3 . 利 用 定 义 和 余 弦 定 理 可 求 得 |PF1|·|PF2| , 再 结 合 |PF1|2 + |PF2|2 = (|PF1| +

|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|进行转化,可求焦点三角形的周长和面积.
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必考部分 第八章 解析几何

x2 y2 1. 导学号94951748 (2014· 大纲版全国卷)已知椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)的左、 3 右焦点为F1,F2,离心率为 3 ,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为 4 3,则C的方程为( A ) x2 y2 A. 3 + 2 =1 x2 2 B. 3 +y =1

x2 y2 x2 y2 C.12+ 8 =1 D.12+ 4 =1 3 c 解析:由椭圆定义可知,4a=4 3,∴a= 3,又e=a= 3 ,
2 2 x y ∴c=1.∴b2=a2-c2=2,故C的方程为 3 + 2 =1.

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2. 导学号94951749 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆 在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( D ) x 2 y2 A.64-48=1 x2 y2 C.48-64=1 x2 y2 B.48+64=1 x2 y2 D.64+48=1

解析:设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8, x2 y2 故所求的轨迹方程为64+48=1.

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必考部分 第八章 解析几何

02

课堂·难点考点


分层突

考点二 椭圆的几何性质(师生共研)
2 2 x y [典例 ] 导学号 94951752 (2016· 广州二模)设 F1,F2 分别是椭圆 C : 2+ 2=1(a>b a b

>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,∠PF1F2=30°,则 椭圆的离心率为( A ) 3 A. 3 1 C. 3
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B.

3 6

1 D. 6
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必考部分 第八章 解析几何

解析: 如图,设PF1的中点为M,连接PF2. 因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线. 所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90° . 因为∠PF1F2=30° ,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|= |PF1|2-|PF2|2= 3|PF2|, 3|PF2| 由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a= ,2c=|F1F2|= 2 3|PF2| 3|PF2| 2 3 c 2 ,则e=a= 2 · 3|PF2|= 3 .故选A. 3 |PF2|?c=

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必考部分 第八章 解析几何

[延伸探究1] 5 3 本例条件变为“若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,且cos α= 5 ,sin(α+β)=5”,则 5 椭圆的离心率为________ . 7
5 2 5 3 4 解析:∵cos α= 5 ?sin α= 5 .sin(α+β)=5?cos(α+β)=-5. 11 5 ∴sin β=sin[(α+β)-α]= 25 .设|PF1|=r1,|PF2|=r2. r1 r2 2c r1+r2 2c 5 c 由正弦定理得 = = ∴ = ?e=a= 7 . 11 5 2 5 3 21 5 3 5 5 25 5 25

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必考部分 第八章 解析几何

[延伸探究3]
?1 ? 本 例 条 件 变 为 “ P 到 两 焦 点 的 距 离 之 比 为 2∶1” , 则 离 心 率 范 围 为 ? ,1? ________ . ?3 ?

解析:设P到两个焦点的距离分别为2k,k,根据椭圆定义可知:3k=2a,又结合 椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k≤2c, 1 ∴2a≤6c,即e≥3. 1 又∵0<e<1,∴3≤e<1.

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必考部分 第八章 解析几何

x2 y2 1 . 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系 , 例如对椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 有- a b a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最 大值或最小值时,经常用到这些不等关系. 2.求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析 ,既使不画出图形,思 考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它 们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.

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x2 1. 导学号94951754 已知点A(0,2)及椭圆 4 +y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值 2 21 为________ . 3
2 解析:设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,∴|PA|2=x2 0+(y0-2) .

? 2?2 28 x2 0 2 2 2 2 2 ∵ 4 +y0=1,∴|PA| =4(1-y0)+(y0-2) =-3y0-4y0+8=-3?y0+3? + 3 . ? ?

2 2 28 2 21 2 ∵-1≤y0≤1,而-1<-3<1,∴当y0=-3时,|PA|max= 3 ,即|PA|max= 3 .

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2 2 x y 2. 导学号 94951755 (2014·江西卷) 设椭圆 C : 2+ 2=1(a>b>0) 的左右焦点为 a b 3 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD 3 ? b2? c, a ? , 解析:法一: 不妨设 A在x轴上方 ,由于 ⊥F 的离心率等于 ________ .AB过F2且垂直于x轴,因此可得A ? 1B,则椭圆 C ? ?

? ? ? b2 ? 3b2? b2? → B ?c,- a ? ,由OD∥F2B,O为F1F2的中点可得D ?0,-2a? ,所以 AD = ?-c,- 2a ? , ? ? ? ? ? ?
4 b2? 3 b → ? → → F1B = ?2c,- a ? ,又AD⊥F1B,所以 AD · F1B =-2c2+ 2a2 =0,即3b4=4a2c2,又b2=a2

?

?

3 -c ,所以可得 3(a -c )=2ac,两边同时除以a ,得 3e +2e- 3=0,解得e= 3 或
2 2 2 2 2

3 - 3,又e∈(0,1),故椭圆C的离心率为 3 .
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必考部分 第八章 解析几何

法二:连接AF1,∵OD∥AB,O为F1F2的中点, ∴D为BF1的中点. 又AD⊥BF1,∴|AF1|=|AB|. ∴|AF1|=2|AF2|. 设|AF2|=n,则|AF1|=2n,|F1F2|= 3n. |F1F2| 3n 3 c ∴e=a= = =3. |AF1|+|AF2| 3n

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考点三 直线与椭圆的位置关系(师生共研)
x2 y2 [典例] 导学号94951756 (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C: a2 + b2 =1(a >b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直;直线MF1与C的另一个交点为N. 3 (1)若直线MN的斜率为4,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

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必考部分 第八章 解析几何

b2 2? ? a 3 b 2 2 ? ? 解:(1)根据c= a -b 及题设知M c, a ,2c=4, ? ? 得2b2=3ac. c 1 c 将b =a -c 代入2b =3ac,解得a=2或a=-2(舍去).
2 2 2 2

1 故C的离心率为2.

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必考部分 第八章 解析几何

(2)设直线MN与y轴的交点为D,由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以 b2 直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故 a =4,即b2=4a. 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,
? ?2?-c-x1?=c, 则? ? ?-2y1=2,



3 ? ?x1=- c, 2 即? ? ?y1=-1.

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必考部分 第八章 解析几何

9c2 1 代入C的方程,得4a2+b2=1.
2 9 ? a -4a? 1 2 2 将①及c= a -b 代入②得 4a2 +4a=1.



解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2 7.

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必考部分 第八章 解析几何

1.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤 第一步:确定直线与椭圆的方程; 第二步:联立直线方程与椭圆方程; 第三步:消元得出关于x(或y)的一元二次方程; 第四步:当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时, 直线与椭圆相离.

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2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2]=
2 2

? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2](k为直线斜率). k? ?

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必考部分 第八章 解析几何

导学号94951757 (2016· 烟台一模)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为 1 2,离心率为2. (1)求椭圆C的方程; → → (2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若 AM =2 MB ,求直线l的方 程.

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必考部分 第八章 解析几何

1.求椭圆的标准方程时,应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考. 2.离心率问题是椭圆的几何性质的重点,求离心率的常用方法有以下两种: c (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; a (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2=a2-c2,消去 b,转化 成关于 e 的方程(或不等式)求解. 3.解决直线与椭圆位置关系问题,常利用代数法,讲直线方程与椭圆方程联立, 消去一个未知数,转化为一元二次方程求解,注意直线斜率是否存在.

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课后跟踪训练(五十二)(理) 课后跟踪训练(四十七)(文)

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