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2016年皖北卫生职业学院单招数学模拟试题(附答案)



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2016 年皖北卫生职业学院单招数学模拟试题(附答案)
1. 函数 y= x ? 3 ? 4 (1 ? x ? 4) 的值域是( A. ? ?3, 4? 2.
2.998 6

C

) D. ? ?4, ?? ?

B. ??4, ?3?

r />C. ? ?4, ?2?

的近似值(精确到小数后第三位)为 (A) B. 724.089 C. 726.098

A. 726.089 D. 726.908 3. 给定集合 A、B ,定义 (A) A. 15 B.

A ※ B ? { x | x ? m ? n , m ? A , n ? B } .若

A ? { 4 , 5 , 6 } , B ? { 1 , 2 , 3 } ,则

集合

A※ B

中的所有元素之和为

14

C.

27

D.

-14

4. 已知函数 f ( x) ? logsin 1 ( x2 ? 6 x ? 5) 在 (a, ??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (D) A. (5,+∞) B. (3,+∞) C. (-∞,3) D. [ 5 ,
?? )

5. 函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ?

f ?( x) 的图象大致是

y
f(x)

y x O
A (D)

f ?( x )

f ?( x )

y O
B

y x O

f ?( x )

y O
f ?( x)

O

x

x

x

C

D

6. 已知函数 f ( x) = x ? a , g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a 为正常数),且函数 f ( x) 与

g ( x) 的图象在 y 轴上的截距相等.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) - g ( x) 的单调递增区间.

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解答:(1)由题意 f (0) ? g (0) , a =1又 a>0,所以 a=1. (2) f ( x) ? g ( x )= x ?1 ? ( x2 ? 2x ? 1),当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) = ? x2 ? x ? 2 , 无递增区间;当 x<1时, f ( x) ? g ( x) = ? x 2 ? 3x ,它的递增区间是 ( ?? ,? ] . 综上知: f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间是 ( ?? ,? ] . 7. 有一批产品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品 不能出厂,已知每项指标抽检是相互独立的,每项指标抽检出现不合格品的概 率都是 0.2 。 (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数学) (2)求直至五项指标全部检验完毕,才能确定该批产品是否出厂的概率(保留三 位有效数学)
1 解答: (1)这批产品不能出厂的概率是: P ? 1 ? 0.85 ? C5 ? 0.84 ? 0.2 ? 0.263
1 3 五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是: P 1 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 1 3 五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是: P 2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.2

3 2

3 2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知:五项指标全部检验完毕才能确定这批产
1 3 品是否可以出厂的概率是 P ? P 1?P 2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.4096

8. 如图已知四棱锥 P—ABCD,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,∠A=90°且 AB//CD,AB=

1 CD. 2

(1)点 F 在线段 PC 上运动,且设

| PF | ? ? ,问当? 为何值 | FC |

时,BF//平面 PAD?并证明你的结论; (2)二面角 F—CD—B 为 45°,求二面角 B—PC—D 的大小; (3)在(Ⅱ)的条件下,若 AD=2,CD=3,求点 A 到平面 PBC 的距离.

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解答:(1)当 ? ? 1 时, BF // 平面PAD. 证明:取 PD 中点 E,则 EF//CD,且 EF ? ∴四边形 ABFE 为平行四边形. (3 分) (4 分)
? ?PDA即是二面角的平

(1 分)

1 1 CD, 又AB // CD且AB ? CD, 2 2

∴BF//AE. 又 AE ? 平面 PAD ∴BF//平面 PAD (2)? PA ? 平面 ABCD, CD ? AD 面角 ?PDA ? 45? (5 分)

? CD ? PD

? ?PAD 为等腰直角三角形,? AE ? PD,? CD ? AD,? AE ? CD, ? AE ? 平面 PCD 又 BF//AE,? BF ? 平面 PCD.? BF ? 平面 PBC,
∴平面 PCD⊥平面 PBC,即二面角 B—PC—D 的大小为 90°. (8 分)

(3)在平面 PCD 内作 EH⊥PC 于点 H,由平面 PCD⊥平面 PBC 且平面 PCD ? 平面 PBC=PC 知:EH⊥平面 PBC. 在 Rt ?PCD 中, PC ? (9 分)

PD 2 ? CD 2 ? 17 ,

在 Rt?PEF中, EH ? PF ? PE ? EF, 将PE ? 2 , PF ?

17 3 , EF ? 代入得: 2 2

EH ?

3 34 3 34 . 即点 E 到平面 PBC 的距离为 . 17 17

(11 分)

又? AE // BF,? AE // 平面PBC,?点 A 到平面 PBC 的距离为

3 34 . (12 分) 17

9. 已知 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A、B、C 两点,若 B 点坐标为 ? 2, 0 ? ,且 f ? x ? 在 ? ?1,0? 和 ? 4,5? 上有相同的单调性,在

?0, 2? 和 ?4,5? 上有相反的单调性。
(1)求 c 的值; (2)在函数 f ? x ? 的图象上是否存在一点 M ? x0 , y0 ? ,使得 f ? x ? 在点 M 的切线的 斜率为 3b ?若存在,求出 M 点的坐标;若不存在,说明理由。

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(3)求 AC 的取值范围。 解答:(1)因为 f ? x ? 在 ??1,0? 和 ?0, 2? 上有相反的单调性 所以 x ? 0是f ? x ? 的一个极值点,故 f ? ? 0? ? 0 即 3ax2 ? 2bx ? c ? 0有一个解为x ? 0, (2)因为 f ? x ? 交x轴于B ? 2,0?
?8a ? 4b ? d ? 0, 即d ? ?4 ?b ? 2a ?
? c=0 …………………………2 分

令 f ? ? x ? ? 0得3ax2 ? 2bx ? 0
? x1 ? 0, x2 ? ? 2b 3a

因为在 ?0, 2? 和 ? 4,5? 上有相反的单调性
? 2b ? ?2 ? ? 3a ? ?? 2b ? 4 ? ? 3a

?

?

?6?

b ? ?3 ………………………………………………………………5 分 a

假设存在点 M ? x0 , y0 ? 使得 f ? x ? 在点 M 的切线的斜率为 3b 则 f ? ? x0 ? ? 3b,即3ax0 2 ? 2bx0 ? 3b ? 0
? ?
2 ?b ? ? ? ? 2b ? ? 4 ? 3a ? ? ?3b ? ? 4ab ? ? 9 ? a ? ? b ? 6 ? ? ?3 ? ? <0 a

故不存在点 M ? x0 , y0 ? 满足(2)中的条件。……………………………………8 分 (3)设 f ? x ? ? a ? x ? ? ?? x ? 2?? x ? ? ?
3 2 ? a? ? x ? ? 2 ? ? ? ? ? x ? ? 2? ? 2? ? ?? ? x ? 2?? ? ?

则b ? ?a ? 2 ? ? ? ? ?

?

? ?? ?? ?2

b a

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d ? ?2a??
AC ? ? ? ? ?
2

?? ? ?

d ………………………………………10 分 2a

?? ? ? ?

2

? 4??
2

? b ? 2d ?b ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2 ? ? 16 …………………………………………12 分 a ? a ? ?a ?
? ? ?6? b ? ?3 a

b 当 ? ?6时, AC max ? 4 3 a b 当 ? ?3时, AC min ? 3 a

?

3 ? AC ? 4 3 ……………………………………………………………14 分

10. 设 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数, g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对 称,且当

x∈[ 2,3 ] 时, g ( x) ? 2a ( x ? 2 ) ? 4( x ? 2 ) 3 .
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在 ( 0 , 1 ] 上为增函数,求 a 的取值范围; (3)是否存在正整数 a ,使 f ( x) 的图象的最高点落在直线 y ? 12 上?若存在,求 出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解答: (1)当 x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3;当 x

∈ ( 0 , 1 ] 时,f(x)=f(-x)=2ax-4x3, ∴ f ( x) ? ? ?
??2ax ? 4 x3 , ?1≤ x ≤ 0,
3 ? ?2ax ? 4 x , 0 ? x ≤1.

…………………………………………………4 分

(2)由题设知, f ?( x) >0 对 x∈ ( 0 , 1 ] 恒成立,即 2a-12x2>0 对 x∈ ( 0 , 1 ] 恒成立, 于是,a>6x2,从而 a>(6x2)max=6.…………………………………………………8 分

(3)因 f(x)为偶函数,故只需研究函数 f(x)=2ax-4x3 在 x∈ ( 0 , 1 ] 的最大值.

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令 f ?( x) =2a-12x2=0,得 x ? a .…………10 分
6

若 a ∈ (0,1] ,即 0<a ≤6,
6


[ f ( x)]max ? f ( a ) ? 2a ? 6 a ? 4( 6 a 3 ) ? 2a ? 6 a ≤ 12 , 6

故此时不存在符合题意的 a ; 若 a >1,即 a>6,则 f ( x) 在 ( 0 , 1 ] 上为增函数,于是 [ f ( x)]max ? f (1) ? 2a ? 4 .
6

令 2a-4=12,故 a=8. 综上,存在 a = 8 满足题设.…………………………14 分 11. 由原点 O 向三次曲线 y=x3-3ax2+b x (a≠0)引切线,切于不同于点 O 的点 P1(x1,y1),再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2(x2,y2),如此继续地作下 去,……,得到点列{ P n(x (1) 求 x1; (2) 求 xn 与 x
n+1
n

, y n)},试回答下列问题:

的关系;

(3) 若 a>0,求证:当 n 为正偶数时, xn<a;当 n 为正奇数时, xn>a. 解答:(1)由 y=x -3ax +b x,
3 2



得 y′=3x2-6ax+b. 过曲线①上点 P1(x1, y1)的切线 l1 的方程是
3 y ? ( x1 ? 3ax12 ? bx1 ) ? (3x12 ? 6ax1 ? b)( x ? x1 ),( x1 ? 0). 3 由它过原点,有 ?x1 ? 3ax12 ? bx1 ? ?x1 (3x12 ? 6ax1 ? b),

? 2 x13 ? 3ax12 ( x1 ? 0),? x1 ?

3a . 2

(2)过曲线①上点 Pn+1(xn+1,yn+1)的切线 ln+1 的方程是
3 2 2 y ? ( xn ?1 ? 3axn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6axn?1 ? b)( x ? xn?1 ).

由 ln+1 过曲线①上点 P n(x n, yn),有
3 2 3 2 2 xn ? 3axn ? bxn ? ( xn ?1 ? 3axn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6axn?1 ? b)( xn ? xn?1 ),

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∵x n-xn+1≠0,以 x n-xn+1 除上式,得
2 2 2 xn ? xn xn?1 ? xn ?1 ? 3a( xn ? xn?1 ) ? b ? 3xn?1 ? 6axn?1 ? b,

2 2 xn ? xn xn?1 ? 2xn ?1 ? 3a( xn ? xn?1 ) ? 0, 以 x n-xn+1 除之,得 x n+2xn+1-3a=0.

(3)由(2)得 xn ?1 ? ?

1 3 1 xn ? a,? xn ?1 ? a ? ? ( xn ? a ). 2 2 2

a 1 故数列{x n-a}是以 x 1-a= 为首项,公比为- 的等比数列, 2 2

? xn ? a ?

a 1 n ?1 1 (? ) ,? xn ? [1 ? (? ) n ]a. 2 2 2

∵a>0,∴当 n 为正偶数时, xn ? [1 ? (? ) n ]a ? [1 ? ( ) n ]a ? a; 当 n 为正奇数时, xn ? [1 ? (? ) n ]a ? [1 ? ( ) n ]a ? a.

1 2

1 2

1 2

1 2



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