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黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷(理科)



黄冈中学 2014 届高三十月月考数学试卷(理科)
命题人:阮莉华 审稿人:张智 尚厚家 校对人:阮莉华

(

) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内

A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c,

?? ? 内

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1. 已知全集 M ? x 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z ,集合 N ? ?0, a? , 若 M ? N ? ? , a 等于 则 (
2

?

?

7. 已知函数 y ? sin ax ? b ? a ? 0 ? 的图象如图所示,则函数 y ? log a ? x ? b ? 的图像可能是( ) )

A. ?1

B. 2

C. ?1 或 2 )

D. ?1 或 ?2

2. 已知 a 是实数, A. ?1

a?i 是纯虚数,则 a =( 1? i
B. 1 C.

2

D. ? 2

3.有关命题的说法中正确的是( ) A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ;
2 2

y 2 1
O ?1

y 2 1 1 2 3

B.命题“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”的 ?p 形式是“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ” ;
2 2

x

C.若“ ?p ? ?q ”为真命题,则 p 、 q 至少有一个为真命题; D.对于命题 p : 存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : 对任意 x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 。
2 2

O ?1

1
B

2

3

x

A

y
4. 函数 f ? x ? ? x ? n ? 1, 2,3, , ?1? 具有如下性质: f
n

y 2 1 1 2
3

? ?

1 2

? ?

2

?1? ? f 2 ? ?1? ? 2 ? f ?1? ? f ? ?1? ? 1? , ? ?

2 1
O ?1

则函数 f ? x ? (

x

) B.是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数

O ?1
D

1

2

3

x

A.是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数

C

5.已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边长分别为是 a 、 b 、 c ,设向量 m ? ? a ? b,sin C ? ,

8.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,? , ? 是钝角三 角形的两个 锐角,则下列不等式中正确的是( A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) )

n?
A.

?

3a ? c,sin B ? sin A ,若 m ? n ,则角 B 的大小为(

?



B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? )

5? 2? ? ? B. C. D. 6 3 6 3 6. a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于 若

x 2 x3 x 4 x 2013 9.已知函数 f ( x ) ? 1 ? x ? 则下列结论正确的( ? ? ??? 2 3 4 2013
A. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有一个零点 C. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有一个零点 B. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个零点

y ? cos 2 ? ax ? ? sin 2 ? ax ? 的 最 小 正 周 期 为 4 ” 的 充 要 条 件 ; ○ 设 函 数 3


f ? x? ?

2014 x ?1 ? 2013 ? ? ? ? ?? ? 2014sin x ? x ? ? ? , ? ? 的 最 大 值 为 M , 最 小 值 为 m , 则 x 2014 ? 1 ? 2 2 ?? ?
且 则动点 P ? a , b ? ? , 0 ? a ? b,

D. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有两个零点

[

若 M ? m ? 4027 ; 4 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 , f ?a ? ?f b? ○ 到直线 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 的距离的最小值为 1.

10.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x. 若存在 a ? ?? 3, ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三个 3? 不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是( A. ? , ? ) C. ?1, ?

三、解答题(本大题包括 6 个小题,共 75 分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ?

?9 5? ?8 4?

B. ?1,

? 25 ? ? ? 24 ?

? 9? ? 8?

D. ?1, ?

? 5? ? 4?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

(Ⅰ)求 f ? ? .

? ?? ? 的值; ? 6?

1 2 , tan ?? ? ? ? ? ? ,那么 tan ? ? ? 2? ? = 2 5 ?? ? ?? ? ?? ? 12.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? =
11.已知 tan ? ?

?

? ?

?

(Ⅱ)若 cos ? ? .

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? 。 3? ?
2 2

?0 ? x ? 2 ? 13.在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D 上的动 ? ?x ? 2 y ???? ??? ? ? 1 点,点 A 的坐标为 ( 2, ) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为 . 2 3 x 4 x 3 x 4 x 14.求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x) 在 R 上单 5 5 5 5
调 递 减 , 且 f (2) ? 1 , 所 以 原 方 程 有 唯 一 解 x ? 2 . 类 比 上 述 解 题 思 路 , 方 程

17. (本小题 12 分)已知 p : 函数 f ? x ? ? a x ? ax ? 2 在 ? ?1,1? 内有且仅有一个零点;命题

?1 3? q : x 2 ? 3 ? a ? 1? x ? 2 ? 0 在区间 ? , ? 内恒成立。若命题“ p ? q ”是假命题,求实数 a 的取 ?2 2?
值范围。

n 18.本小题 12 分) ( 已知向量 m ? sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x , ? ? cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x ?
n (其中 ? ? 0 ) ,函数 f ? x ? ? m? ,若 f ? x ? 相邻两对称轴间的距离为

?

?

x ? x ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 2 ? 的解集为
6 2 3

. .

? 。 2

15.给出以下四个命题,其中所有正确命题的序号为:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 1 ○已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , OA , OB 为不共线向量,又 OP ? a1 OA ? a2014 OB ,
若 A 、 B 、 P 三 点 共 线 , 则 S2014 ? 1007 ; ○ “ a ? 2

(Ⅰ)求 ? 的值,并求 f ? x ? 的最大值及相应的 x 的集合; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是 A 、 B 、 C 所对的边, ?ABC 的面积 S ? 5 3, b ? 4 ,

?

1

0

1 ? x2 dx ” 是 “ 函 数

f ? A ? ? 1 ,求边 a 的长。

19. (本小题 12 分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下,进行技术改进:把二氧化碳 转化为某种化工产品,经测算,该处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近 似的表示为:

十月月考理科数学参考答案
1.答案:D 解析:由题意知 M ? ??2, ?1? ,欲使 M ? N ? ? ,则 a ? ?1 或 ?2 。

?1 3 ? x ? 640, x ? ?10,30 ? y ? ? 25 ,且每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产 ? x 2 ? 40 x ? 1600, x ? ?30,50 ? ?
品。 (Ⅰ)当 x ? ?30,50? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利, 则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少? 20. (本小题满分 13 分)如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?POQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上。
?

2.答案:B 解析:

a ? i ? a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? i 是纯虚数,所以 a ? 1 。 ? ? 1? i 2 2
2

3.答案:D 解析:对于 A:逆否命题是“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”,对于 B:非 p 形式不 是将条件和结论都同时进行否定;对于 C: ?p ? ?q 为真命题,其否定形式“ p 且 q ”为假命 题,则 p 、 q 至少有一个为假命题;对于 D 是正确的。 4.答案:B 解析:由题意可知 n ? 2 ,故 f ? x ? ? x 是一个偶函数。
2

5.答案:A 解析:因为 m ? n ,所以 ? a ? b ?? sin B ? sin A ? ? 上式可化为 ? a ? b ?? b ? a ? ?

?

3a ? c sin C ,根据正弦定理,

?

?

c2 ? a 2 ? b2 3 5? 3a ? c c ,所以 ?? ? cos B ,所以 B ? . 2ac 2 6

?

(Ⅰ)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (Ⅱ)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ;
?

6. 答案: 解析:f ? a ? ? ? a ? b ?? a ? c ? ? 0 ,f ? b ? ? ? b ? c ?? b ? a ? ? 0 ,f ? c ? ? ? c ? b ?? c ? a ? ? 0 , A 这是一个二次函数。 7.答案:C 解析:由图可知周期扩大,所以 0 ? a ? 1 ,而且 0 ? b ? 1,所以 y ? log a ? x ? b ? 为减 函数,而且定义域为 ? ?b, ?? ? 。 8.答案:D 解析:由题意可知,函数 f ( x) 周期为 2,所以函数在 [?1, 0] 上为减函数,又因为是

问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的 面积最小?并求出面积的最小值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

x ?1 ? a ln x ? x ?1

? x ? 1? .
2

偶 函 数 , 所 以 在 ? 0,1? 内 为 增 函 数 , 而 ? ? ? ?

?
2

, 则 0 ?? ?

?
2

?? ?

?
2

,所以

(Ⅰ)若 a ? 0 ,讨论 g ? x ? ? ? x ? 1? f ' ? x ? 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若 f ? x ? ? n 恒成立,求满足条件的正整数 n 的值; (Ⅲ)求证: ?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? e ? ?
2n? 5 2

0 ? s i? ? n

?? ? s ? ? i n ?? ? ?2 ?

? o。 c s ?

1

' 2 3 2012 9.答案:C 解析:可以求得 f ? x ? ? 1 ? x ? x ? x ? ... ? x ,令 f ' ? x ? ? 0 得



1 ? x2 ? ... ? x2012 ? x ? x3 ? ... ? x2011 ,分析可以知道左边是一个偶函数,右边是一个奇函数,且

左边比右边多一项,即 x ? 0 时总有 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数,且 f ? 0 ? ? 1 ? 0 ,排除选项 A

a1 ? a2014 ? 1 , S2014 ?

2014 ? a1 ? a2014 ? 2

2 ? 1007 ; ○ 中 , a ? ?

1

0

1 ? x2 d x ? , 而 函 数 4

?

1 1 1 1 1 和 B, x ? 0 时, 当 依然有 f ' ? x ? ? 0 ,f ? x ? 为增函数,f ? ?1? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 0。 2 3 4 2012 2013
10 . 答 案 : B 解 析 : 方 程 f ( x) ? tf (a) 等 价 于 x x ? a ? 2ta ? 2 x , 故 本 题 等 价 于 函 数

y ? cos 2 ? ax ? ? sin 2 ? ax ? 的最小正周期为 4 等价于 ?
件 ; ○ 函 数 f ? x? ? 3

?
4

,所以不是充要条件,是充分不必要条

? x 2 ? ax ? g ? x? ? x x ? a ? ? 2 ? ? x ? ax ?

? x ? a? ? x ? a?

和 函 数 h ? x ? ? ?2 x ? 2at 有 三 个 交 点 , 分 a ? ? 0,3? 和

? 2 0 1 x41 ? 2 0 1 3 ? 2 0 1 4 sx ? in 2 0 1 x4? 1

1 2? 1 4 x 0 ? 2 0? 4 1 1

2 0 1 4 区i间 x在 s n

a ? ? ?3,0 ? 两种情形画出 g ? x ? 的图像, h ? x ? 是一组斜率为 ?2 的直线,欲使两函数有三个交点,

1 ? ? ?? ? ? 2 , 2 ? 上是一个增函数,而且 y ? 2014sin x 是一个奇函数,令 g ? x ? ? 2014 ? 2014 x ? 1 , ? ?
所 以 M ?m? g?

则必位于切线和过点 ? a,0 ? 的直线之间的所有直线。经计算可得。 11. 答案: ?

?? ? ? ?? ? ? g ? ? ? ? 4028 ? ?2? ? 2?

1
?

?

1
?

2014 2 ? 1 2014

?
2

? 4027 ; ○ 根 据 函 数 4 ?1

tan ? ? tan ?? ? ? ? 1 1 ? , 解析: 由题意可知 tan ? 2? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?? ? ? ? 12 12

f ? x ? ? x2 ? 2 的 图 象 , 结 合 f ? a ? ? f ?b ? , 且 0 ? a ? b , 可 得 0 ? a ? 2 ? b , ,

1 所以 tan ? ? ? 2? ? ? ? 。 12 ?? ? ?? ? 2 2 12.答案: ?3 解析: m ? n ? m ? n ? ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 4 ? 0 ,算得 ? ? ?3 。 ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? 13.答案:3 解析:先画出 D 所表示的区域,见右图 OBCD , z ? OM ? OA ? OM ? OA cos ? ,

f ?a ? ? 2 ? 2 , f ? b ? ? b 2 ? 2 ,? a 2 ? b2 ? 4 ( 0 ? a ? 2 ? b )其图象为一段圆弧,由于 a
弧a ?b ? 4(0 ? a ?
2 2

?

??

?

2 ? b )到直线 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 的距离最小的点为

?

2, 2 ,但弧

?

不含点

?

2, 2 ,故○错误。 4

?

因为 OA ?

??? ?

2?

???? ??? ? ? 1 3 ? ,故只需找出 OM 在 OA 方向 4 2
??? ???? ? ? ? OA? OM

y D M

C

16.解析:(Ⅰ) f ? ?

? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 1 ; ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

上投影的最大值即可,取与 OA 垂直的直线平移得到 当 M 与 C 重合时复合题意,所以 zmax

O

B A

(Ⅱ) ? cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,且 ? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

1? ? ? ? 2, ?? 2, 2 ? 3 。 2? ?

?

?

x

14.答案:{﹣1,2}解析:构造函数 f ? x ? ? x3 ? x ,是一个奇函数,且为增函数,由方程
2 x6 ? x 2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 得 x ? x ? 2 ,解得答案:{﹣1,2}。

?? ? ? ? ?? ? ? ? f ? 2? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ? ? 17 ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 25
17.解析:对于 p : f ? ?1? f ?1? ? 0 ,解得:

??? ? ??? ? ??? ? 15.答案:○○解析:○中,由于 A 、 B 、 P 三点共线,所以 OP ? a1 OA ? a2014 OB 中的 1 3 1

?a

2

? a ? 2 ?? a 2 ? a ? 2 ? ? ? a ? 2 ?? a ? 1?? a ? 2 ?? a ? 1? ? 0 ,解得 ?2 ? a ? ?1 或 1 ? a ? 2 ,

端点值代入检验得: ?2 ? a ? ?1 或 1 ? a ? 2 ;

? ?1? ?g ? 2 ? ? 0 5 ? ? ? 2 对于 q : 令 g ? x ? ? x ? 3 ? a ? 1? x ? 2 ,则 ? ,解得 a ? ? ; 2 ?g ? 3 ? ? 0 ? ? ? ?2? ?
因为命题“ p 或 q ”是假命题,所以 p 和 q 均为假命题,可得实数 a 的取值范围为:

? 1 2 64 x ? , x ? ?10,30 ? y ? 25 ? x (Ⅱ)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 P ? x ? ? ? ? , x ? 1600 x? ? 40, x ? ?30,50? ? x ?
3 2 64 2 ? x ? 8000 ? 1 2 64 ' x? 2 ? (1)当 x ? ?10,30 ? 时, P ? x ? ? ,所以 P ? x ? ? ,因为 x ? 25 x 25 x 2 25 x

? 5 ? ? ? , ?2 ? ? ? ?1,1? ? ? 2, ?? ? 。 ? 2 ?
n 18.解析:(Ⅰ)由题意得, f ? x ? ? m? ? cos ? x ? sin ? x ? 3 sin ? x cos ? x ,化简得,
2 2

x ? ?10,30 ? , 所 以 当 x ? ?10, 20 ? 时 , P ' ? x ? ? 0 , P ? x ? 为 减 函 数 ; 当 x ? ? 20,30 ? 时 , P ' ? x ? ? 0 , P ? x ? 为增函数,所以当 x ? 20 时, P ? x ? 取得极小值 P ? 20 ? ?
(2)当 x ? ?30,50 ? 时, P ? x ? ? x ?

202 640 ? ? 48 。 25 20

?? ? f ? x ? ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? , 6? ?
?? 2? ? 由周期为 T ? ? 可得, T ? ? ? ,所以 ? ? 1 ,即 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ; 6? 2? ?
令 2x ?

1600 1600 1600 ? 40 ? 2 x ? ? 40 ? 40 ,当且仅当 x ? , x x x

即 x ? 40 ? ?30,50? 时,P ? x ? 取最小值 P ? 40 ? ? 40 ,因为 48 ? 40 ,所以当处理量为 40 吨时, 每吨的平均处理成本最少。 20 . 解 : (Ⅰ) 在 ?OMP 中 , ?OPM ? 45? , OM ?

?
6

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? ,可得 x ? k? ? ? k ? Z ? ,即 f ? x ?max
6

?

? 2 ,取最大值时 x 的取

5 , OP ? 2 2 , 由 余 弦 定 理

? ? ? 值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? ; 6 ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

得 , OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解 得 MP ? 1 或

MP ? 3 。
? ?

? ?

??
6?

? ,所以 f ? A ? ? 2sin ? 2 A ?

??

? ? 1 ,解得 A ? , 6? 3

?

(Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 以 OM ?

OM OP , 所 ? sin ?OPM sin ?OMP

1 S ? bc sin A ? 5 3 ,又因为 b ? 4 ,计算得 c ? 5 ,? a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 21 。 2
19.解析:(Ⅰ)当 x ? ?30,50? 时,设该工厂获利为 S ,则

OP sin 45? OP sin 45? , 同理 ON ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?
1 OP 2 sin 2 45? 1 ? OM ? ON ? sin ?MON ? ? 2 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

S ? 20 x ? ? x 2 ? 40 x ? 1600 ? ? ? ? x ? 30 ? ? 700 ,所以当 x ? ?30,50? 时, S ? 0 ,因此,该工
2

故 S ?OMN ?

厂不会获利,所以国家至少需要补贴 700 万元,该工厂才不会亏损;

?

1 ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?

1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

?

1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 ?

?

1 3 1 ?1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? 4 4

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知 , 当 x ? 1 时 , f ? x ? ? 3 恒 成 立 , 即

x ?1 ? l nx ? x ?1

? 3 , 1 ? ln x ?

3 ? x ? 1? x



?

1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

ln x ?

3 ? x ? 1? x

?1 ?

2x ? 3 3 ? 2 ? ? x ? 1? ,令 x ? 1 ? n ? n ? 1? ,得 x x
3 3 1 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 3? ? ? n ? n ? 1? ? 1 n ? n ? 1? ? n n ?1 ?

ln ?1 ? n ? n ? 1? ? ? 2 ? ? ?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时, sin ? 2? ? 30? ? 的最大值为 1 ,此时

则 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln 3 ( n ? 1 暂时不放缩)

?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 。
? a ?? ? ?1 ? ?1 ? a ln x ? ? x ? 0 ? x ? ? ? x ? 1? ? x ?1 ? a ln x ? ?1 ax ? a ln x ? a ? 1 ? ?? ? ' ? 21.解析:(Ⅰ) f ? x ? ? , 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1?
g ? x ? ? ax ? a ln x ? a ? 1, a ? 0 时 g ? x ? ? ?1 为常函数,不具有单调性。

?1 1? ln ?1 ? 2 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? , ? 2 3?
....., .....

1 ? ?1 ln ?1 ? n ? n ? 1? ? ? 2 ? 3 ? ? ?. ? ? ? n n ?1 ?
以上 n 个式子相加得:

a ? 0 时 g' ? x? ? a ?

a a ? x ? 1? ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增; x x

e (Ⅱ) a ? 1 时 g ? x ? ? x ? ln x ? 2 , g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? 2 ? ln ? 0 , 3
e2 g ? 4 ? ? 4 ? ln 4 ? 2 ? ln ? 0 ,设 g ? b ? ? 0 ,则 b ? ? 3, 4? 。因为此时 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单 4
调递增可知当 x ? ?1, b ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, g ? x ? ? 0 , 当 x ? ?1, b ? 时, f
'

1 ? ?1 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ln ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ln 3 ? 2 ? n ? 1? ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ?

7 3 5 3 5 ? ln e ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n ?1 2 n ?1 2
所以 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? 2n ? ? ?

?

?

5 ,即 2

? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,
b ?1 ? ln b ? b ?1


?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? e ? ?

2n?

5 2



当 x ? b 时, f ? x ?min ? f ? b ? ?

? g ? b ? ? 0 , b ? ln b ? 2 ? 0 , n b ? b ? , ? ? 即l ? 2 所以 f ? b ? ? b , b ? ? 3, 4 ? , f ? b ? ? ? 3, 4 ? ,

?n ? 3 ,故正整数 n 的值为 1、2 或 3。



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