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高一数学必修4第一章导学案



高一数学必修 4 第一章导学案 课题:1.1.1 任意角
一、学习目标 (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义; (2)理解任意角以及象限角的概念; (3)掌握所有与角 a 终边相同的角(包括角 a)的表示方法; 教学重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。 教学难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、问

题导学 1、角的定义:___________________________; 2、角的概念的推广:___________________________; 3、正角___________________________; 负角 ___________________________; 零角概念___________________________. 4、象限角___________________________。 5.终边相同的角的表示___________________________ 。 三、问题探究 例 1. 例 1 在 0? ? 360? 范围内,找出与 -950?12' 角终边相同的角,并判定它是第几 象限角.(注: 0 -360 是指 0 ? ? ? 360 )
? ?

?

?

例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合.
? 例 3.写出终边直线在 y ? x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360 ? ?

? 720? 的元素 ? 写出来.
四、课堂练习 (1)教材 P6 第 3、4、5 题. (2) 补充: 时针经过 3 小时 20 分, 则时针转过的角度为 , 分针转过的角度为 。 注意: (1) k ? Z ; (2)? 是任意角(正角、负角、零角) ; (3)终边相同的角不一定 相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差 360 的整数倍. 五、自主小结 六、当堂检测 1.设 E ? {小于90 的角}  , F ? {锐角},G= {第一象限的角}
o
?

,那么有( ) . A. B. C. ( ) D.

2.用集合表示: (1)各象限的角组成的集合. (2)终边落在 轴右侧的角的集合.

3.在 (1)



间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 ; (2) ; (3) .

3.解: (1)∵ ∴与 (2)∵ ∴与 (3) 终边相同的角是 ,它是第四象限的角; 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;

所以与

角终边相同的角是
课后练习与提高

,它是第二象限角.

1. 若时针走过 2 小时 40 分,则分针走过的角是多少? 2. 下列命题正确的是: ( ) (A)终边相同的角一定相等。 (B)第一象限的角都是锐角。 (C)锐角都是第一象限的角。 (D)小于 900 的角都是锐角。 3. 若 a 是第一象限的角,则 ? a 是第
2

象限角。

4.一角为

,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_

_.

5.集合 M={α =k ? 90o ,k∈Z}中,各角的终边都在( ) A. 轴正半轴上, C. 6.设 C={α |α = k180 +45 ,k∈Z} ,
o o

B.

轴正半轴上, 轴正半轴或 , 轴正半轴上

轴或

轴上,

D.

则相等的角集合为_

_. 参考答案

1. 解:2 小时 40 分= 8 小时,? ?180 '? 8 ? ?480
3
3

故分针走过的角为 480 2. C 3. 一或三 4.



5. C 6. _B=D,C=E

课题:1.1.2 弧度制
一、学习目标 1.理解弧度制的意义; 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算; 3.记住公式 | ? |?

l ( l 为以. ? 作为圆心角时所对圆弧的长, r 为圆半径) ; r

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 教学重点:弧度与角度之间的换算; 教学难点:弧长公式、扇形面积公式的应用。 二、问题导学 (一)1、复习:初中时所学的角度制___________________________; 规定 1 角方法___________________________; 2、角度制的单位有 __________ ; 是___________________ 进制。 (二) 、自学课本第 7、8 页.通过自学回答以下问题: 1、角的弧度制 :__________________________ 叫做 1 弧度的角,用符号 表示, 读作 。 2、平角、周角的弧度数 ___________________________; 3、 角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长的关系___________________________;

r 的弧所对的圆心角分别为 ________________ 2 5、如果半径为 r 的园的圆心角 ? 所对的弧长为 l ,那么,角 ? 的弧度数的绝对值是:
4、圆的半径为 r ,圆弧长为 2r 、 3r 、 个 , ? 的正负由 ,负角的弧度数是一个 决定。正角的弧度数是一 ,零角的弧度数是 。例如:当弧长

l 4? r l ? 4? r 且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是 ? | ? |? ? ? ? ? ?4? r r

<说明>:我们用弧度制表示角的时候, “弧度”或 rad 经常省略,即只写一实数表示角
的度量。 (三)角度与弧度的换算

360 ? 2? rad

1? ?

?

180

rad ? 0.01745 rad

180 ? ? rad 180 1 rad = ( )? ? 57 18?

?

归纳:把角从弧度化为度的方法是:

把角从度化为弧度的方法是:

<试一试>:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30° 0 90° 120° 150° 270°

? 4

? 3

3? 4

?

2?

(四)弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一 一对应关系. 正角 零角 负角 正实数 零 负实数

(五)、弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式: l
r

1 2 ?| ? | ?r (2) Sl ? ? R 因为 | ? |? l (其中 l 表示 ? 所对的弧长) ,所以,弧长公式为 .
(1)S ? 1 ?R 2; 2

?| ? | ?r

(1) l ? ? R 2 1 (3) S ? lR (2) 2

扇形面积公式:

说明:以上公式中的 ? 必须为弧度单位. 三、问题探究 例 1、把下列各角从度化为弧度: 0 0 0 / (1) 252 (2) 11 15 (3) 30 例 2、把下列各角从弧度化为度: (1)

(4) 67 ?30 '

3 ? 5

(2) 3.5

(3) 2

(4)

? 4

例 3、知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad, ,求该扇形的面积。 四、课堂练习: 1、把下列各角从度化为弧度:(1)22 ?30′ 2、把下列各角从弧度化为度: (1)

(2)—210?

(3)1200?

?
12

(2)—

4? 3

(3)

3? 10

3、半径为 120mm 的圆上,有一条弧的长是 144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。

1 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 2 5 、 若 2 弧 度 的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 是 4cm , 则 这 个 圆 心 角 所 在 的 扇 形 面 积
4、半径变为原来的 是 . 6、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对的圆心角 ? 的弧度数为 . 五、自主小结: 课后练习与提高 1.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3 : 5 : 7 ,求 A,B,C 弧度数。

2.直径为 20cm 的滑轮,每秒钟旋转 45 ,则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是多少?

3.选做题 2 如图, 扇形 OAB 的面积是 4cm , 它的周长是 8cm , 求扇形的中心角及弦 AB 的长。

B

A O

课题:1.2.1 任意角的三角函数
一、学习目标 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 教学难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 二、问题导学 (一)复习:1、初中锐角的三角函数 _______________________________ 2、在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、 正切依次为_______________________________________________ (二)新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设 α 是一个任意角, α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为

( x, y ) ,它与原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么
(1)比值_______叫做α 的正弦,记作_______,即________ (2)比值_______叫做α 的余弦,记作_______,即_________ (3)比值_______叫做α 的正切,记作_______,即_________; 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?

y ? cos? y ? tan ?

3.三角函数的符号由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ①正弦值

( y ? 0, r ? 0 ) ; ②余弦值

y 对于第一、二象限为 _____ ( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为 ____ r

( x ? 0, r ? 0 ) ; ③正切值

x 对于第一、四象限为 _____ ( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为 ____ r

y 对于第一、 三象限为_______ ( x, y 同号) , 对于第二、 四象限为______ ( x, y x

异号) . 4.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:___________ 即有:______________

5.当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足_______________时,有三角函数正弦、余弦、 正切值的几何表示——三角函数线。 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或 其反向延长线交与点 T .

y
P
M

y

T

P

o
y

A T

x

o

M
(Ⅰ)

A

x

(Ⅱ)

T
A

y
M A

M

o

x

o

x

P
(Ⅲ)

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ? ? y ?, MP cos ? ? ? ? x ? OM _______ , ________ r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ?. AT _________ x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

三、问题探究: 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个函数制值。
0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 变式训练 1:已知角 ? 的终边过点 P

例 2.求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ;

(3)

3? . 2

变式训练 2:求 3 的正弦、余弦和正切值. 例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值。

5?

变式训练 3: 求函数 y ? cos x ? tan x 的值域 例 4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:

cos x

tan x

1.

sin

2? 4? 与 sin 3 5

2. tan

2? 4? 与 tan 3 5

四、自主小结

课后练习与提高 一、选择题

1. 为(

? 是第二象限角,P( x , 5 )为其终边上一点,且


cos? ?

2 x 4 ,则 sin ? 的值

A.

10 4

B.

6 4

C.

2 4

D.

?

10 4

2.

? 是第二象限角,且

cos

?
2

? ? cos

?

? 2 ,则 2 是(
C. 第三象限角

) D. 第四象限角

A. 第一象限角

B. 第二象限角

? ? ??? , 2 那么下列各式中正确的是( 3、如果 4 ) A. cos ? ? tan ? ? sin ? B. sin ? ? cos ? ? tan ? C. tan ? ? sin ? ? cos ? D. cos ? ? sin ? ? tan ?
二、填空题

o s ? ? 0 ,sin ? ? 0 , 4. 已知 ? 的终边过 ( 3a ? 9,a ? 2 ) 且c 则 ? 的取值范围是
5. 函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为 6. sin 2 ? cos 3 ? tan 4 的值为 三、解答题 7. 已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为( ? 3, y ) (y?0) ,且 。



(正数,负数,0,不存在)

sin ? ?

2 y 4 ,求

cos?和 tan ?

课题:1.2.2 同角的三角函数的基本关系
一、学习目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题 技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过 程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注 意培养学生分析问
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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题的能力,从而提高逻辑推理能力 教学重点:掌握同角三角函数的基本关系式; 教学难点 通过运用公式的训练过程,培养学生解题技能,提高运用公式的灵活性; 二、问题导学 1、复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线: 。

2、以正弦线 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP ? 1 .由勾股定
2 2 2 2 理由 MP ? OM ? 1 ,因此 x ? y ? 1 ,即

. .

根据三角函数的定义,当 a ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,有

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方等于 1,商等于角 ? 的正切. 三、问题探究: 【例题讲评】 例 1 化简: 1 ? sin 440
2 ?

例 2 已知 ?是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

例 3 求证:

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

例 4 已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , cos? , 求

sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?

例 5 已知 sin ? ? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

四、课堂练习 化简下列各式 1.

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin x tan x ? sin x ? 1 ? cos x tan x ? sin x
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? cos ?

? ? ? ( ,? )
2

2.

3.

课题:1.3.1 三角函数的诱导公式(一)
一、学习目标: 1、借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的 三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2、通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想, 以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 教学重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。 教学难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断 二、问题导学 1 、30 度、45 度、60 度角的正弦 余弦 正切值 ; 2、在平面直角坐标系中做出单位圆,并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

3、任一角 ? 都可以转化为终边在 [0,2? ) 内的角,求它的三角函数值方法: 4、诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?

(k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z )
(公式一)

诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为 [0,2? ) 之间角的正弦、余 弦、正切。 【注意】 :运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成

sin(80? ? 2k? ) ? sin 80? , cos(

?
3

? k ? 360 ? ) ? cos

?
3

是不对的 (公式二) (公式三) (公式四)

5、由单位圆性质可以推得:
角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于原点 O 对称,故有

所以, 我们只需研究 ? ? ? , ? ? ? ,2? ? ? 的同名三角函数的关系即研究了 ? 与? 的关系 了。 【说明】 :①公式中的 ? 指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③记忆方法: “函数名不变,符号看象限” ; 【方法小结】 :用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是: ① ; ② ; ③ 。 可概括为: “ ” (有时也直接化到锐角求值) 。 三、问题探究 例 1 求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos(?

43? ). 6

例 2 化简

cot ? ? cos(? ? ? ) ? sin 2 (3? ? ? ) . tan ? ? cos3 (?? ? ? )

四、课堂练习: (1) .若 sin(

?
2

? ? ) ? cos( ? ? ? ) ,则 ? 的取值集合为
?
4 k ? Z}
B. {? | ? ? 2k? ?





A. {? | ? ? 2k? ?

?
4

k ? Z}

C. {? | ? ? k? (2) .已知 tan( ? ( A. )
|a| 1? a
2

k ? Z}

D. {? | ? ? k? ? ? 2

k ? Z}

14 ? ) ? a, 那么 sin 1992 ? ? 15
a 1? a
2

B.

C. ?

a 1? a
2

D. ?

1 1? a2

(3) .设角 ? ? ?

35 ? ? ? ) 的值等于 ? , 则 2 sin(?2 ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos( 2 6 1 ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos (? ? ? )
B.-





A.

3 3

3 3

C. 3

D.- 3 ( D.与 ? 取值有关 )

(4) .当 k ? Z 时, A.-1

sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为 sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

B.1

C.±1

(5) . 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4

(a, b,? , ? 为 常 数 ), 且

f (2000 ) ? 5,
那么 f (2004 )? A.1 B.3 C.5 D.7 . ( )

(6) .已知 sin ? ? 3 cos? ? 0, 则

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

课后练习与提高 一、选择题

3? 3 ? ? ) 值为( ,则 sin( ) 4 4 2 1 1 3 3 A. B. — C. D. — 2 2 2 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( ) 2 2 1 3 3 3 A. B. C. ? D. — 2 2 2 2 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? ? 2) 得( ) A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
1.已知 sin(

?

??) ?

D.± cos 2 ? sin 2 )

4.已知 tan? ?

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( 2

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A

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?

1? 3 2

B

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?1? 3 2

C

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D

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1? 3 2
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二、填空题 5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225?) ? cos(?210?) = 三、解答题

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? 2 cos3 ? ? sin 2 (? ? ? ) ? 2 cos(?? ? ? ) ? 1 7.设 f (? ) ? ,求 f ( ) 的值. 2 3 2 ? 2 cos (7? ? ? ) ? cos(?? )

8.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

课题:1.3.2 三角函数诱导公式(二)
一、教学目标 1.通过本节内容的教学,使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式, 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、 余弦和正切值的求解、 简单三角函数式的化简

与三角恒等式的证明; 2.通过公式的应用,培养学生的化归思想,运算推理能力、分析问题和解决问题的能 力;

教学重点:诱导公式及诱导公式的综合运用. 教学难点:公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透
二、问题导学 复习:1.利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值;__________________ 2.诱导公式一及其用途: _____________ ____________ ____________ 3、 对于任何一个 ? 以下四种情况有且只有一种成立 (其中 ? 为锐角) : ?0 ,360 内的角 ? ,

?

?? , 当? ? ?0 ,90 ? ? ? ?180 ? ? , 当? ? ?90 ,180 ? ? ? ? ?? ?180 ? ? , 当? ? ? ?180 , 270 ? ? ? ? ?360 ? ? , 当? ? ? 270 ,360 ?

4、 诱导公式二: 5、诱导公式三: 6、诱导公式四:

7、诱导公式五:

8、诱导公式六: 三、问题探究 问题 1:请同学们回顾一下前一节我们学习的 系。 与 、 、 的三角函数关

问题 2: 如果两个点关于直线 y=x 对称,它们的坐标之间有什么关系呢?若两个点关于 y 轴对称呢? 探究新知: 问题 1:如图:设 的终边与单位圆相交于点 P,则 P 点坐标为 ,点 P 关于直线 y=x 的轴对称点为 M,则 M 点坐标为 , 点 M 关于 y 轴的对称点 N,则 N 的坐标为 , ∠XON 的大小与 的关系是什么呢?点 N 的坐标又可以怎么表示呢?

问题 2:观察点 N 的坐标,你从中发现什么规律了?

例 1 利用上面所学公式求下列各式的值:

(1)

(2)

(3)

(4)

变式训练 1: 将下列三角函数化为 (1) (2)

到 (3)

之间的三角函数:

思考:我们学习了

的诱导公式,还知道

的诱导公式,那么对于



又有怎样的诱导公式呢?

例 2 已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

变式训练 2:已知

,求

的值。

四、课堂练习 1.利用上面所学公式求下列各式的值: (1) (2) 到 之间的三角函数:

2.将下列三角函数化为 (1) 五、自主小结: (2)

课后练习与提高

3? 3 ? ? ) 值为( ,则 sin( ) 4 4 2 1 1 3 3 A. B. — C. D. — 2 2 2 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( ) 2 2 1 3 3 3 A. B. C. ? D. — 2 2 2 2 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? ? 2) 得( ) A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
1.已知 sin(

?

??) ?

D.± cos 2 ? sin 2

4.已知 tan? ?

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是 2
象限
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5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225?) ? cos(?210?) = 7 .已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ,求

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

课题:1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象
一、教学习目标 (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状; (2)根据关系 cos x ? sin( x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题;

教学重点: “五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象; 教学难点:运用几何法画正弦函数图象。
二、问题导学: 1.正、余弦函数定义:____________________ 2.正弦线、余弦线:______________________________ 3. 1 . 正 弦 函 数 y=sinx , x ∈ [0 , 2 π ] 的 图 象 中 , 五 个 关 键 点 是:
、 、 、 、
0

.
、 、 、 、

20.作 y ? cos x 在 [0, 2? ] 上的图象时,五个关键点是

.

步骤:_____________,_______________,____________________. 三、问题探究 问题 1:三角函数的定义及实质?三角函数线的作法和作用? 问题 2:根据以往学习函数的经验,你准备采取什么方法作出正弦函数的图象?作图过 程中有什么困难?

2.探究新知: 问题一:如何 作出

的图像呢?

问题二:如何得到

的图象?

问题三: 这个方法作图象, 虽然比较精确, 但不太实用, 如何快捷地画出正弦函数的图象呢?

组织学生描出这五个点, 并用光滑的曲线连接起来, 很自然得到函数的简图, 称为 “五点法” 作图。 “五点法”作图可由师生共同完成小结作图步骤: 例 1、画出下列函数的简图:y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 解析:利用五点作图法按照如下步骤处理 1、列表 2、描点 3、连线 四、课堂练习练: 1、画出下列函数的简图:(1) y=|sinx|, (3)y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕

(2)y=sin|x|

思考:可用什么方法得到 五、自主小结

的图像

课后练习与提高 1. 用五点法作 y ? 2sinx, x ? [0,2? ] 的图象.

2. 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数. 3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

(1) sin x ?

1 ; 2

(2) cos x ?

1 5? , (0 ? x ? ). 2 2

课题:1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
一、教学目标: 1、会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质; 2、会求含有 sin x, cos x 的三角式的性质;

3 、 会 应 用 正 、 余 弦 的 值 域 来 求 函 数 y ? a sin x ? b(a ? 0) 和 函 数

y ? a cos2 x ? b cos x ? c (a ? 0) 的值域
教学重难点:正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。 二、问题导学 1. _____________________________________________________________________ 叫做周期函数,___________________________________________叫这个函数的周期.

2. _____________________________________叫做函数的最小正周期. 3.正弦函数, 余弦函数都是周期函数, 周期是____________, 最小正周期是________.
4. 由 诱 导 公 式 _________________________ 可 知 正 弦 函 数 是 奇 函 数 . 由 诱 导 公 式 _________________________可知,余弦函数是偶函数. 5.正弦函数图象关于____________________对称, 正弦函数是_____________.余弦函数 图象关于________________对称,余弦函数是_____________________. 6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数, 其值从-1 增大到 1; 在 每一个闭区间_________________上都是减函数,其值从 1 减少到-1. 7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数, 其值从-1 增大到 1; 在 每一个闭区间______________上都是减函数,其值从 1 减少到-1. 8.正弦函数当且仅当 x=___________时, 取得最大值 1,当且仅当 x=_________________ 时取得最小值-1. 9.余弦函数当且仅当 x=______________时取得最大值 1;当且仅当 x=__________时 取得最小值-1.

10.正弦函数 y ? 3sinx 的周期是___________________________. 11.余弦函数 y ? cos2x 的周期是___________________________. 12.函数 y=sinx+1 的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x 的最 大值是_____________,最小值是_________________. 13.y=-3cos2x 取得最大值时的自变量 x 的集合是_________________. 14.把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________

三、问题探究

4 sin ? , 5

5 ? cos ? 4
? 3



sin

32 ? 5

, cos

5 ? 12

例 1、求函数 y=sin(2x+ )的单调增区间. 解:

例 2:判断函数 f ( x) ? sin( x ? 解:

3 4

3? ) 的奇偶性 2

例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 解:

四、课堂练习 (一) 、选择题

1.函数 y ? 2 sin 2 x 的奇偶数性为( A. 奇函数 B. 偶函数

). C.既奇又偶函数
) C. y=sin2x D. y=cos2x ).

D.

非奇非偶函数

2.下列函数在 [

?
2

, ? ] 上是增函数的是(
B. y=cosx

A. y=sinx

3.下列四个函数中,既是 ? 0, A. y ? sin x (二) 、填空题

? ?

??

? 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是( 2?
C. y ? cos x D. y ? cos 2x

B. y ? sin 2 x

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。 ① cos x ? 2 ② 2sin x ? 3 ③ sin 2 x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④ cos 2 x ? 0.5

__________________________________________________________ 5.不等式 sin x ≥ ?
三 、答案
2 的解集是______________________. 2

6. 求函数 y=sin(-2x+ 解:

? )的单调增区间 3

7. f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) 解: 8. cos
15? 14? 、cos 8 9

解: 9..求出数 y ? sin x ?

?? 1 ? ? x ? , x ? ? ?2? , 2? ? 的单调递增区间. ?3 2 ?

课后练习与提高 一、选择题 π 1.y=sin(x- )的单调增区间是( 3 π 5π A. [kπ- ,kπ+ ] (k∈Z) 6 6 7π π C. [kπ- , kπ- ] (k∈Z) 6 6 ) π 5π B. [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 6 6 7π π D. [2kπ- ,2kπ- ] (k∈Z) 6 6

2.下列函数中是奇函数的是( ) A. y=-|sinx| B. y=sin(-|x|) C. y=sin|x| D. y=xsin|x| 3.在 (0,2π) 内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围是( ) π π 5π A .( , )∪( π, ) 4 2 4 C. ( π 5π , ) 4 4 B. ( D.( π ,π) 4 π 5π 3π ,π)∪( , ) 4 4 2

二、填空题 4.Cos1,cos2,cos3 的大小关系是______________________. π 5.y=sin(3x- )的周期是__________________. 2 三、解答题 6.求函数 y=cos2x - 4cosx + 3 的最值

课题:1.4.3 正切函数的图像与性质
一、教学目标:会用单位圆内的正切线画正切曲线,并根据正切函数图象掌握正切函数的性 质,用数形结合的思想理解和处理问题。 教学重难点:正切函数的图象及其主要性质。 二、问题导学

1.画出下列各角的正切线:

2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数 y ? tan x 图象:

3.把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的

图象, 称 “正切曲线” 4.观察正切曲线,回答正切函数的性质: 定义域: 值域: 最值: 周期性: 单调性: 三、问题探究 例 1.讨论函数 y ? tan? x ? 渐近线: 奇偶性 图像特征:

? ?

??

? 的性质 4?

王新敞
奎屯

新疆

变式训练 1. 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期

例 2.求函数 y=

2 的定义域 tan x-1

1 变式训练 2. y= tan x+

例 3. 比较 tan

2? 10? 与 tan 的大小 7 7

变式训练 3. tan

6? 13? 与 tan (- ) 5 5

四、课堂检测 (一) 、选择题 1. 函数 y ? 2 tan( 3 x ? (A)

?
4

) 的周期是

( (C)

)

2? 3

(B)

2.函数 y ? tan( (A) {x | x ? (C)

?
4

? 2

? 3

(D)

? 6
( )

? x) 的定义域为
(B) {x | x ? ?

?
4

, x ? R}

?
4

, x ? R}

{x | x ? k? ?

?
4

, x ? R, k ? Z }

(D) {x | x ? k? ?

3.下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y ? tan x

? )上递增,(2)以 2 ? 为周期,(3)是奇函数的是 2
(C) y ? tan 1 2 x

3? , x ? R, k ? Z } 4
( )

(B) y ? cos x

(D) y ? ? tan x

(二) 、填空题 4.tan1,tan2,tan3 的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题: (1)函数 y=sin|x|不是周期函数; (2)函数 y=|cos2x+1/2|的周期是π /2; (3)函数 y=tanx 在定义域内是增函数; (4)函数 y=sin(5π /2+x)是偶函数; (5)函数 y=tan(2x+π /6)图象的一个对称中心为(π /6,0) 其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) (三) 、解答题 6.求函数 y=lg(1-tanx)的定义域

课后练习与提高

一、选择题 1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调性为(

).

A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 (? D.在每一个开区间 (?

?
?
2 2

? k? ,

?
2

? k? )(k ? Z ) 上为增函数 2 ? 2k? )( k ? Z ) 上为增函数 13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5

? 2 k? ,
).

?

2、下列各式正确的是(

13 17 A. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5 13 17 C. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5 3、若 tan x ? 0 ,则( ).
A. 2k? ? C. k? ?

B. tan( ?

D.大小关系不确定

?
2

? x ? 2k? , k ? Z

B. 2k? ? D. k? ?

?
2

? x ? (2k ? 1)? , k ? Z

?
2

? x ? k? , k ? Z

?
2

? x ? k? , k ? Z

二、填空题 4、函数 f ( x ) ?

tan 2 x 的定义域为 tan x

. .

5、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为 三、解答题 6、 函数 y ? tan(

?
4

? x) 的定义域是(

).

课题:1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象
一、教学目标

1.会用 “五点法” 作出函数 y ? Asm( wx ? ? ) 以及函数 y ? A cos(wx ? ? ) 的图象的图象。 2.能说出 ?、W、A 对函数 y ? A sin (wx ? ? ) 的图象的影响. 3.能够将 y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象,并会根据条件求解析式.

教学重点:由正弦曲线变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。 教学难点:当 ω ? 1 时,函数 y1 ? A sin(ωx ? φ1 ) 与函数 y2 ? A sin(ωx ? φ2 ) 的 关系。
二、问题导学 1.函数 y ? sin (x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 )的图象,可以看作是正弦曲线上所有的 点_________(当 ? >0 时)或______________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度而得 到. 2.函数 y ? sin ?x, x ? R (其中 ? >0 且 ? ? 1 )的图象,可以看作是把正弦曲线 上 所有点的横坐标______________(当 ? >1 时)或______________(当 0< ? <1 时)到原 来的 倍(纵坐标不变)而得到. ?
1

3.函数 y ? A sin x, x ? R( A >0 且 A ? 1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵 坐标___________(当 A>1 时)或__________(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的, 函数 y=Asinx 的值域为______________.最大值为______________, 最小值为 ______________. 4. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 其中的(A>0, ? >0)的图象,可以看作用下面的方法 得到:先把正弦曲线上所有的点___________(当 ? >0时)或___________(当 ? <0时) 平 行 移 动 ? 个 单 位 长 度 , 再 把 所 得 各 点 的 横 坐 标 ____________ ( 当 ? >1 时 ) 或
1

____________(当0< ? <1)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) ,再把所得各点的纵横坐标 ____________(当A>1时)或_________(当0<A<1时到原来的A倍(横坐标不变)而得到. 三、问题探究
问题一、函数图象的左右平移

y ? sin( x ?

?
3

)



y ? sin( x ?

?
4

)



如在同一坐标系下,作出函数和的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象之间的关系。

问题二、函数图象的纵向伸缩变换 如 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y ? 2 s i nx 及

y?

1 sin x 2 的简图,并指出它们的图象与

y ? sin x 的关系。
问题三、函数图象的横向伸缩变换 如作函数 y ? sin 2 x 及

y ? sin

1 x 2 的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象间的关系。

问题四、作出函数 y ? 2 sin( x ?

1 3

?
6

) 的图象

问题五、作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图

(2)由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途 径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。

规律总结 ①由正弦曲线变换到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象需要进行三种变换,顺序 可任意改变;先平移变换后周期变换时平移 ? 个单位,先周期变换后平移变换 时平移 ? 个单位。
?

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换 (平移的量只与 ? 有 关) 。 四、当堂检测 1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程? ① y ? 1 sin( 4 x ? ? )
2 3
5 3

② y ? 2 sin( 1 x ? ? )
3 6 3

2、已知函数 y ? 1 sin( 4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 2 sin( 4 x ? 2? ) 的图 象,只需把C的所有点( )

A、横坐标伸长到原来的10倍,纵坐标不变。 来的 1 倍,纵坐标不变。
10

B、横坐标缩短到原

C、纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变。 来的 1 倍,横坐标不变。
10

D、纵坐标缩短到原

3、已知函数 y ? 1 sin( 4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin( x ? 2? ) 的图象,
5 3

5

3

只需把C的所有点(

) B、横坐标缩短到原来

A、横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变。 的 1 倍,纵坐标不变。
4

C、纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变。 的 1 倍,横坐标不变。
4

D、纵坐标缩短到原来

4、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin 4 x 的图象,只
5 3 5

需把C的所有点(
6

) B、向右平移 ? 个单位
6

A、向左平移 ? 个单位长度 长度 C、向左平移 2? 个单位长度
3

D、向右平移 2? 个单位
3

长度 5、将正弦曲线上各点向左平移 ? 个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵
3

坐标不变,则所得图象解析式为(
x ? A 、 y ? sin( ? ) 2 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
一、选择题


2 6
x ? C 、 y ? sin( ? ) 2 3

x ? B 、 y ? sin( ? )

D、

课后练习与提高

1、已知函数 y ? f(x), 将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍, 然后把所得的图形沿着 x 轴向左平移
? 1 个单位, 这样得到的曲线与 y ? sinx的图象 2 2

相同,那么已知函数 y ? f(x) 的解析式为(

).

A. f(x) ?

1 x ? sin( - ) 2 2 2
2 2 2

1 ? B. f(x) ? sin(2x ? ) 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2

1 x ? C. f(x) ? sin( ? )

2、把函数 y ? sinx 的图象向右平移 到的函数的解析式为( 1 ? A. y ? sin( x - )
2 8

? 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,所得 8

).
1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 8

? C. y ? sin(2x - )
8

? D. y ? sin(2x - )
4

? 3、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换而
3

得到(

).
? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2
? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

A.向右平移 B.向左平移

C. 向右平移 D.向左平移

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3

1 ? 4 、 函 数 y ? 3s i n x ( - ) 的 周 期 是 _________ , 振 幅 是 __________ , 当 2 4

x=____________________ 时, y ma x ? __________ ;当 x=____________________ 时,
y mi n? __________.

? ?x ? ? )(A>0,? >0,0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( , 5、已知函数 y ? Asin( 2)
6

和(

2? ,则这个函数的解析式为____________________. , ?2) 3 2? ,最小值是-2, 3

? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 6、已知函数 y ? Asin(

且图象经过点(

5? ,求这个函数的解析式. , 0) 9

五、自主小结

课题:1.6 三角函数模型的简单应用
一、教学目标 1、会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数 模型. 2通过对三角函数的应用,发展数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进 行思考和作出判断. 教学重点:精确模型的应用——由图象求解析式,由解析式研究图象及性质 教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 二、问题导学 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.

2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线.

三、问题探究;
问 题 一 、 如 图 , 某 地 一 天 从 6 ~ 14 时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数

y ? A sin(?x ? ? ) ? b .
(1)求这一天 6~14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式
T / ?C

30

20 10
O 6 8 10 12 14 t / h

问题二、画出函数 y ? sin x 的图象并观察其周期.

问题三、如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 ? , ? 为此时太阳直射纬度, ? 为该地 的纬度值,那么这三个量之间的关系是 ? ? 90 ? ? ? ? .当地夏半年 ? 取正值,冬半年 ?
?

取负值.
φ-δ θ φ δ
太 阳 光

如果在北京地区(纬度数约为北纬 40 )的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一 层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?

?

四、课堂练习 1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品 的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元, 而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动 的,并已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设某商店每月购进这 种商品 m 件,且当月售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.

课后练习与提高 1、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口 某一天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

?t

6 ?t , t ? [0, 24] C. y ? 12 ? 3sin 12

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(

?t

2、 从高出海面 hm 的小岛 A 处看正东方向有一只船 B, 俯角为 30 看正南方向的一船 C 的俯角为 45 ,则此时两船间的距离为( A. 2hm B. 2hm C. 3hm ). D. 2 2hm

3、如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式: I = Asin(?t ? ?) 在同一周期内的图象。 (1)根据图象写出 I = Asin(?t ? ?) 的解析式;

1 Asin( ? t ? ? ) (2)为了使 I = 中 t 在任意-段 100 秒的时
间内电流 I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数 ? 的最小 值是多少? 答案: 问题导学:1、周期 问题探究:

2、 ?

问题二、

y 1
? 2?

??

?

? 2

o
?1

? 2

?

2? x

问题三、解:A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼 顶在地面上的投影点。 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 应取太阳直射南 回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度为-23° 26′,依题意,两楼的间距不小于 MC,根 据太阳高度的定义,有: ∠C=90° -|40° -(-23° 26′)|=26° 34′ MC=

h0 h0 ? =2h0 tanC tan 26?34'

即盖楼时,为命使后楼不被前楼遮挡,要留出当于楼高两倍的间距。 当堂检测:由条件可得:出厂价格函数为 y 1 ? 2 sin(

?
4

x ?

?
4

)? 6,

销售价格函数为 y 2 ? 2 sin(

?
4

x ?

3? ) ? 8, 4

则利润函数为:
y ? m( y 2 ? y1 ) ? m[2 sin(

?
4

x?

3? ? ? ? ) ? 8 ? 2 sin( x ? ) ? 6] ? m(2 ? 2 2 sin x) 4 4 4 4

所以,当 x=6 时,Y=(2+ 2 2 )m,即 6 月份盈利最大. 课后练习与提高 1、A 2、A

3、解: (1)由图知 A=300,

t1 ? ?

1 1 t3 ? 150 300 ,

? T ? 2( t 3 ? t 1 ) ? 2( ?? ? 2? ? 100? T

1 1 1 ? )? 150 300 50

由 ?t 1 ? ? ? 0 得

? ? ??t 1 ?

?
3

? I ? 300 sin(100?t ?

?
3

)

T 1 T 1 ? ? (2)问题等价于 2 100 ,即 ? 100

? ? ? 100? ,∴正整数 ? 的最小值为 314。



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