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2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:1.4.3 正切函数的性质与图象(含答案)



第一章
数学· 必修 4(人教 A 版)

三角函数

1. 4

三角函数的图象与性质
正切函数的性质与图象

1.4.3

基 础 提 升 1.函数 y=lg tan x 的增区间是(
? π π? A.?kπ-2,kπ+2?(k∈Z) ? ? ?

π? B.?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? ? π π? C.?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z) ? ?

)

D.(kπ,kπ+π)(k∈Z) π 解析: 由 tan x>0 ,得 kπ<x<kπ + (k∈Z) .又 y = tan x 在 2
? π π? ?kπ- ,kπ+ ? 上 是 增 函 数 . ∴ 函 数 y = lg tan x 的 增 区 间 是 2 2? ? ? π? ?kπ,kπ+ ?(k∈Z).故选 B. 2? ?

答案:B

第一章
2.tan 600° 的值是( A.- 3 3 B. ) 3 3

三角函数

C.- 3

D. 3

解析:tan 600° =tan(360° +240° )=tan 240° =tan(180° +60° )=tan 60° = 3. 答案:D
? π? 3.函数 y=tan?3x-3?的定义域为________. ? ?

π π 解析:∵3x- ≠kπ+ ,k∈Z 且 x∈R, 3 2 ∴x≠ kπ 5π + ,k∈Z,且 x∈R, 3 18
? ? ?

? ? ? kπ 5π 故定义域为:?x?x≠ 3 +18,k∈Z,且x∈R ?. ? ? ? kπ 5π 答案:?x?x≠ 3 +18,k∈Z,且x∈R ? ? ? ?

? π? 4.函数 f(x)=tan?x+4?的单调增区间为( ? ? ? π π? A.?kπ-2,kπ+2?,k∈Z ? ?

)

B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
? 3π π? C.?kπ- 4 ,kπ+4?,k∈Z ? ?

第一章
? π 3π? D.?kπ-4,kπ+ 4 ?,k∈Z ? ?

三角函数

答案:C

5.方程 tan x=- 3(-π<x<π)的解集为(
? π 5 ? A.?-6,6π? ? ? ? ? ? π 2 ? C.?-3,3π? ? 2 2 ? B.?-3π,3π? ? ? ?2 5 ? D.?3π,3π? ? ?

)

答案:C

巩 固 提 高
? π? 6.若 f(x)=tan?x+4?,则( ? ?

) B.f(0)>f(1)>f(-1) D.f(-1)>f(0)>f(1)

A.f(0)>f(-1)>f(1) C.f(1)>f(0)>f(-1)

π π π 解析:由 kπ- <x+ <kπ+ ,k∈Z 得 2 4 2 kπ- 3π π <x<kπ+ ,k∈Z, 4 4

∴f(-1)<f(0).
? π? ? 3π? 又∵f(1)=tan?1+4?=tan?1- 4 ?, ? ? ? ?

第一章
∴1-

三角函数

? 3π π? 3π 3π ,-1,0∈?- 4 ,4?且 1- <-1<0, 4 4 ? ?

∴f(1)<f(-1)<f(0),故选 A. 答案:A

7.函数 f(x)=

tan 2x 的定义域为( tan x
?

)

? ? ? kπ A.?x?x∈R且x≠ 4 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? π B.?x?x∈R且x≠kπ+2,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x∈R且x≠kπ+4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? π D.?x?x∈R且x≠kπ-4,k∈Z ? ?

答案:A

8.利用正切函数图象解不等式. (1)tan x≥-1; (2)tan 2x≤-1.
? π π? 分析: 本题可先作出 y = tan x 在 ?-2,2? 上的图象,然后由 ? ? ? π? tan?-4?=-1,并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则 “tan”, ? ?

从而建立自变量间的关系.

第一章

三角函数

? π? ? π π? 解析:(1)因为 tan x≥-1,tan?-4?=-1,在?-2,2 ?内,满足 ? ? ? ?

π π 条件的 x 为:- ≤x< ,由正切函数的图象及周期性可知,满足此 4 2
? ? π ? π 不等式的 x 的取值集合为?x?- 4+kπ≤x<2+kπ,k∈Z ?. ? ? ?

? π π? ? π? (2)在 ?-2,2?内,tan?-4?=-1.所以不等式 tan 2x≤-1 的解 ? ? ? ?

π π kπ π kπ π 集由不等式 kπ- <2x≤kπ- , k∈Z 确定. 解得 - <x≤ - , 2 4 2 4 2 8 k∈Z. 所 以 不 等 式 tan 2x≤ - 1 的 解 集 为

? ?kπ π ? kπ π ?x? - <x≤ - ,k∈Z ?. 4 2 8 ? ?2 ?

? π π? 9.已知 f(x)=x2+2x· tan θ-1,x∈[-1, 3],其中 θ∈?-2,2?. ? ?

π (1)当 θ=- 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; 6

π 2 3 解析:(1)当 θ=- 时,f(x)=x2- x-1. 6 3 ∵x∈[-1, 3],∴当 x= 3 4 时,f(x)min=- ; 3 3

第一章
2 3 当 x=-1 时,f(x)max= . 3

三角函数

(2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. 解析: (2)函数 f(x)=x2+2x· tan θ-1 的对称轴为 x=-tan θ, ∵y =f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tan θ≤-1 或-tan θ≥ 3,即 tan θ≥1 或 tan θ≤- 3.
? π π? π π π π 又 θ∈?-2,2 ?,∴- <θ≤- 或 ≤θ< , 2 3 4 2 ? ? ? π π? ?π π? 即 θ 的取值范围是?-2,-3 ?∪?4,2 ?. ? ? ? ?



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