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辽宁省五校协作体2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案



第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.复数 Z 满足 Z ? A. 1 ? 3i

2?i , 则 Z 等于( ) 1? i 3 1 3 1 B. 3 ? i C. ? i D. ? i 2 2 2 2


2.命

题“ ?x ? R, x 2 ?ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的(

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设函数 f ( x) ? A sin ??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0,? 它的周期是 ? ,则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称, 3

A. f (x) 的图象过点 ? 0, ?

? ?

1? 2? ? 5? ? ,0 ? ? 12 ?

B. f (x) 在 ?

? ? 2? ? 上是减函数 , ?12 3 ? ?
D. f (x) 的最大值是 4

C. f (x) 的一个对称中心 是 ?

4. 一个单位有职工 800 人,其中高级职称 160 人,中级职称 320 人,初级职称 200 人,其余 人员 120 人,为了解职工收入情况,现采取分层抽样的方法抽取容量为 40 的样本,则从上述 各层中依次抽取的人数分别为( ) A.12,24,15,19 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6

5. 如图是一个算法的程序框图,当输入 x 值 为 -8 时,则输出的结果是: ( ) A.9 B. ? 6 C. ? 3 D。0

x 6.若 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a ? x ? 4 的零点为 m, g ( x) ? loga x ? x ? 4 的零点为 n ,



1 1 ? 的取值范围是( m n



A. ?3.5,???

B. ?1,??? C.

?4,???

D. ?4.5,???

7.已知幂函数 y ? f (x) 过点 ?4,2? ,令 an ? f (n ? 1) ? f (n) , n ? N ? ,记数列 ?

1 an

? 的前

n 项和为 S n ,则 S n =10 时, n 的值是( )
A.110 B.
2

120
2 2

C.130

D.140 )

8.在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2 3absin C ,则 ?ABC 的形状是( A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D 直角三角形

x?0 ? x ? 2y ? 3 ? y?x 9. 设 x, y 满足约束条件 ? ,则 的取值范围是( x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ?2,6? C. ?2,10? D. ?3,11?



10. .已知双曲线

x2 y2 a2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F , 直线 x ? 与其渐近线交于 A, B 两 c a2 b

点,且 ?ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.

? 3,???

B. 1, 3

? ?

C. 1, 2

?

?
)

D.

?

2 ,??

?
x

11. 设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(0)=2012,且对于任意的 x ? R 满足 f(x+2)–f (x) ? 3 ? 2 , f (x+6)–f(x) ? 63 ? 2 ,则 f (2012)等于(
x

A.2

2009

+2008

B. 2
2

2010

+2009

C. .2
2

2011

+2010
2 2

D. .2

2012

+2011

12.已知抛物线 M : y ? 4 x ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? r (其中 r 为常数, r ? 0)过点 (1,0) 的 直线 l 交圆 N 于 C, D 两点,交抛物线 M 于 A, B 两点,且满足 AC ? BD 的直线 l 只有三条 的必要条件是( A r ? ?0,1? ) B. r ? ?1,2? C. r ? ? 3 ,?? ? ?
?2 ? ?

D. r ? ? 3 ,4 ? ? ?
?2 ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 13. .经过原点 ?0,0? 做函数 f ( x) ? x ? 3x 的切线,则切线方程为
3 2



14. 在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a, b 。设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比: 2 h a b

三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA, SB, SC 两两垂直, 且长度分别为 a, b, c , 设棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 。

16. 已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? ,若 (用 ? 表示) 三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

cos B cos C AB ? AC ? 2m AO ,则 sin C sin B

m=

已知函数 f (x) ? ? x ? m x 在 ?0,1? 上是增函数
3

(1)求实数 m 的取值集合 A. ( 2 ) 当 m 取 值 集 合 A. 中 的 最 小 值 时 , 定 义 数 列 ?an ? ; 满 足 a1 ? 3, 且 an ? 0 ,

an?1 ? ? 3 f ' (an ) ? 9 ,求数列 ?an ? 的通项公式
(3)若 bn ? nan ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ?

3 4

18. (本小题满分 12 分) 甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加了 5 次预赛成绩记录如下: 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率: (3) 现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生参加合适? 说明理由

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = ax ? x ( a ? R, a ? 0) , g ( x) ? ln x
2

(1)判断函数 f ( x) ? g ( x) 在定义域上的单调性; (2)若函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图像有两个不同的交点 M , N ,求 a 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)

.已知椭圆 C:

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) ,定义圆心在原点 O,半径为 a 2 ? b 2 的圆是椭圆 2 a b

C 的“准圆” ,若椭圆 C 的一个焦点为 F( 2 ,0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 。 (1) 求椭圆 C 的方程和“准圆”的方程; (2) 点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l 1 ,l 2 ,使得 l 1 ,l 2 与椭圆 C 都 只有一个交点,求证:l 1 ? l 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 是过点 P(?1,2) ,方向向量为 n ? (?1, 3) 的直线,圆方程 ? ? 2 cos( ? ? (1)求直线 l 的参数方程 (2)设直线 l 与圆相交于 M , N 两点,求 PM ? PN 的值

?
3

)

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 x ? 4 ? 3 ? x ? a , (1)若不等式的解集为空集,求 a 的范围。 (2)若不等式有解,求 a 的范围。

答案: 一选择题 1.C2.A3.C4.D5.D 二填空题: 13. y ? 0或9 x ? 4 y ? 0 15.4 16. sin ? 14. 6.B7.B8.A9.D10.C 11.D12.C

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 h a b c

(3) bn ? n ? 3n

, sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n 3 sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? n ? 3n n ?! -2 S n ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? n ? 3n?1

=

3(1 ? 3 n ) ? n ? 3 n ?1 1? 3

? Sn ?

3 (2n ? 1) n ?1 ? 3 4 4

?s n >

3 4
甲 乙 7 5 5 0 5 0

18.解: (1)茎叶图如下:
7

9 2 2 5

8
9

(2)甲被抽到的成绩为 x, 乙被抽到的成绩为 y, 用数对(x,y)表示基本事件: (82,95)(82,75)(82,80)··· , , ···(87,90)(87,85)基本事件为 25. , 甲的成绩比乙的成绩高的事件为 A,A 包含的基本事件为: (82,75),(82,80)··· ··· (87,80),(87,85)共 12. 所以 P(A)=

12 25
=85
2

(3)派甲参赛比较合理,理由如下:

x

1

=

1 (82+82+79+95+87)=85, 5

同理 x
2 2

2

2 s1 =

1 5

?

(82-85) + (82-85) + (79-85) + (95-85) + (87-85) ,

2

2

? =31.6

同理 s 2 =50 2

? x 1= x

2

2 s 1 ﹤s 2 ,甲的成绩稳定,派甲参赛比较合适。 2

20.(1) y ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? x ? ln x(a ? 0)(x ? 0)
2
2 1 2ax ? x ? 1 y ? 2ax ? 1 ? ? x x '

1? a ? 0, y ' ? 0即2ax2 ? x ? 1 ? 0 , x ?

1 ? 1 ? 8a 4a 1 ? 1 ? 8a 4a
1 ?0 4a

y ' ? 0 即 2ax2 ? x ? 1 ? 0
2?

0? x?

a ? 0 , 设 G( x) ? 2ax2 ? x ? 1, 对称轴 x ?

? x ? 0, y ' ? 0,? (0,??) ?

综上所述: a ? 0, (0,

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ) 递减, ( ,??) 递增 4a 4a

a ? 0 , 在 (0,??) 上递减

x2 2 21.(1)由题意知 c= 2 ,a= 3 所以 b=1,所以椭圆 C 的方程为 +y =1,椭圆 C 的准圆方 3
程为 x +y =4 (2) i 当直线 l1 ,l 2 中有一条 1 不存在时,不妨设 l1 的斜率不存在, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x ? 此时 l1 与准圆交于
2 2

3 或 x ? ? 3 ,则 l1 的方程为 x ? 3 时,

? 3,1? ? 3,?1?两点。 易知:①经过点 ? 3,1?且与椭圆只有一个公共点的直线是 y ? 1 ,即 l
直线 l1 与 l 2 垂直。 ②经过点

2

的方程为 y ? 1 ,显然

?

3,?1 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y ? ?1 ,即 l 2 的方程为 y ? ?1 ,显然直

?

线 l1 与 l 2 垂直 同理可证当 l1 的方程为 x ? ? 3 直线 l1 与 l 2 垂直。

22. 证明:因为 FG 切⊙O 于点 G,所以 FG =FB·FA,因为 EF‖CD,所以∠BEF=∠ECD,又 A,B, C,D 四点共圆,所以∠ECD=∠EAF,所以∠BEF=∠EAF,又∠EFA=∠BFE,所以△EFA∽△BFE, 所以
2

EF FA 2 2 2 ? ,即 EF = FB·FA,所以 EF = GF ,即 EF=FG。 FB EF
2? 3

23.(1)? n ? (?1, 3) ? 直线的倾斜角 ? ?

1 2? ? ? x ? ?1 ? t cos ? x ? ?1 ? 2 t ? 3 即? ? 直线的参数方程为 ? ? 2? ?y ? 2 ? 3 t ? y ? 2 ? t sin ? 3 ? 2 ?
(2)? ? ? 2( cos? ?

1 2

3 sin ? ) ? cos? ? 3 sin ? 2

? ? 2 ? ? cos? ? 3? sin ? ? x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 将直线的参数方程代入得 t 2 ? (3 ? 2 3)t ? 6 ? 2 3 ? 0

? t1t 2 ? 6 ? 2 3



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