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第2章《平面向量》



第二章
一、选择题

平面向量

1. 在△ABC 中, AB=AC, D, E 分别是 AB, AC 的中点, 则( A. AB 与 AC 共线 C. AD 与 AE 相等 2.下列结论正确的是( ).

).

B. DE 与 CB 共线 D. AD 与 BD 相等
(第 1

题)

A.向量 AB 与 BA 是两平行向量 B.若 a,b 都是单位向量,则 a=b C.若 AB = DC ,则 A,B,C,D 四点构成平行四边形 D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足 OC =?? OA +?? OB ,其中 ?,?∈R,且?+?=1,则点 C 的轨迹方程为( A.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 B.(x-1)2+(y-1)2=5 D.x+2y-5=0 ). ).

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

4.已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是( A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
).

5. 已知四边形 ABCD 是菱形, 点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A, C), 则 AP =( A.λ( AB + AD ),λ∈(0,1) C.λ( AB - AD ),λ∈(0,1) B.λ( AB + BC ),λ∈(0, D.λ( AB - BC ),λ∈(0, ).
2 ) 2 2 ) 2

6.△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,则 DF =( A. EF + ED C. EF + AD B. EF - DE D. EF + AF

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

7.若平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量 a 的 模为( ).

A.2

B.4

C.6

D.12

8.点 O 是三角形 A BC 所在平面内的一点,满足 OA · OB = OB · OC = OC · OA , 则点 O 是△ABC 的( ). B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点

A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点

9.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a,b 不 共线,则四边形 ABCD 为( A.平行四边形 ). B.矩形 C.梯形 D. 菱形 ).

1 0.如图,梯形 ABCD 中,| AD |=| BC |, EF ∥ AB ∥ CD 则相等向量是( A. AD 与 BC C. AC 与 BD 二、填空题 B. OA 与 OB D. EO 与 OF
(第 10 题)

11.已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(-k,10),且 A,B,C 三点共线, 则 k= .

12.已知向量 a=(x+3,x2-3x-4)与 MN 相 等,其中 M(-1,3),N(1,3),则 x = . 13.已知平面上三点 A,B,C 满足| AB |=3,| BC |=4,| CA |=5,则 AB · BC +
BC · CA + CA · AB 的值等于



14.给定两个向量 a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)⊥(a-b),则实数 m 等 于 . 15.已知 A,B,C 三点不共线,O 是△ABC 内的一点,若 OA + OB + OC =0,则 O 是△ABC 的 .

16.设平面内有四边形 ABCD 和点 O, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,若 a+c =b+d,则四边形 ABCD 的形状是 三、解答题 17.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若点 P 满足 AP = AB +λ AC (λ∈R),试 求 λ 为何值时,点 P 在第三象限内? .

18.如图,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是 AB,AC, BC 的中点,且 MN 与 AD 交于 F,求 DF .

(第 18 题)

19.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE(利用向 量证明).

(第 19 题)

20.已知向量 a=(cos θ,sin θ),向量 b=( 3 ,-1),求|2a-b|的最大值.

参考答案
一、选择题 1 .B 解析:如图, AB 与 AC , AD 与 AE 不平行, AD 与 BD 共线反 向. 2.A
(第 1 题)

解析:两个单位向量可能方向不同,故 B 不对.若 AB = DC ,可能 A,B,C,D 四点 共线,故 C 不对.两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故 D 也不对. 3.D 解 析:提示:设 OC =(x,y), OA =(3,1), OB =(-1,3),?? OA =(3?,?),

?? OB =(-?,3?),又? OA +?? OB =(3?-?,?+3?),
∴ (x,y)=(3?-?,?+3?),∴ ? 4.B 解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b, ∴(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0, ∴ a2=b2,即|a|=|b|.∴|a|2=2|a||b|cos θ=2|a|2cosθ.解得 cos θ= ∴ a 与 b 的夹角是 5.A 解析:由平行四边形法则, AB + AD = AC ,又 AB + BC = AC ,由 λ 的范围和向量 数乘的长度,λ∈(0,1). 6.D 解析:如图,∵ AF = DE , ∴ DF = DE + EF = EF + AF .
(第 6 题)

? x=3?-? ,又?+?=1,由此得到答案为 D. ? y=?+3?

1 . 2

π . 3

7.C 解析:由(a+2b)·(a-3b)=-72,得 a2-a·b-6b2=-72. 而|b|=4,a·b=|a||b|cos 60° =2|a|, ∴ |a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6. 8.D 解析:由 OA · OB = OB · OC = OC · OA ,得 OA · OB = OC · OA , 即 OA ·( OC - OB )=0, 故 BC · OA =0, BC ⊥ OA ,同理可证 AC ⊥ OB , ∴ O 是△ABC 的三条高的交点. 9.C 解析:∵ AD = AB + BC + CD =-8a-2b=2 BC ,∴ AD ∥ BC 且| AD |≠| BC |. ∴ 四边形 ABCD 为梯形. 10.D 解析: AD 与 BC , AC 与 BD , OA 与 OB 方向都不相同,不是相等向量. 二、填空题 11.-

2 . 3

解析:A,B,C 三点共线等价于 AB , BC 共线,

? AB = OB - OA =(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
BC = OC - OB =(-k,10)-(4,5)=(-k-4,5),

又 A,B,C 三点共线, ∴ 5(4-k)=-7(-k-4),∴ k=- 12.-1. 解析:∵ M(-1,3),N(1,3), ∴ MN =(2,0),又 a= MN , ∴ ?

2 . 3

[来源:学科网]

? x+3=2
2

? x=-1 解得 ? ? x=-1或x=4 ? x -3x-4=0

∴ x=-1. 13.-25. 解析:思路 1:∵ AB =3, BC =4, CA =5, ∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC=90° ,即 AB ⊥ BC ,∴ AB · BC =0, ∴ AB · BC + BC · CA + CA · AB = BC · CA + CA · AB = CA ·( BC + AB ) =-( CA )2 =- CA
2

=-25. 思路 2:∵ AB =3, BC =4, CA =5,∴∠ABC=90° ,
AB CA
BC 3 4 ,cos∠BCA= = . 5 5 CA

∴ cos∠CAB=



根据数积定义,结合图(右图)知 AB · BC =0,
BC · CA = BC · CA cos∠ACE=4×5×(-

4 )=-16, 5 3 )=-9. 5
D (第 13 题)

CA · AB = CA · AB cos∠BAD=3×5×(-

∴ AB · BC + BC · CA + CA · AB =0―16―9=-25. 14.

23 . 3

解析:a+mb=(3+2m,4-m),a-b=(1,5). ∵ (a+mb)⊥(a-b), ∴ (a+mb)·(a-b)=(3+2m)×1+(4-m)×5=0 ? m= 15.答案:重心. 解析:如图,以 OA , OC 为邻边作□AOCF 交 AC 于

23 . 3

(第 15 题)

点 E,则 OF = OA + OC ,又 OA + OC =- OB , ∴ OF =2 OE =- OB .O 是△ABC 的重心. 16.答案:平行四边形. 解析:∵ a+c=b+d,∴ a-b=d-c,∴ BA = CD . ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形. 三、解答题 17.λ<-1. 解析:设点 P 的坐标为(x,y),则 AP =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).
AB +λ AC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]?

=(3,1)+λ(5,7) =(3+5λ,1+7λ). ∵ AP = AB +λ AC , ∴ (x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).
? x ? 2 ? 3 ? 5? ∴ ? ? y ? 3 ? 1 ? 7? ? x ? 5 ? 5? 即? ? y ? 4 ? 7?

[来源:学.科.网]

?5 ? 5? ? 0 要使点 P 在第三象限内,只需 ? ?4 ? 7 ? ? 0

解得 λ<-1.

18. DF =(

7 ,2). 4

解析:∵ A(7,8),B(3,5),C(4,3),
AB =(-4,-3), AC =(-3,-5).

又 D 是 BC 的中点, ∴ AD = =

(第 18 题)

1 1 ( AB + AC )= (-4-3,-3-5) 2 2 1 7 (-7,-8)=(- ,-4). 2 2

又 M,N 分别是 AB,AC 的中点, ∴ F 是 AD 的中点, ∴ DF =- FD =-

1 1 7 7 AD =- (- ,-4)=( ,2). 2 2 2 4

19.证明:设 AB =a, AD =b,则 AF =a+ ∴ AF · ED =(a+

1 1 b, ED =b- a. 2 2

1 1 1 1 3 b)·(b- a)= b2- a2+ a·b. 2 2 2 2 4

又 AB ⊥ AD ,且 AB = AD ,∴ a2=b2,a·b=0. ∴ AF · ED =0,∴ AF ⊥ ED . 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明. 20.分析:思路 1:2a-b=(2 cos θ- 3 ,2sin θ+1), ∴ |2a-b|2=(2cos θ- 3 )2+(2sin θ+1)2=8+4sin θ-4 3 cos θ. 又 4sin θ-4 3 cos θ=8(sin θcos
(第 19 题)

[来源:学科网 ZXXK]

π π π -cos θsin )=8sin(θ- ),最大值为 8, 3 3 3

∴ |2a-b|2 的最大值为 16,∴|2a-b|的最大值为 4. 思路 2:将向量 2a,b 平移,使它们的起点与原点重合,则|2a-b|表示 2a,b 终点间 的距离.|2a|=2,所以 2 a 的终点是以原点为圆心,2 为半径的圆上的动点 P,b 的终点是 该圆上的一个定点 Q,由圆的知识可知,|PQ|的最大值为 4.



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