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函数专题一


函数专题(一)
-----函数的概念 一.知识方法扫描:
1.函数的三种表示方法 2.函数的定义域 3.函数的值域 4.反函数:了解反函数的概念及其表示方法;会求一些简单函数的反函数。求反函数的一般步骤
( )从原函数y ? f ( x)的表达式中反解出x ? f ?1 ( y) ;(2)互换 x 是: 1 x, y, 得到y ? f ?1 x) ( y? f
?1

(3)求出反函数的定义域,即原函数的值域。设函数 y=f(x)存在反函数
?1

( x), 则函数y ? f

( x)的反函数是y ? f ( x) ,也就是它们互为反函数,从而,反函数的定义

域就是原函数的值域,反函数的值域就是原函数的定义域。 5.函数的迭代:一个函数的自复合,叫做函数的迭代。我们用 g k ( x)表示g ( x)的k 次迭代函数即 g1 ( x) ? g ( x), g k ?1 ( x) ? g ( g k ( x)) 二.合作探究 例 1.求下列函数的定义域
( )y ? 1 5x ? 2 的定义域是 __________ __________ ___ x log (( 3?1)) x?

x (2)已知函数y ? f (2 x )的定义域为?- 1,1? ,求y ? f (log 2 )的定义域 __________ ______

1 (3)已知f ( x)定义域为(0,1 ),则函数g ( x) ? f ( x ? c) ? f ( x ? c)在0 ? c ? 时的 2 定义域为 __________ ________
思考:设0 ? a ? 1时,函数f ( x) ? (a ? 1) x 2 ? 6ax ? a ? 1恒为正,求f ( x)的定义域

例 2.求下列函数的值域
(1) y ? x 2 ? 2ax ? 1, x ? [1,3] (2) y ? x 2 ? 2 x ? 2, x ? [t , t ? 1]

1 13 (3) 若函数f ( x) ? ? x 2 ? 在区间?a, b?上的最小值为2a, 最大值为2b, 求?a, b? 2 2

例 3.求下列函数的值域 x ?1 3x (1) y ? 2 (2) y ? 2 x ?8 x ? x ?1

ax 2 ? 8 x ? b 变式: 若y ? 的最大值为9,最小值为 ,求实数a, b 1 x2 ?1

例 4.求下列函数的值域
(1) y ? 2 x ? 1 ? 2 x (2) y ? 2 x ? 1 ? 2 x
变式:求y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? x 2 ? 2 x的最小值

例 5. (1)求y ? 2 的值域
(2)设不等式 2(log x ) 2 ? 9(log x ) ? 9 ? 0的解集为M , 求当x ? M时,函数 1 1
2 2

1? x 1? x

f ( x) ? (log )(log )的最值

x 2 2

x 8 2

例6.设f ( x) ? ax ? b(a, b为实数)f1 ( x) ? f ( x), f n ?1 ( x) ? f ( f n ( x)), 若f 7 ( x) ? 128 x ? 381, 则a ? b ? __________ ____
变式: (1)已知函数 f1 ( x) ?
2x ? 1 , 对于n ? 1,2,?, 定义f n?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)). x ?1

__________ ____ 若 f 35 .( x) ? f 5 ( x), 则f 28 ( x) ? __________

(2)已知f1 ( x) ?

1? x , 对于一切正整数n, 都有f n?1 ( x) ? f1 ( f n ( x))且f 3 ( x) ? f 6 ( x), 求f 28 ( x) x ?1

例 7. 1 ( )已知f ( x) ? (
(2)设y ?

x ?1 2 ) , x ? 1, 求f ( x)的反函数。 x ?1

x 的反函数是它自身,求常数a x?a

x (3) 记函数f ( x)的反函数f ?1 ( x),已知f ( x 3 ) ? log 2 , 求f ?1 (2)

( )若f ( x) ? 变式: 1

2x ?1 3 , g ( x) ? f ?1 ( x), 则g ( ) ? __________ _ x 2 ?1 5

(2)已知f ( x) ? ln

x ?1 , x ? 1, 求f ( x)的反函数。 x ?1


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