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1.3.1函数单调性与最大(小)值(一)



1.3.1函 数 的

单 调 性与最值(一)
北大附中

导入:某市一天24小时的气温变化图
θ/?C
10 8

y=f(x),x∈[0,24]

6
4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

t/h

说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?

问题1:
观察课本中有关一次函数,二次函数 的图象,指出其变化趋势.

1、y=x
2、y=x2

?

图像在y轴左侧下降,即在(-∞,0] 上,随着x的增大,f(x)逐渐变小。 在y轴的右侧上升,即是在(0, +∞)上, 随着x的增大, f(x)也逐渐变大。

问题3: 怎样用专业数学语言来表述: 函数y= f(x) 在某个区间 D上, 函数值 y 随 自变量x的增大而增大呢?

请独立思考后与同桌交流, 给增函数下一个定义。

一般地 , 设函数 y= f(x) 的定义域为I,

区间D? I , 如果对于区间D内 的任意两个值 x1 , x2 , 当x1 ? x2时, 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 那么就说y= f(x)在区间D上是递增,
D称为 y= f(x) 的单调增区间.

问题4:

如何定义一个函数是单调减函数?

y

f(x1)

f(x2) x2

0 x1

x

? 区间D I. 如果对于区间D内的任意两个值
x1 , x2 ,当x1 ? x2时,都有f ?x1 ? ? f ?x2 ?,

一般地,设函数y= f(x)的定义域为I,

那么就说y= f(x)在区间D上是单调减函数.

单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间D是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间D上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单 调区间. 单调区间不一定是整个定义域,也 可能是某一段区间。

例1、根据图象说出函数的单调区间
θ/?C
10 8 6 4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

y=f(x),x∈[0,24]

t/h

[0,4]减 [4,14]增 [14,24]减

小结:在区间I内
单调增函数
y f(x2) y

单调减函数

图 象

·
·
x1 x2 x

f(x1) f(x2)

f(x1)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 自左至右,图象上升. 特征 y随x的增大而增大 数量 特征 当x1<x2时, f(x1) < f( x 2 )

自左至右,图象下降.
y随x的增大而减小 当x1<x2时, f(x1) > f(x2)

例2、画出下列函数图象,并写出单调区间:

(1) y ? ? x ? 2
2

1 (2) y ? ( x ? 0) x

例2、画出下列函数图象,并写出单调区间:

(1) y ? ? x ? 2
2

y

2

单调增区间为? ??, 0?

1
-2 -1
O

单调减区间为? 0, ?? ?

1

2

x

y

1 (2) y ? ( x ? 0) x

O

x
? ?

两个单调区间(-∞,0),(0,+ ∞ ) 两个单调区间(-∞,0)和(0,+ ∞)
两区间之间用和或用逗号隔开.
? 能否写成 ?? ?,0? ? ?0, ??? 吗?

1 例3、求证:函数 f ( x) ? ? ? 1 在区间 x

? ? 0, ? ? 上是单调增函数.

板书证明步骤。

证明函数单调性的四步骤:

(1)设量: (在所给区间上任意设两
个实数 x1 , x2且x1 ? x2 .)

(2)比较: (作差

f ( x1 ) ? f ( x2 ),然后变形,常

通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形)

(3)定号: (判断的

f ( x1 ) ? f ( x2 )符号)

(4)结论: (作出单调性的结论)

回顾小结
本节课主要学习了以下内容: 1、函数单调性的定义;

2、函数单调区间的判定;
3、证明函数单调性的步骤.

布置作业

一、课本:32页4题; ?二、《名师一号》31 页证明题5题,9题。
?

练习:填表
y ? kx+b(k ? 0)
函数

培优补弱
k y ? (k ? 0) x

k >0

k <0

k >0

k <0

单调区间 (??, ??) (??, ??) (??,0),(0, ??) (??,0),(0, ??) 单调性 增函数 减函数 减函数 增函数

练习:填表
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)

函数

a?0
单调区间
b (??, ? ) (? b , ??) 2a 2a

a?0
b (??, ? ) 2a
(? b , ??) 2a

单调性

减函数

增函数

增函数

减函数



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