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数列求和(含答案)



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高中数学必修五《数列求和》
【知识要点】
主要方法: 1、基本公式法: (1)等差数列求和公式: S ? n ? a1 ? an ? ? na ? n ? n ? 1? d n 1 例 1、 Sn ? 1 ? 1 ?

1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n


2

2

(2)等比数列求和公式:

q ?1 ? na1 , ? n Sn ? ? a1 ?1 ? q ? a ? a q ? 1 n ,q ?1 ? 1? q ? 1? q

例 2、 S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n 2 3 n

a

a

a

a

1 (3) 1 ? 2 ? 3 ? .... ? n ? n(n ? 1) 2

1 n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6 2 1 (5) 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? ? n ? n ? 1? ? ? 4?
(4) 12 ? 22 ? ? ? n 2 ? 2、错位相消法:给 Sn

? a1 ? a2 ? ? ? an 各边同乘以一个适当的

例 3、已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求

a2 ? a4 ? ? ? a2n .

数或式,然后把所得的等式和原等式相减,对应项相互抵消, 最后得出前 n 项和 Sn .一般适应于数列 ?anbn ? 的前 n 项求 和,其中 ?an ? 成等差数列, ?bn ? 成等比数列。 3、分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利 用公式法求和。 4、 拆项 (裂项) 求和: 把一个数列的通项公式分成两项差的形式, 相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有: (1)若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则 (2) 例 4、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

1 1? 1 1 ?; ? ? ? ? an an ?1 d ? an an ?1 ?

1? 1 1 ?; ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? ? 1

例 5、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.

(3)

?; 1 1? 1 1 ? ? ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ?

(4) (5)

1 1 ? a ? b a ?b
1 1 ? n?k ? n k

?
?

a? b ;
n ?1 ? n ;

?

?

例 6 、 数 列 {an} 的 前 n 项 和 S n ?

1 2 n ? 2n , 数 列 {bn} 满 足 2

(6) a ? ? ? n

S1 ,

n ?1

?Sn ? Sn?1 , n ≥ 2

bn ?

an ?1 。 an

5、 倒序相加法: 根据有些数列的特点, 将其倒写后与原数列相加, 以达到求和的目的。

(1) 求证:数列{an}是等差数列; (2) 求数列{bn}中的最大项和最小项。

【典例精析】
1/7

第2页

【巩固提高】
1. 等差数列{an}中,a6 + a35 = 10,则 S40 =_________。 2. 等比数列{an}中,a1 = 2 , a2a6 = 256,则 S5 =_________。 3.数列: 1? 4 , 2 ? 7 , 3 ? 30 ,…, n ?3n ?1? 前 n 项和

16.求和:S=1-2+3-4+…+ (?1)

n ?1

n.

1 1 4. 数列 1 , 1 , ,…, ,…的前 n 项和 Sn 1? 2 ? 3 ??? n 1? 2 1? 2 ? 3
= 。

17.如果数列{an}中,an=

1 ,求前 n 项之和 Sn. n ( n ? 2)

5. 数列 1? 3 ,2 ? 4 , ? 5 , …,n(n ? 2) …的前 n 项和 Sn =______ 3 6. 数列{an}中,a1 = 1,S n ?1 ? S n ? 7. 数列

1 ,则 a =___________。 an n 2

18.如果 an=1 +2 +…+n ,求数列 { 2n ? 1} 的前 n 项之和.
2 2 2

1 , 1 , 1 , …, 1 …的前 n 项和 Sn =______ 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

an

8. 数列{an}中, a ? n

1 n ? n ?1

, Sn = 9,则 n =________。

9. 数列{an}中,a1 = 2 , a n ?1 ?

1 ,则 S =_________。 n Sn 2

19.求数例 1,3a,5a ,7a ,…(2n-1)a ,…(a≠1)的前 n 项 和.

2

3

n-1

10.数列{an}中,a1 = 1 , a2 = 2 , an+2 – an = 1 + (–1)n,则 S100 =__________。 11.数列 ?
2 ? 前 n 项之和为 ? 2 ? ? 4n ?1?

( )

A.

2n 2n ? 1

B. 2n ? 1
2n ? 1

C.

2 2n ? 1

D.

n 2n ? 1

20.求和: S n ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 1 ?3 2 ?6 3 ?9 n ? 3n
2

12.数列 1× ( )

1 ,2× 1 ,3× 1 ,4× 1 ,…前 n 项和为 2 4 8 16

A.2- 1 ? n n n ?1

B.2D.

1 2 n ?1

2

2

?

n 2n

21.求数列 2 , 4 , 6 ,? ? ?, 2n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 23 2n

C.

1 2 1 (n +n-2)2 2n

1 1 n(n+1)2 2 n ?1
( ) 22.求数列 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 ,…的前 n 项和 4 8 2 16

? 的前 n 项之和为 1 13.数列 ? ? ? ? n ?1 ? n ?

A. n ? 1 +1

B. n ? 1 -1
n

C.

n

D. n ? 1

14.已知数列前 n 项和 Sn=2 -1,则此数列奇数项的前 n 项和为 ( A. )

1 1 1 2n n+1 n+1 (2 -1) B. (2 -2) C. (2 -1) 3 3 3
n

D.

1 2n (2 -2) 3

23. 求数列

1 , 1 , 1 , 1 , …的前 n 项和 Sn . 1 ? 2 2 2 ? 4 32 ? 6 4 2 ? 8
2

15.已给数列{an}的通项如下,分别求其前 n 项和. (1)an=3 -2n+1; (2)an=
1 ;? 2n 2 ? 8n ? 6

(3)an=

1 3n

(n+2).

24.已知 a n ? 2n ,求数列{an}的前 n 项和 Sn。 n

3

2/7

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高中数学必修五《数列求和》答案 【典例精析】 例 1、

an ?

1 n(n ? 1) 2

?

2 1 1 ? 2( ? ) n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n Sn ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? )? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
例 2、

1 1 1 1 1 ? ? S n ? 1 ? a ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? (n ? 1) a n ?1 ? n a n ? ? ? 1 S ? 1 ? 1 ? 2 1 ? 3 1 ? ? ? (n ? 1) 1 ? n 1 ?a n a2 a3 a4 an a n ?1 ? 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 a ?n 1 两式相减 ? 1 ? ) S n ? 1? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n n ?1 ? a ( 1 a a a a a a a n ?1 1? a 1 a(1 ? n ) an a ? ? Sn ? 2 n ?1 (a ? 1) a (a ? 1)
例 3、

10 ? (a1 ? a10 ) ? 5(a1 ? a10 ) ? 5(2a1 ? 9d ) ? 145 2 ? 2a1 ? 9d ? 29 ? 9d ? 27 ? d ? 3 S10 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n ? (3 ? 21 ? 2) ? (3 ? 2 2 ? 2) ? (3 ? 23 ? 2) ? ? ? (3 ? 2 n ? 2) 分组求和 ? 原式=3 21 +22 +23 + ? +2 n)-2n =3 ? (
例 4、

2(1 ? 2n ) ? 2n ? 6(2 n ? 1) ? 2 n 1? 2

设Sn ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ??? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 则Sn ? sin 2 89? + sin 2 88? + sin 2 87? ? ? + sin 2 2? + sin 2 1? ? 若? ? 0, ),则 sin ? ? cos( ? ? ) ( 2 2 2 ? 2 ? 2 ? ? Sn ? cos 1 + cos 2 ? cos 3 ? ? ? cos 2 88? ? cos 2 89? 又 ? sin 2 ? + cos 2 ? ? 1 ? 2Sn ? 89(sin 2 1? ? sin 2 89? ) ? 89(sin 2 1? ? co s 2 1? ) ? 89 ? Sn ?
例 5、

?

?

89 2

3/7

第4页

? n(n ? 1)(2n ? 1) ? 2n3 ? 3n 2 ? n ? 分组求和: Tn ? 2(13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 1 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) 1 ? 2 ? [n(n ? 1)]2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) 2 (n ? 2) 4 6 2 2
例 6、

( )证明:(证明的关键在于:证明此数列从n=1开始是等差数列。 1 PS:“n=2开始是等差数列”不是通常意义的“等差数列”) 1 ? S n ? n 2 ? 2n ? 1 5 ? 2 n ? 2,? ? an ? (2n ? 1) ? 2 ? n ? 2 2 ? S ? 1 (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) n -1 ? ? 2 5 3 1 3 验证,n ? 1时,a1 ? 1 ? ? ? , S1 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 5 即a1 =S1 ? an =n ? , (n ? 1) 2

(2)bn ? 1 ?

2 , (n ? 1) 2n ? 5 n ? 2时,(bn ) min =-1,

n=3时,(bn ) max ? 3
【巩固提高】

1、 200 2、 62 3、n(n ? 1) 2 2n 4、 n ?1 n 7 5、n(n ? 1)( ? ) 3 6
1 6、an ? (? ) n ?1 2 3n 2 ? 5n 7、S n ? 4( n ? 1)( n ? 2) 8、 99 3 9、S n ? 2 ? ( ) n ?1 2 10、 2600
11、A 12、B 13、B 14、A

4/7

第5页

15、分组求和 ( )S n ? (31 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n 1 3(1 ? 3n ) n( n ? 1) 3 ? 2? ? n ? (3n ? 1) ? n 2 1? 3 2 2 1 1 1 (2)an ? 2 ? ? 2 2n ? 8n ? 6 2(n ? 4n ? 3) 2(n ? 1)(n ? 3) 1 1 1 ? ( ? ) 4 n ?1 n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ?1 n n ? 2 n ?1 n ? 3 1 1 1 1 1 5 2n ? 5 ? ( ? ? ? )? ? 4 2 3 n ? 2 n ? 3 24 4(n ? 2)(n ? 3) ?

1 1 1 1 1 ? ? Sn ? 3 31 ? 4 32 ? 5 33 ? ? ? (n ? 1) 3n ?1 ? (n ? 2) 3n ? (3) ? ? 1 S ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? ? ? (n ? 1) 1 ? (n ? 2) 1 ?3 n 32 33 34 3n 3n ?1 ? 2 1 1 1 1 1 Sn ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 2) n ?1 3 3 3 3 3 3 7 4n ? 13 Sn ? ? 4 12 ? 3n
16、

? S ? 1 ? (?1) 2 ? 2(?1)3 ? 3(?1) 4 ? ? ? ( n ? 1)(?1) n ? n(?1) n ?1 ? 3 4 5 n ?1 n?2 ?? S ? 1? (?1) ? 2(?1) ? 3(?1) ? ? ? ( n ? 1)(?1) ? n(?1) 2 S ? (?1) 2 ? (?1)3 ? (?1) 4 ? ? ? (?1) n ?1 ? n(?1) n ? 2 S? 1 1 n 1 1 n ? (?1) n ? (?1) n ? ? ( ? )(?1) n 4 4 2 4 4 2

17、

1 1 1 an ? ( ? ) 2 n n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2 1 1 1 1 3n 2 ? 5n ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)
18、

1 an ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 2n ? 1 6 1 1 bn ? ? ? 6( ? ) an n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 6n Sn ? 6(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 6(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
19、
5/7

第6页

? Sn ? 1? a1 ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 3)a n ?2 ? (2n ? 1)a n ?1 ? 2 3 4 n ?1 n ? aSn ? 1? a ? 3a ? 5a ? ? ? (2n ? 3)a ? (2n ? 1)a (1 ? a) Sn ? a1 ? 2a 2 ? 2a 3 ? ? ? 2a n ?1 ? (2n ? 1)a n 1 2a (2n ? 1)a n n ?1 Sn ? ? (1 ? a ) ? 1 ? a (1 ? a) 2 1? a
an ? 1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 3) 3 n n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 3 4 2 5 3 6 4 7 n ? 3 n n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 n n ? 3 20、 21、 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ) 3 2 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 11n3 ? 63n 2 ? 109n ? 55 ? 18(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)
1 1 1 1 1 ? ? Sn ? 2 ? 21 ? 4 22 ? 6 23 ? ? ? (2n ? 2) 2n ?1 ? 2n 2n ? ? ? 1 S ? 2 ? 1 ? 4 1 ? 6 1 ? ? ? (2n ? 2) 1 ? 2n 1 ?2 n ? 22 23 24 2n 2n ?1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? Sn ? S n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2n n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ] ? 2n 1 ? 2[ 2 1 2n ?1 1? 2 1 ? Sn ? 4 ? (4 ? 2n) n 2
22、

? an ? n

1 2n

1 1 1 1 1 ? ? Sn ? 1 21 ? 2 22 ? 3 23 ? ? ? (n ? 1) 2n ?1 ? n 2n ? ?? ? 1 S ? 1 1 ? 2 1 ? 3 1 ? ? ? (n ? 1) 1 ? n 1 ?2 n ? 22 23 24 2n 2n ?1 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n n ?1 2 2 2 2 2 2 1 n ? Sn ? 2 ? n ?1 ? n 2 2
23、

6/7

第7页

观察法得an ? ? Sn ? ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2
2

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 n ?1 n ?1 n n ? 2

1 1 1 1 3n 2 ? 5n (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

24、

1 1 1 1 1 ? ? Sn ? 2 ? 31 ? 4 32 ? 6 33 ? ? ? (2n ? 2) 3n ?1 ? 2n 3n ? ? ? 1 S ? 2 ? 1 ? 4 1 ? 6 1 ? ? ? (2n ? 2) 1 ? 2n 1 ?3 n 32 33 34 3n 3n ?1 ? 1 2 1 1 1 1 1 Sn ? Sn ? Sn ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2n n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ) 3 ? 2n 1 ? 2[ 3 1 3n ?1 1? 3 3 3 1 ? S n ? ? ( ? n) n 2 2 3

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