9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

24课题:平面向量的概念及其线性运算



2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

课题:平面向量的概念及其线性运算
一、考点梳理: 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量

:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: a+b=b+a; 加法 两个向量和的运算 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c= 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时, λa 的方向与 a 的方向相同; 当 λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向相反; 当 λ=0 时,λa=0 3.共线向量定理-------------向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 4.易错点 1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系. 5.重要结论 λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b) a+(b+c)

数乘

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1.向量的中线公式——若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2
2.三点共线等价关系——A,P,B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面内异 于 A,P,B 的任一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

二、基础自测: 1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.有不相等的模 B.不共线 ) C.不可能都是零向量 D.不可能都是单位向量

2.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于(

??? ?

)

? ??? ? 1 ??? A.- BC + BA 2

? ??? ? 1 ??? B.- BC - BA 2
??? ?

? ??? ? 1 ??? C. BC - BA 2

? ??? ? 1 ??? D. BC + BA 2

3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. 4.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________. 三、考点突破: 考点一、向量的有关概念 【例 1】 1.给出下列命题:①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. A.②③ B.①② 其中正确命题的序号是( C.③④ ) D.④⑤

??? ?

??? ?

??? ?

????

2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平 行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 [类题通法] 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈. a a (3) 是与 a 同向的单位向量, 是与 a 反向的单位向量. |a| -|a| 考点二、向量的线性运算 【例 2】(1)如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF =( A.0 B. BE B.1 C.2 ) D.3

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ?

C. AD

??? ?

D. CF

??? ?

??? ? ??? ? ???? 1 2 (2)(13· 江苏)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 2 3
为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 变式:若(2)条件变为:若 AD =2 DB , CD = CA +λ CB ,则 λ=________. 3
(3).已知平面内一点 P 及△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则点 P 与△ABC 的位置关系是( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 BC 上 C.点 P 在线段 AC 上 D.点 P 在△ABC 外部 [类题通法] 在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角 形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质, 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

考点三、共线向量定理的应用 【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线,(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:A,B,D 三 点共线.(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

??? ?

??? ?

??? ?

[类题通法] 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法--------若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线. 四、当堂检测 1.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较 大小. ③λa=0(λ 为实数), 则 λ 必为零. ④λ, μ 为实数, 若 λa=μb, 则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

??? ?

????

2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =( 3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

)

3.在?ABCD 中,=a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN =________(用 a,b 表示). 4. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外,BC 2=16, | AB + AC |=| AB - AC |, 则| AM |=________.

??? ?

????

????

???? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

???? ?

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

五、课后巩固: 1.设 a、b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ) B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

2.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB + FC =( A. AD

??? ?

??? ?

)

????

1 ???? B. AD 2

C. BC

??? ?

? 1 ??? D. BC 2

???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? 3.在△ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 AN = NC ,P 是 BN 上的一点,若 AP =m AB + AC ,则实数 m 2 9
的值为( 1 A. 9 ) 1 B. 3 C.1 D.3 任意一点,

4.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内

??? ? ??? ? ???? ???? 则 OA + OB + OC + OD 等于 ( ) ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A. OM B.2 OM C.3 OM D.4 OM ???? ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ? 5. 已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得 AB + AC =m AM 成立, 则 m=________. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量 OA , OB , OC , OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,
则四边形 ABCD 的形状为________.

??? ? 1 ??? ? ??? ? 7.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出下列命题:① AD = a 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 1 1 1 -b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0.其中正确命题的个数为________. 2 2 2
8.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.(1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线;(2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

课题:平面向量的概念及其线性运算
一、考点梳理:

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: a+b=b+a; 加法 两个向量和的运算 三角形法则 (2)结合律: (a+b)+c= 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 (1)|λa|=|λ||a|; 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时, λa 的方向与 a 的方向相同; 当 λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向相反; 当 λ=0 时,λa=0 3.共线向量定理-------------向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b) a+(b+c)

数乘

1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1.向量的中线公式——若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2
2.三点共线等价关系——A,P,B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面内异 于 A,P,B 的任一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

二、基础自测: 1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.有不相等的模 B.不共线 ) C.不可能都是零向量 D.不可能都是单位向量 答案:C

2.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于(

??? ?

)

? ??? ? 1 ??? A.- BC + BA 2
??? ?

? ??? ? 1 ??? B.- BC - BA 2
??? ?

? ??? ? 1 ??? C. BC - BA 2

? ??? ? 1 ??? D. BC + BA 2

答案:A

3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2.答案:2 4.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________. 1 k= , ? ? 3 解得? 1 λ=- . ? ? 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?λ=-k, ? 解析:由题意知 a+λb=k[-(b-3a)],所以? ? ?1=3k,

1 答案:- 3

三、考点突破: 考点一、向量的有关概念 【例 1】 1.给出下列命题:①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. A.②③ B.①② 其中正确命题的序号是( C.③④ ) D.④⑤

??? ?

????

解析:选 A ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC ,又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为 平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同,又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同,∴a,c 的长度相等 且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而 是必要不充分条件. ⑤不正确.考虑 b=0 这种特殊情况.综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A. 2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平 行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述, 假命题的个数是 3. [类题通法] 平面向量中常用的几个结论

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈. a a (3) 是与 a 同向的单位向量, 是与 a 反向的单位向量. |a| -|a| 考点二、向量的线性运算 【例 2】(1)如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF =( A.0

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ? B. BE

??? ? C. AD

??? ? D. CF

??? ? ??? ? ???? 1 2 (2)(13· 江苏)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 2 3
为实数),则 λ1+λ2 的值为________. [解析] (1)如图, ∵在正六边形 ABCDEF 中, ∴ BA + CD + EF = BA + AF + EF CD = AF ,BF = CE , = BF + EF = CE + EF = CF .

??? ?

???? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ???? ? 2 ???? ? 1 ??? 1 ??? 1 2 (2)由题意 DE = DB + BE = AB + BC = AB + ( BA + AC )=- AB + AC ,所以 λ1=- ,λ2= , 2 3 2 3 6 3 6 3
1 即 λ1+λ2= . 2 [答案] (1)D 1 (2) 2

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 若(2)条件变为:若 AD =2 DB , CD = CA +λ CB ,则 λ=________. 3
解析:∵ CD = CA + AD , CD = CB + BD ,∴2 CD = CA + CB + AD + BD .又∵ AD =2 DB ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 4 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ∴2 CD = CA + CB + AB = CA + CB + ( CB - CA )= CA + CB .∴ CD = CA + CB ,即 λ= . 3 3 3 3 3 3 3
[类题通法] 在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角 形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质, 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 考点三、共线向量定理的应用 【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线,(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:A,B,D 三 点共线.(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. [解] (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

+3a-3b=5(a+b)=5 AB .∴ AB , BD 共线,又∵它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. [类题通法] 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? 2.证明三点共线的方法--------若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线.
四、当堂检测

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

1.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较 大小. ③λa=0(λ 为实数), 则 λ 必为零. ④λ, μ 为实数, 若 λa=μb, 则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

解析:选 C ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它 们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0.④错误, 当 λ=μ=0 时,λa=μb=0,此时,a 与 b 可以是任意向量.故选 C. 2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =( 3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

)

? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ??? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ? 1 解:选 B ∵ CB = AB - AC =a-b,又 BD =3 DC ,∴ CD = CB = (a-b),∴ AD = AC + CD =b+ 4 4 4
1 3 (a-b)= a+ b. 4 4 3.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线,且 b+c 与 a 共线,则向量 a+b+c=( A.a B .b C.c D.0 )

解:选 D 依题意,设 a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即 a-c=mc-na.又 a 与 c 不共线, 于是有 m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0,选 D.

??? ? 1 ???? ??? ? 4.如图,在△ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=4,且 AD = AC +λ AB (λ∈R),则 AD 4
的长为( ) B.3 3 C.4 3 D.5 3

A.2 3

1 3 解析:选 B 因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 λ= ,如图,过点 D 分别作 4 4

???? 1 ???? ???? ? 3 ??? ? AC,AB 的平行线交 AB,AC 于点 M,N,则 AN = AC , AM = AB ,经计算得 AN= 4 4
AM=3,AD=3 3. 5.在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN =________(用 a,b 表示).

??? ?

??? ?

????

????

???? ?

???? ???? ???? ? ???? ? 3 ???? ???? 1 1 1 1 a+ b?=- a+ b. 解:由 AN =3 NC 得 4 AN =3 AC =3(a+b), AM =a+ b,所以 MN = (a+b)-? ? 2 ? 2 4 4 4
1 1 答案:- a+ b 4 4 6. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外,BC 2=16, | AB + AC |=| AB - AC |, 则| AM |=________.

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

???? ?

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? 1 ??? ? 解:由| AB + AC |=| AB - AC |可知, AB ⊥ AC ,则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,则| AM |= | BC |=2 2
五、课后巩固: 1.设 a、b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ) B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解析:选 C 对于 A,可得 cos?a,b?=-1,因此 a⊥b 不成立;对于 B,满足 a⊥b 时|a+b|=|a|-|b|不成立; 对于 C,可得 cos?a,b?=-1,因此成立,而 D 显然不一定成立. 2.设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC =2 BD ,CE =2 EA , AF =2 FB ,则 AD + BE + CF 与 BC ( A.反向平行

????

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

) B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ? ??? 解析:选 A 由题意得 AD = AB + BD = AB + BC , BE = BA + AE = BA + AC , 3 3

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? ??? CF = CB + BF = CB +3 BA ,因此 AD + BE + CF = CB +3( BC + AC - AB )
??? ? ??? ? ??? ??? ? 2 ??? ? ? ? ??? ? 1 ??? = CB + BC =- BC ,故 AD + BE + CF 与 BC 反向平行. 3 3

???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? 3.在△ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 AN = NC ,P 是 BN 上的一点,若 AP =m AB + AC ,则实数 m 2 9
的值为( 1 A. 9 ) 1 B. 3 C.1 D.3

???? 1 ???? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? ??? ? 2 ???? 解析:选 B 如图,因为 AN = NC ,所以 AN = AC , AP =m AB + AC =m AB + AN ,因为 B、P、 2 3 9 3
2 1 N 三点共线,所以 m+ =1,所以 m= . 3 3 4.已知平面内一点 P 及△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则点 P 与△ABC 的位置关系是(

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 BC 上 C.点 P 在线段 AC 上 D.点 P 在△ABC 外部 解析:选 C 由 PA + PB + PC = AB 得 PA + PC = AB - PB = AP ,即 PC = AP - PA =2 AP , 所以点 P 在线段 AC 上,选 C. 5.设 O 在△ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC =0,则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( A.3 5 B. 3 C.2 3 D. 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

解析:选 A 设 AC,BC 的中点分别为 M,N,则已知条件可化为( OA + OC )+2( OB + OC )=0,即 OM +

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ???? ? ???? 2 2 ON =0,所以 OM =-2 ON ,说明 M,O,N 共线,即 O 为中位线 MN 上的靠近 N 的三等分点,S△AOC= S 3
△ANC

S△ABC 21 1 = · S△ABC= S△ABC,所以 =3. 32 3 S△AOC

6. 已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得 AB + AC =m AM 成立, 则 m=________.

????

????

???? ?

??? ?

????

???? ?

???? ? 2 ??? ? 解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 AM = AD ,因为 AD 为中线, 3
则 AB + AC =2 AD =3 AM ,所以 m=3. 答案:3 7.已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量 OA , OB , OC , OD 满足等式 OA + OC = OB + OD , 则四边形 ABCD 的形状为________.

??? ?

????

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 解析: ∵ OA + OC = OB + OD , ∴ OA - OB = OD - OC , ∴ BA = CD , ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答
案:平行四边形

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/18

??? ? 1 ??? ? ??? ? 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出下列命题:① AD = a 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 1 1 1 -b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0.其中正确命题的个数为________. 2 2 2
??? ? 1 ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ???? ? 1 ??? ? 1 1 解析: BC =a, CA =b, AD = CB + AC =- a-b,故①错; BE = BC + CA =a+ b,故②错; 2 2 2 2

??? ? ??? ? ??? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 CF =2( CB + CA )=2(-a+b)=-2a+2b,故③正确;∴ AD + BE + CF =-b-2a+a+2b+2b-2a=0.
∴正确命题为②③④.答案:3 9.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.(1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线;(2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. 解:(1)证明:∵ AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,∴ AC = AB + BC =4e1+e2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

? ???? ??? ? ???? ??? ? 1 1 ??? =- (-8e1-2e2)=- CD ,∴ AC 与 CD 共线.又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. 2 2
(2) AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,∵A、C、D 三点共线,∴ AC 与 CD 共线,从而存在实

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ??? ? ?3=2λ, ? 3 4 数 λ 使得 AC =λ CD ,即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2),得? 解得 λ= ,k= . 2 3 ?-2=-λk, ?
??? ? 2 ??? ? ??? ? ???? 10.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, AE = AD , AB =a, AC =b. 3
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ;(2)求证:B,E,F 三点共线.

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? 1 ???? ???? 解:(1)延长 AD 到 G,使 AD = AG ,连接 BG,CG,得到?ABGC,所以 AG =a+b, 2
??? ? 1 ???? 1 ??? ? 2 ??? ? 1 ???? 1 ???? 1 AD =2 AG =2(a+b), AE =3 AD =3(a+b), AF =2 AC =2b,

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? ??? ? 1 1 1 BE = AE - AB =3(a+b)-a=3(b-2a), BF = AF - AB =2b-a=2(b-2a). ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 BE , BF 有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线. 3



更多相关文章:
24课题:平面向量的概念及其线性运算
24课题:平面向量的概念及其线性运算_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案 主备人:邹伟 备课日期:2015/9/18 课题:平面向量的...
第11讲 平面向量的概念及线性运算教案
课题名称:平面向量的概念及线性运算 教学重点:平面向量概念的熟练应用 1.向量的...文档贡献者 春秋2012在路上 贡献于2013-04-24 1/2 专题推荐 幼班教师寄语 ...
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算_初三数学_数学_初中教育_教育专区...课题名称 年级 初三 上课时间 2014/05/18 教学设计...? ? ? D O B 第24题图 C ? ? 9、在梯形 ...
2014届高三北师大版文科数学课时作业 第24讲 平面向量的概念及其线性运算 Word版含解析]
2014届高三北师大版文科数学课时作业 第24平面向量的概念及其线性运算 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三北师大版文科数学课时作业 第24讲 平面向量...
高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算
高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考一轮复习 考点规范练24 平面向量的概念及线性运算 ...
24.7平面向量的线性运算
24.7平面向量的线性运算_机械/仪表_工程科技_专业资料。辅导讲义讲义编号: 学员编号: 学员姓名: 课题 年级:初三 辅导科目:数学 平面向量的线性运算 课时数:3 ...
4.1平面向量的概念及线性运算
4.1平面向量的概念及线性运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。亳州一中南校...2.向量的线性运算 课题探究 设置目的: 直接考察 向量的加 法、 向量的 减法...
7.1 平面向量的概念及线性运算教案
7.1 平面向量的概念及线性运算教案_理学_高等教育_教育专区。中职数学教案【课题】7.1 【教学目标】知识目标: 平面向量的概念及线性运算 (1)了解向量、向量的相...
平面向量的基本概念及线性运算基础+复习+习题+练习)
平面向量的基本概念及线性运算基础+复习+习题+练习)_数学_高中教育_教育专区。课题:平面向量的概念及其线性运算考纲要求:①了解向量的实际背景 ②理解平面向量的概念...
2平面向量的概念及线性运算
数学《教·学案》 课题 教学 目标 重点 难点 教学 方法 环节 授课人:邱瑶 课型 复习 时间:9 月 2 日 课时数 2 平面向量的概念及线性运算 1.了解向量的...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图