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浙江省杭州第二中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学



浙江省杭州第二中学 2015-2016 学年高一下学期期中考试数 学

一、选择题:共 10 题
1.ΔABC 中, = 3, = 1, = ,则 ΔABC 的面积等于 6
π

A.

3 2

B.

3 4

C. 3或 3 2

/>
D. 3或
2

3 4

【答案】D 【解析】本题考查正弦定理,三角形的面积公式.由余正定理知,sin = sin ,因为 = 3,
3 3 = 1, = 6 ,所以 = 3 或 3 ,所以 = 2 或6 ;所以Δ =2 × × sin= 或 .选 D. 2 4 π π 2π π π 1

2.已知是边长为 2 的正 ΔABC 的边上的动点,则 ? ( + )







A.有最大值 8 【答案】B

B.是定值 6

C.有最小值 2

D.是定值 2

【解析】本题考查向量的数量积和线性运算.由题意设 = , = , = , = ? = ? , = + = + ? = 1 ? + ,所以 ? +
2 2 2 ° = 1 ? + ? + = 1 ? + + ? = + cos60 =4 + 2 = → → → → → → → →











6.所以 ? ( + )是定值 6.选 B.







3.数列 满足1 = 2, +1 = 1?

1



∈ ? ,则2016 = C.2 D.2
1

A.?2 【答案】D

B.?1

4 = 2,5 = ?1,6 = 【解析】 本题考查数列的周期性.由题意知,1 = 2,2 = ?1,3 = 2;
1 2

1

;?;所以此数列以 3 为周期,所以2016 = 3 = 2.选 D.

1

4.在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边过

点 sin 8 , cos 8 ,则sin 2 ? 12 的值为 A.
3 2

π

π

π

B.?

3 2

C.

1 2

D.?

1 2

【答案】A 【解析】本题考查三角函数的定义,二倍角公式,差角公式.由三角函数的定义知,sin = cos 8 ,cos = sin 8 ,则sin2 = 2 sin π cos π = 8 8 ?cos = ?
4 π 12 π π π 2 2

,cos2 = 1 ? 2sin2 = 1 ? 2 cos 2 8 =
1+cos 2 6? 2 4
π 6

π

;而sin π = 2 12
π

2

1?cos 2 π

π 6

=
2 2

6? 2, 4

cos 12 = +
2 2

π

=
3 2

6+ 2;所以sin 4

2 ?

= sin2cos 12 ? cos2sin 12 =

×

6+ 2 4

×

=

.选 A.

5.若0 < < ,? < < 0,cos 2 2

π

π

π 4

+ = ,cos
3

1

π 4 3

?2 =



3 3

,则cos + 2 = D.?
6 9



A.

3 3

B.?

3 3

C.5

9

【答案】C 【解析】本题考查同角三角函数的基本关系,差角公式.0 < < 2 ,所以4 < 4 + < 为cos
π 4 π 4 π 4 π π π 3π 4

,因

+ = > 0,所以4 < 4 + < 2 ,所以sin
3 2

1

π

π

π

π 4 6 3

+ =

2 2 3

;因为? 2 < < 0,所以
π 4

π

< ?
π 4



< ,cos 2
π 4

π

π 4

?

2

=
π 4

3 3

,所以sin

π 4 π 4

?

2

=

;所以cos + 2 =cos
1 ?2 = × 3 3 3

+ ?
5 3 9

? 2 =cos

+ cos

? 2 + sin



+ sin

π 4

+

2 2 3

×

6 3

=

.选 C.

6.在 ΔABC 中,cos = cos,则 ΔABC 的形状是

A.等腰三角形 【答案】D

B.正三角形

C.直角三角形

D.以上都可能

【解析】本题考查正弦定理.因为cos = cos,由正弦定理知,sincos = sincos,所 以sin2 = sin2,所以2 = 2或2 + 2 = π,所以 = 或 + = 2 ;所以 ΔABC 是等 腰或直角三角形.选 D.
π

7.已知函数 () = sin ? cos(,为常数, ∈ )在 = 处取得最小值,则函数 3

π

= ( 3 ? )的图象关于( )中心对称.



A.(

5π 6

, 0)

B.( 3 , 0)



C.( 2 , 0)

π

D.( 3 , 0)

π

【答案】A 【解析】本题考查三角函数的性质与最值,三角恒等变 换.() = sin ? cos= 2 + 2 sin( + φ),而函数()在 = 3 处取得最小值,所以
π 3 π

+ φ = 2π ? 2 ,即φ = 2π ?
π

π

5π 6

;所以() = 2 + 2 sin( + 2π ?
π 5π 6

5π 6

), = ( 3 ?
2π 3



)= 2 + 2 sin(? + 2π ? 6 )= 2 + 2 sin(? ? 6 );当 = = ( 3 ? )的图象关于(
2π 5π 6

时, =

? = 0,即

, 0)中心对称.选 A.

【备注】辅助角公式:sin + cos = 2 + 2 sin( + φ).

8.若, 是锐角三角形 ABC 的两个内角,则以下选项中正确的是

A.sin < 【答案】C

B.sin <

C.tantan > 1

D.tantan < 1

【解析】本题考查三角函数.因为, 是锐角三角形 ABC 的两个内角,不妨设 = 3 , =
π 4

π

,sin > ,A 错;sin > ,B 错;tantan > 1,C 正确;D 错.选 C.

9.已知两个等差数列{ }和{ }的前项和分别为 和 ,且 =



6 +54 +5

,则使得 为



整数的正整数的个数是 A.5 【答案】B 【解析】本题考查等差数列的通项与求和.因为{ }、{ }为等差数列,所以
1 2 ?1 (2?1) 2 ?1 2 = = = (2 ? 1)( + 1 2 ?1 ) 2 ?1 (2?1) 2 (2 ?1)( + )

B.4

C.3

D.2

=

6 +24 +2

=6 + +2;若 为整数,即 +2为正整数,此时

12



12

= 1、2、4、10共 4 个.选 B.

10. ∠ = 90?, = 2, 是弧上的动点(含端点), 扇形中, 其中 是的中点,

若实数, 满足 = + ,则 + 的取值范围是







A.[1, 2] 【答案】D

B.[1, 3]

C.[1,2]

D.[1, 5]

【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积,三角恒等变换.因为∠ = 90?,以 、为、轴建立平面直角坐标系,则 = 1,0 , = 0,2 ,令 2cos, 2sin ( ∈ [0, 2 ]),则 = 2cos, 2sin = , 2 = + ,即 = 2cos 且 = sin;所以 + = 2cos + sin= 5sin( + φ) ≤ 5(当且仅当tanφ = 2 = tan 时 等号成立).选 D. 【备注】辅助角公式:sin + cos = 2 + 2 sin( + φ).
1 π → →

二、填空题:共 6 题
11. 1 ? sin2 + 1 + sin2 =_________.

【答案】2sin1 【解析】本题考查倍角公 式. 1 ? sin2 + 1 + sin2= 1 ? 2sin1cos1 + 1 + 2sin1cos1= sin1 ? cos1 + sin1 + cos1 = 2sin1.即 1 ? sin2 + 1 + sin2 = 2sin1.

12.已知数列{ }是等差数列,2 + 7 = 12,4 5 = 35,则 =_______.

【答案】2n-3 或 15-2n 【解析】本题考查等差数列.由等差数列的性质知,4 + 5 = 2 + 7 = 12,因为 4 5 = 35,所以 时, = 7 = 7 4 = 5 = 5 = ?1 ,或 4 ,此时, = 2 ? 3;当 4 ;当 4 时, 1 5 = 7 5 = 5 5 = 7 5 = 5 = 2

1 = 13 ,此时, = 15 ? 2.所以 等于 2n-3 或 15-2n. = ?2

13.已知, ∈ (0, π),且cos = ,sin( + ) = 5 3,则cos=_________. 7
14

1

【答案】2

1

【解析】本题考查差角公式.2 > = 7 > 0,因为 ∈ (0, π),所以 ∈ ( 3 , 2 ),所以 sin =
11 4 3 7

1

1

π π

;因为sin + =

5 3 14

<

4 3 7

= sin,所以 + ∈ ( 2 , π),所以cos + =
3 14 7 14

π

? 14;所以cos = cos + ? =cos + cos + sin + sin=? 11 × 1 + 5
4 3 7 1 = .即cos = 2. 2 1

×

14. O 为 ΔABC 的外心, 在 ΔABC 中, 满足15 + 8 + 17 = , 则∠ =___________.







【答案】4

π

【解析】 本题考查平面向量的数量积.画出图形(如图所示);令 = = = ;由题意 得15 + 8 = 17,平方得289 2 + 240 · = 2892 ,即 · = 0,即 ⊥ ,∠ = 2 ;在圆中,∠ =2 ∠ = 4 .
→ → π 1 π → → → → → → →

15.已知 RtΔABC 中,两直角边分别为、,斜边和斜边上的高分别为 、,则

+2 +



取值范围是_________. 【答案】(1, 2] 【解析】本题考查同角三角函数的基本关系,三角恒等变换.画出图形,由题意得 = sinA, = tanA, = ;则 + =
π π +2


+2 sinA 1+2sinA (sinA + )2 = = =sinA sinA + sinA + tanA + π π 3π 4

+

cos= 2sin( + 4 );而 ∈ (0, 2 ),所以 + 4 ∈ ( 4 ,
π +2

),所以sin( + π ) ∈ (
4

2 2

, 1],即

2sin( + 4 ) ∈ (1, 2];即 的取值范围是(1, 2]. +

【备注】辅助角公式:sin + cos = 2 + 2 sin( + φ).

16.若正实数,,满足 2 + 2 = 9, 2 + 2 + = 16, 2 + 2 + 3 = 25,则

2 + 3 + =__________. 【答案】24
【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意,构造 = , , = + , 2 3 2

, =

+

3 2

, 2 ;则2 = 2 + 2 = 9,2 = 2 + 2 + = 16,2 = 2 + 2 + 3 = 25,且
3 2

2 + 2 = 2 ,即 ⊥ ,即 · = 2 ;而 · = + 所以2 + 3 + =2( +
3 2

+

2

= +

3 2

+

2

=2 = 9,

+

2

)=18.

三、解答题:共 4 题
17.在 ΔABC 中,角, , 的对边分别为,, ,且
2? 3 3

=

cosC cos



(1)求角的值; (2)若∠ = 6 ,边上中线 = 7,求 ΔABC 的面积. 【答案】(1)∵ ∴ = 6 . (2)∵ ∠ = 6 ,∴ = π ? ? =
π 2π 3 π 2? 3 3 π

=

cosC cos

,∴由正弦定理得

2sin ? 3sinC 3sin

=

cosC cos

,化简得cos =

3 2



,可知 ΔABC 为等腰三角形.

在 ΔAMC 中,由余弦定理,得2 = 2 + 2 ? 2 ? cos120?, 即7 = 2 + (2 )2 ? 2 × × 2 × cos120? ,解得 = 2.
1 1 ∴ΔΑΒC 的面积 = 2 sin = × 22 × 2 2 3 2

= 3.
3 2

【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.(1)由正弦定理得cos = 由余弦定理得 = 2,∴ = 2 2 sin = 3.
1

,∴ = 6 ;(2)

π

18.已知数列{ },设其前项和为 ,满足5 = 20,8 = ?4.

(1)求 与 ; (2)设 = +1 +2 , 是数列{ }的前项和, 若对任意 ∈ +, 不等式 ≤ 成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) = 13 ? 3, =
?3 2 +23 2 ?466 3



.

(2)∵ 1 > 2 > 3 > 4 > 0 > 5 > 6 >???, ∴ 1 = 1 2 3 > 0 , 2 = 2 3 4 > 0 , 3 = 3 4 5 < 0 , 4 = 4 5 6 > 0 , 5 = 5 6 7 < 0 , 且当 > 5时,都有 < 0,所以当 = 4时, 的值最大,此时 = 310, 由310 ≤
?466 5

,得 ≥ 2016.

【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)由 与 的关系求得 = 13 ? 3,由等差数列 的求和公式得 ;(2)当 = 4时, 的值最大为310,由310 ≤
?466 5

,得 ≥ 2016.

19.如图,某房产开发商计划在一正方形土地内建造一个三角形住宅区,在其余

土地种植绿化,住宅区形状为三角形,其中位于边上,位于边上. 已知, ∠ = 4 ,设∠ = ,记绿化率 = 1 ? 好.
π 面积 正方形 面积

,若越大,则住宅区绿化越

(1)求()关于的函数解析式; (2)问当取何值时,有最大值?并求出的最大值. 【答案】(1)∵ ∠ = , ∠ = 4 ,∴ ∠ = 4 ? , ∈ 0, 4 , ∴ = cos , = cos (π ? ),
4

π

π

π

100

100

1

∴ = 1 ? 1 =1? ? 2 cos(

2

? cos ?

100

100 cos
π ? 4

1002 1

1 1 =1? ? 2 cos cos =1?

π 4

?

2 2

cos +

2 2

sin)

2 1 ? 2 2 cos + cossin

=1?

2 1 1 ? cos 2 +1 sin 2 = 1 ? 2 ? π 2 + 2 sin 2 + 4 + 1 2 2 =1? 1 sin 2 +
π 4

+1
2 2

.

(2)∵ ∈ [0, 4 ],∴ 2 + ∈ [ ,
4 4

π

π

π 3π 4 1

],∴ sin(2 + π ) ∈ [
4 2

, 1],

∴ () = 1 ?
π

π sin (2 + )+1 4

1

≤1 ?

2 +1 2

=1 ? 2+ 2=1 ? (2 ? 2)= 2 ? 1.

∴当 = 0或4 时,有最大值 2 ? 1. 【解析】本题考查三角函数的性质与最值,二倍角公式.(1)求得 = 1 ?
1 sin 2 +
π 4

+1

.(2)() = 1 ?

sin (2 + )+1≤
π 4

1

2 ? 1.

20.已知 = (sin, cos), = (sin, ), = (?2cos, sin ? ).

(1)当 ∈ [0, 4 ]时,求| + |的取值范围; (2)若() = ( + ) ? ,求当为何值时,()的最小值为? . 2 【答案】(1) + = (sin ? 2cos, sin), | + |2 = sin ? 2cos, sin
2 3

π

= 2sin2 ? 4sincos + 4cos2

= 2cos2 ? 4sincos + 2 = cos2 ? 2sin2 + 3 = 5cos 2 + + 3,其中tan = 2, 又∵ ∈ [0, 4 ],∴ 2 + ∈ [, 2 + ],∴ 5cos(2 + )在[, 2 + ]上单调递减, ∴ | + |2 ∈ [1,4],∴ + ∈ 1,2 . (2) + = (2sin, cos + ), () = ( + ) ? = ?4sincos + (cos + )(sin ? )=?3sincos + (sin ? cos) ? 2 令 = sin ? cos = 2sin( ? 4 ),则 ∈ [? 2, 2], 且 2 = sin2 + cos2 ? 2sincos = 1 ? 2sincos,所以sincos = 所以()可化为() = (?3) ? 对称轴 = ? 2× 3 = ? 3 .
2

π

π

π

π

1? 2 2



1? 2 2

+ ? 2 =2 2 + ? 2 ? 2, ∈ [? 2, 2],

3

3





①当? 3 < ? 2,即 > 3 2时,



()min = (? 2) = 2 × (? 2)2 + (? 2) ? 2 ? 2 = ? 2 ? 2 + 2,
? 由? 2 ? 2 + 2 = ? 2,得 2 + 2 ? 3 = 0,所以 = 3 3 2± 14 2

3

3

3



因为 > 3 2,所以此时无解. ②当? 2 ≤ ? 3 ≤ 2,即?3 2 ≤ ≤ 3 2时, ()min = (? 3 ) = 2 (? 3 )2 + (? 3 ) ? 2 ? 2 = ? 6 2 ? 2. 由? 6 2 ? 2 = ? 2,得 = 0 ∈ [?3 2, 3 2]. ③当? 3 > 2,即 < ?3 2时, ()min = ( 2) = )( 2)2 + 2 ? 2 ? = ? 2 + 2 + . 2 2 2 由? 2 + 2 + 2 = ? 2,得 2 ? 2 ? 3 = 0,所以 = 因为 < ?3 2,所以此时无解. 综上所述,当 = 0时,()的最小值为? 2. 【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的性质与最值,同角三角函数的基本关系, 二倍角公式,三角恒等变换.(1) + = (sin ? 2cos, sin),化简得| + |2 = 5cos 2 + + 3,其中tan = 2,可得| + |2 ∈ [1,4],∴ + ∈ 1,2 .(2)() = ( + ) ? = ?3sincos + (sin ? cos) ? 2 ,令 = sin ? cos,则 ∈ [? 2, 2], ()可化为() = 2 2 + ? 2 ? 2, ∈ [? 2, 2],分类讨论得当 = 0时,()的最 小值为? 2.
3 3 3 3 3 3 2± 14 2 3 3 3 7 3 3 3 3 7 3





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