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安徽省涡阳四中、蒙城六中2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题



2015-2016 学年度第一学期高一数学期末联考试题
(满分 150 分 时间 120 分钟)

一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合 A ? {?1,3, 4} , B ? ?0,1,4,5? ,则 A ? B 子集的个数为( A.0 个 2.下列说法正确

的是( B.1 个 ) B.函数 y=1 与 y=x 是同一个函数
k
0

) D.3 个

C.2 个

A.对于函数 f:A→B,其值域是集合 B

C.两个函数的定义域、对应关系相同,则表示同一个函数 D.映射是特殊的函数 3.如图所示,C1,C2,C3 为三个幂函数 y=x 在第一象限内的图像,则解析式中指数 k 的值依次可以 是( ) 1 B.-1,3, 2 1 D. ,3,-1 2 ) 1 A.-1, ,3 2 1 C. ,-1,3 2

4.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ,则 f (log2 3) 的值为( A.-3 B. ?

1 3

C.
0.2

1 3
1

D. 3 ) D. b ? a ? c ) D. (3,4) )[来源:学科网]

?1? 5.设 a ? log 1 5 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ?3? 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

6.使得函数 f(x) ? ln x ? A. (0,1)

1 x ? 2 有零点的一个区间是( 2
C. (2,3)

B. (1,2)

7.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 B.若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 D.若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 8.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )[来源:学+科网ZXK]

1

A.6

B.9

C.12

D.18

9.如图,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧棱 AA1 ? 底面 A1 B1C1 ,底面三角形 A1 B1C1 是正三角形,

E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是(
A. CC1 与 B1 E 是异面直线 B. AC ? 平面 ABB1 A1 C. A1C1 // 平面 AB1 E D. AE , B1C1 为异面直线,且 AE ? B1C1

) E A C1 A1 ) B1

C

B

10.过点 (5, 2) ,且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( A. 2 x ? y ? 12 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0

11.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则 此球的表面积为 ( A. 6? B. 4? C. 3 3? D. 3?

)

12.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 个

?4 x ? 4, x ? 1, ? g ? x ? ? ln x , 则函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的零点个数为 ( 2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 1,
C.3 个 D.4 个



B. 2 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f(x) ?

x?2 的定义域是 2x ?1
2 2

. .

14.函数 y ? log 1 ( x ? 4 x ? 5) 的递减区间为

P E D A B
2

15.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们 之间的距离是 .

16.如图所示, 正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长均相等, E 是 PC 的 中 点 , 那 么 异 面 直 线 BE 与 PA 所 成 的 角 的 余 弦 值 等 于 .

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 4? , 集合 B ? ?x | 2m ? 1 ? x ? m ? 1? .

(1)当 m ? ?3 时,求集合 A ? B ; (2)当 B ? A 时,求实数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点为 P . (1)求过点 P 且平行于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线方程; (2)求过点 P 且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线方程.

[来源:学+科网ZXK]

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a , a ? R .
2

(1)求 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在闭区间 [?1, 3] 上是单调函数; (2)当 0 ? x ? 2 时,函数 y ? f ( x) 的最大值是关于 a 的函数 M (a), 求 M ( a) .

[来源:学科网Z-XK]

3

20.(本小题满分 12 分) 如图所示,正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点.求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

21.(本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 , A1 A ? 底面 ABC , 且 ?ABC 为正三角形,A 1 A ? AB ? 6 ,D 为 AC 中点. (1)求三棱锥 C1 ? BCD 的体积; (2)求证:平面 BC1D ? 平面 ACC1 A1 ; (3)求证:直线 AB1 // 平面 BC1 D . C D A B A1 C1 B1

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1? x 4 ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 P(? , 2) . 1? x 5

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ?

1? x ,用函数单调性的定义证明:函数 y ? g ( x) 在 (?1,1) 上单调递减; 1? x
2

(3)求不等式的解集: f (t ? 2t ? 2) ? 0 .

4

2015-2016学年度第一学期高一期末教学质量检测 数学答案 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 D 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

??2,0? ? (0, ??)

14. (5, ??)

15.2

16.

3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 解: (1)当 m ? ?3 时, B ? ?x | ?7 ? x ? ?2?, A ? ?x | ?3 ? x ? 4?, ∴ A ? B ? ?x | ?3 ? x ? ?2?, (2)分类讨论 ①当 2m ? 1 ? m ? 1 ? m ? 2 时, B ? ? ? A ,合题意;

? m?2 ?m?2? ? ? ? B ? ? ? m ? 2 ②当 时, B ? A ,则有 ?2m ? 2 ? ?3 ? ?m ? ?1? ? ?1 ? m ? 2 . ? m ?1 ? 4 ? m?3? ? ? ?
综上①②,实数 m 取值范围是 ?m | m ? ?1? . 18.(本小题满分 12 分) 解: (1)由 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0,

解得 ?

? x ? ?2, ? y ? 2.
[来源:学科网Z-XK]

所以点 P 的坐标是 (?2, 2) . ………………2 分 因为所求直线与 l3 平行,所以设所求直线的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 . 把点 P 的坐标代入得 ?2 ? 2 ? 2 ? m ? 0 ,得 m ? 6 . 故所求直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 . ……………………7 分

(2)因为所求直线与 l3 垂直,所以设所求直线的方程为 2 x ? y ? n ? 0 .[来源:学.科网ZXK] 把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? n ? 0 ,得 n ? 2 . 故所求直线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . …………………………12 分
5

19.(本小题满分 12 分)

a . 2 a a 因为 f ( x ) 在闭区间 [?1, 3] 上是单调函数,所以 ? ? ?1 或 ? ? 3 . 2 2 故 a ? ?6 或 a ? 2 . a (2)当 ? ? 1 即 a ? ?2 时 M (a) ? f (2) ? 7 ? a 2 a 当 ? ? 1 即 a ? ?2 时 M (a) ? f (0) ? 3 ? a 2
解: (1)函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a 图像的对称轴为 x ? ?

?3 ? a(a ? ?2) ? M (a) ? ? ?7 ? a(a ? ?2)
20.(本小题满分 12 分) 证明:(1)如图,连结 EF,CD1,A1B. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F 四点共面.…………4 分 (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈直线 CE,CE ?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA.∴CE,D1F,DA 三线共点.…………………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵ ?ABC 为正三角形, D 为 AC 中点,∴ BD ? AC , 由 AB ? 6 可知, CD ? 3, BD ? 3 3 , ∴ S?BCD ?

1 9 3 . ? CD ? BD ? 2 2

又∵ A1 A ? 底面 ABC ,且 A 1 A ? AB ? 6 ,

∴ C1C ? 底面 ABC ,且 C1C ? 6 ,
6

∴ VC1 ? BCD ?

1 ? S ?BCD ? C1C ? 9 3 .…………4 分 3

(2) ∵ A1 A ? 底面 ABC ,∴ A1 A ? BD . 又 BD ? AC ,∴ BD ? 平面 ACC1 A 1. 又 BD ? 平面 BC1 D , ∴平面 BC1D ? 平面 ACC1 A 1. ……………………8 分

(3)连结 B1C 交 BC1 于 O ,连结 OD , 在 ?B1 AC 中, D 为 AC 中点, O 为 B1C 中点,所以 OD // AB1 , 又 OD ? 平面 BC1 D ∴直线 AB1 // 平面 BC1 D .……………………12 分 22. (本小题满分 12 分)

4 1 ? (? ) 4 5 ? 2 ,解得 a 2 ? 9 解: (1) 由 f (? ) ? log a 4 5 1 ? (? ) 5 又 a ? 0且a ? 1 ,? a ? 3 .…………3 分
(2)设 x1 , x2 为 (?1,1) 上的任意两个值,且 x1 ? x2 ,则有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

1 ? x1 1 ? x2 2( x2 ? x1 ) ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,?1 ? x1 ? 0,1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0
? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) , (1 ? x1 )(1 ? x2 )
1? x 在区间 (?1,1) 上单调递减………………7 分 1? x
2

所以 g ( x) ?

1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 1[来源:学+科网ZXK] ? 0 ,则 0 ? (3)[解法一]:? f (t ? 2t ? 2) ? 0 , 即log3 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)
? 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ?0 ? 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 即? ,解得 ?1 ? t ? 1 ? 3 或 1 ? 3 ? t ? 3 2 ?1 ? (t ? 2t ? 2) ? 1 2 ? ?1 ? (t ? 2t ? 2)
所以不等式的解集为 ?1,1 ? 3 ? 1 ? 3,3

?

? ?

?
7

[ 解 法 二 ] : 设 x1 , x2 为 (?1,1) 上 的 任 意 两 个 值 , 且 x1 ? x2 , 由 ( 2 ) 知

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?l o 3 g g x1(? )

3

, lg o g x2 (

)

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递减 又 f (0) ? 0 , f (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 ,则 0 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1 解 得 ?

? ??1 ? t ? 3 ? ? ?t ? 1 ? 3或t ? 1 ? 3
3,3

?1 ? t ? 1 ? 3 或 1 ? 3 ? t ? 3 所 以 不 等 式 的 解 集 为

? ?1,1 ? 3 ? ? ?1 ?

?

……………………12 分

8



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