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2013-2014学年度对口单招高三第一轮模拟数学试卷

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2013-2014 学年度对口单招高三第一轮数学模拟试卷
考试时间：120 分钟 总分：150 分
数学试卷(第 I 卷)
一 单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在下列每小题中，选出一个正确 答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1．已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ， B ? {x ||

x ? 1 |? 2} ，则 A ? B ? （ A. (?1,3) 2．函数 y ? ( ) A.［4,+∞) B. (?1,2) C. (2,3) D.（ ? ?,3 ） ）

1 2

1? x

? 8 的定义域是(

)

B. (-∞，4 ]

C. (1,+∞)

D. (0,4］ ）

3．已知 ABCD 为矩形， E 是 DC 的中点，且 AB ? a ， AD ? b ，则 BE ? （ A. b ?

1 a 2

B. b ?

4．函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ?

?
3

1 a 2

C. a ?

1 b 2

D. a ?

1 b 2

) 图像的对称轴方程可能是（

）

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6
S3 S2

D. x ?

?
12
)

5．已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 － ＝1，则数列 {an } 的公差是( 3 2 A. 1 2 B.1 C.2 D.3 ） D.6

6．若复数 z ? A.-6

a ? 3i ( a ? R ) 是纯虚数，则 a 的值为（ 1 ? 2i
B.-2 C.4

7．直线 Ax ? By ? 1 ? 0 在 y 轴上的截距是 ? 1 ，其倾斜角是直线 3x ? y ? 3 3 的倾斜角的 2 倍，则（ ） B. A ? ? 3, B ? ?1 D. A ? ? 3, B ? 1 ）

A. A ? 3, B ? 1 C. A ? 3, B ? ?1
2

8． 函数 y ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 （－∞，4? 上是减函数， 则实数 a 的取值范围是 （ A． a ≥3 B． a ≤－3 C． a ≤5 D． a <－3

1

?x ? 0 ? 9. 二元一次不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域内的整点坐标个数有（ ?x ? y ? 2 ?
A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个

）

10．若直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 与 l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 平行，则 m 值为（ A. ? 1 或 3 B. ? 3 或 1 C. ? 1 D. ? 3

）

2

学校_______________ 专业_____________班级___________ 姓名_____________ 准考证号________________考场号_______座位号________

2013-2014 学年度对口单招高三交流试卷
一、单选题

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 4 11．若 sin ? ? ? ， tan ? ? 0 ，则 cos ? ? ． 5
12．已知偶函数 f ( x ) 在 [0,??) 上单调递增，且 f (1) ? 0 ，则 f ( x) ? 0 的解集为 ．

13．设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a ? 2b sin A ，则角 B 的大小 为
i

．
?
12

14．计算： (2e 3 ) ? ( e 4 ) ?
6

1 4

i

?

．

15． 过点 P(2,1) 作圆 C： 则 a 的取值范围是 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a ? 1 ? 0 的切线有两条， 三、解答题（本大题 8 小题，共 90 分） 16． （8 分）解不等式： log2 (? x 2 ? x ? 6) ? 2 ? 0

．

17． （10 分） 在 ?ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a, b, c ， 且满足 cos （1）求 ?ABC 的面积 ； （2） 若b ? c ? 6 ，求 a 的值．

A 2 5 ， ? AB ? AC ? 3 2 5

3

18． （10 分）已知数列 {an } 是等差数列，且 a1 ? 2 ， a1 ? a2 ? a3 ? 12 ， （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）设 bn ? 2
an

? 1 ，求数列{ bn }的前 n 项和.

19． （12 分）已知函数 f (x) ? 4 cos x sin (x ? （1）求 f ( x) 的最小正周期； （2）求 f ( x) 在区间 ? ?

π ) ?1 6

? π π? , 上的最大值和最小值. ? 6 4? ?

4

20． （ 12 分） 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b 2 ? 2b ， 且 f ( x ? 1) ? f (2 ? x) ,又知 f ( x) ? x 恒成立. 求：(1) y ? f ( x) 的解析式； (2)若函数 g ( x) ? log2 ? f ( x) ? x ? 1?，求函数 g(x)的单调增区间.

21． （12 分）求经过直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ， l 2 ： 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点 M ，且满足下列条 件的直线方程：
2 2 （1）经过原点（2）与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直（3）与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 5 相切.

5

22． （12 分） 某种商品第一天销售价为 42 元,以后每天提价 2 元,且在开始销售的前 10 天内每 天的销售量与上市天数的关系是 g ( x) ? 150? 5x (其中 x 为天数). (1)写出上市 10 天内商品销售价格与天数 x 的关系式. (2)求销售 10 天内,哪一天的销售额最大,并求出最大值.

23． （14 分）已知方程 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 , (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围, (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M , N 两点,且 OM ? ON ( O 为原点),求 m 的值, (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆.

数学试卷答案
一、单项选择题 1． C 2． A 3． B 4． D 5． C 6． A 7． B 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11． ? 8． B 9. C 10. C

3 5

12． (?1,1)

13．

? 6

14． ? i

15． a ? ?3

三、解答题（本大题 8 小题，共 90 分） 16 解:由题意得: log2 (? x ? x ? 6) ? log2 4
2

…. ……………………………………2

2 ? ?? 2 ? x ? 3 ?? x ? x ? 6 ? 0 解得: ? ……………………………4 ? 2 x ? 2 或 x ? ? 1 ? ? x ? x ? 6 ? 4 ? ? 取交集得: ? 2 ? x ? ?1或2 ? x ? 3 ………………………………………1 ?{x | ?2 ? x ? ?1或2 ? x ? 3} ……………………………………………1

6

17 解(1)? cos

3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? , sin A ? ………………………2 ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5

又在 ?ABC 中,

AB ? AC ? bccos A ? 3 ? bc ? 5 …………………………1

1 1 4 ? S ?ABC ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2 ……………………………………………2 2 2 5
(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bccos A ……………………………2

? 36 ? 2 ? 5 ? 2 ? 5 ?

3 ? 20 …………………………………2 5

? a ? 2 5 ……………………………………………………………1
18 解(1)设公差为 d ,由 a1 ? a2 ? a3 ? 12 得 a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? 12 …………………2 得: d ? 2 ,? an ? 2n …………………………………………………………2 (2) 由题意得: bn ? 22n ? 1 ? 4n ? 1 ………………………………………………………1

S n ? b1 ?b 2 ?b3 ? ? ? ? ? bn
? 4 ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 43 ? 1 ? ? ? ? ? 4 n ? 1 ………………………………………2

?

4(1 ? 4 n ) ? n …………………………………………………………………2 1? 4

4 4 n ?1 ?? ? ? n …………………………………………………………………1 3 3
19 解:(1) f (x) ? 4 cos x sin (x ?

π ) ?1 6

? 4 cos x(sin x cos ? cos x sin ) ? 1 6 6 ? 3 sin 2 x ? cos2 x ………………………………………………4 ? 2 sin(2 x ? ) 6
?T ? ? ………………………………………………………………………2
(2)

?

?

?

??

?
6

?x?

?
4

7

6 1 ? ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 ………………………………………………………2 2 6 1 ? f ( x ) 小 ? - ……………………………………………2 ? f ( x) 大 ? 1 2
20 解: (1) ? f ( x ? 1) ? f (2 ? x)

??

?

? 2x ?

?

2 ? ? ………………………………………………………2 6 3

??

a ?1 x ?1? 2 ? x 1 ? ? ……………………………………………………1 2 2 2 ? a ? ?2 ……………………………………………………………………………1

? f ( x) ? x 恒成立
? x 2 ? 2 x ? b 2 ? 2b ? 0 恒成立
即: ? ? 4 ? 4(?b 2 ? 2b) ? 0

(b ? 1) 2 ? 0

? b ? ?1 ………………………………………………………2

? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ……………………………………………………………………2
(2)

g ( x) ? log2 ? f ( x) ? x ? 1? ? log2 ( x 2 ? 2x) ……………………………………………1
设 t ? x ? 2x ? x ? 2x ? 0
2 2

? x ? 2或x ? 0 ………………………………1

? 当 x ? (2,??) 时, t ? x 2 ? 2 x 单调增,又 y ? log2 t 单调增……………………2 ? 函数 g(x)的单调增区间为 (2,??) ……………………………………………2

21 解:由 ?

?3x ? 4 y ? 5 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 8 ? 0

解得 ?

? x ? ?1 ?y ? 2

? M (?1,2) ………………………………2

(1) k ?

2?0 ? ?2 ……………………………………………………………………1 ?1? 0

? 直线方程为: 2 x ? y ? 0 ………………………………………1
(2)设直线方程为: x ? 2 y ? C ? 0 …………………………………1

代入 x ? ?1, y ? 2 , C ? 5 …………………………………2

? 直线方程为: x ? 2 y ? 5 ? 0 ………………………………………1

8

(3)由题意可得点 M 在圆上……………………………………………1

k?

1? 2 1 ? ? ,? k / ? 2 ……………………………………2 1 ? (?1) 2

? y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 4 ? 0 ………………………………1

22

解

(1)

设

销

售

价

格

S

(

元

),

则

有

S ? 42 ? 2( x ? 1)

( 1 ? x ? 10 , x ? N ),………………4 即 S ? 2 x ? 40 ( 1 ? x ? 10 , x ? N )………………………………………………2 (2)设日销售额 y (元),则有 y ? (2 x ? 40)(150? 5x)

? ?10x 2 ? 100x ? 6000………………………………4

? 当 x ? 5 时,即第 5 天销售额最大为 6250 元…………………………2
23 解(1) D ? ?2 , E ? ?4 , F ? m

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0
? m ? 5 ………………………………………………4
(2)设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 )

?x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0
5x 2 ? 8x ? 4m ? 16 ? 0
x1 ? x2 ? 8 4m ? 16 1 m?8 , x1 ? x2 ? ， y1 ? y 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? ………2 5 5 4 5

? OM ? ON ，? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
4m ? 16 m ? 8 8 ? ?0 m ? ………………………………3 5 5 5 x ? x 2 y1 ? y 2 4 16 , ) 即（ , ）………………………1 （3）圆心坐标为： ( 1 2 2 5 5 ?

d ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?

8 5 4 5 ，? r ? ……………………2 5 5

4 16 16 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? …………………………2 5 5 5

9



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