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高中理科数学公式大全(精华版)



高中数学公式大全
§ 01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式 3.包含关系

C U ?A ? B? ? C U A ? C U B; C U ?A ? B? ? C U A ? C U B. .
A B ? A ? A B ? B

? A ? B ? CU B ? CU A

? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4. 集合 {a1 , a2 , 真子集有 2n –1 个; 非空子集有 2n –1 , an } 的子集个数共有 2n 个; 个;非空的真子集有 2n –2 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, 若x ? ?

b 处及区 2a

f ( x)min

b b ? ? p, q ?, ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 则 f ( x) min ? f (? 2a 2a b x ? ? ? ? p, q ? , , f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? 2a ?min ? f ( p), f (q)? .

(2)当 a<0 时,若 x ? ?

f ( x)min

b ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , 2a b x ? ? ? ? p, q ? , 则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? 2a ? min ? f ( p), f (q)? .



7.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 ( m, n ) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 ( m,??) 内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ? m ? ? 2

? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? ( 2 )方程 f ( x) ? 0 在区间 ( m, n ) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n ) ? 0 或? ; ? ? f ( n ) ? 0 ? f ( m) ? 0 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( ??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参 数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2) 在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数 ) 恒成 立的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) . 9.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 10.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立 对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

11.四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否; 12.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

§02. 函数
16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2) 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个 函数是偶函数. 19.若函数 y ? f ( x) 是偶函数, 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函 数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立, 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ?

a?b ; 2 a?b 对称. 2

两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数. 22.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

a 2

? a0 的奇偶性

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y ) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的
图象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) .

(4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 或 f ( x ? a) ?

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)
( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

30.分数指数幂 (1) a n ? (2) a
m ? n

m

1
n

?

a 1

m

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, an ? a ;
n

当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N n (3) loga M ? n loga M (n ? R) .
(2) log a 36. 设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) , 记 ? ? b ? 4ac . 若 f ( x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验.

§03. 数 列

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
40.等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n( a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 或 sn ? ? 1 ? q . sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 § 04. 三角函数
44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
45.同角三角函数的基本关系式

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ? n ? n? ?( ?1) 2 co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = b 定, tan ? ? ). a
48.二倍角公式

a2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,

ω >0)的周期 T ?

2?

?



函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

? . ?
51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理 (1) S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2 § 05. 平面向量 ?
57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB
? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3 §06. 不 等 式
标是 G ( 71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2 xy
2 2

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小;

当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
2

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两
根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

(2)

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? g ( x ) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? (2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
§ 07. 直线和圆的方程
77.斜率公式

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A ; 1 A2 ? B 1B2 ? 0 83.点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若B ? 0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B ? 0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A ,则 1 A2 B 1 B2 ? 0 ) 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2
2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 ax ? by ? c ? 0 是 直 线 AB 的方程,λ 是待定的系数. 2 2 (2) 过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程 2 2 是 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数.

2 2 C (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? 0 与圆 2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ? 0 的交

2 2 点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ) ? 0 , λ 是待定的

系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

89.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时 , x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2

①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 .

§ 08. 圆锥曲线方程

? x ? a cos? x2 y 2 92.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . a b ? y ? b sin ?

93.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

94.椭圆的的内外部

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a b 2 x y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
95. 椭圆的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 ? 2 ? 0 ? y ? ? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). x2 y 2 -- 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . 2 100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y? 2 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y ? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x , y ) ,其中 2p 2 y ? 2 px .
过焦点弦长 CD ? x1 ?

b 2 4ac ? b2 (a ? 0) 的图象是抛物线: ) ? (1)顶 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); 点坐标为 ( ? ( 2 )焦点的坐标为 (? ( 3 )准线方程是 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y? . 4a
102.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线 ?F( x, y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). § 09. 立体几何
109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体 的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

P、 A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB .

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by . 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A' ,作 B 点在 l 上的射影 B ' ,则

A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1, y1, z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.

2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.

127.异面直线所成角

r r cos ? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r | a |?| b | x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o o

b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a,
128.直线 AB 与平面所成角

r r

AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

? ? arc sin

? ? arc cos

m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |

134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 1 h? (| a || b |)2 ? (a ? b)2 ( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= PA , 向 量 |a|
b= PQ ). 136.异面直线间的距离

d?

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、 D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 |n|

l1 , l2 间的距离). 137.点 B 到平面 ? 的距离 | AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). d? |n|
146.球的半径是 R,则

4 ? R3 , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ? 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3

1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3

§ 10. 排列组合二项定理
149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ? ? mn . 151.排列数公式
m = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) = An

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 . 152.排列恒等式
m m?1 (1) An ; ? (n ? m ? 1) An

n m An ?1 ; n?m m m?1 (3) An ? nAn?1 ;
(2) An ?
m

n n?1 n (4) nAn ? An ?1 ? A n ;

(5) An?1 ? An ? mAn
m m

m?1

.

153.组合数公式
m = Cn

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
m

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n
0

n?m

;(2) C n + Cn

m

m?1

= C n ?1 .

m

注:规定 Cn ? 1 . 155.组合恒等式 (1) Cn ?
m

n ? m ? 1 m ?1 n n m ?1 m m m Cn ;(2) Cn ? Cn Cn ?1 ; ?1 ;(3) C n ? m n?m m

156.排列数与组合数的关系
m m . An ?m ! ? Cn

161.二项式定理
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

二项展开式的通项公式
r n ?r r 1, 2?,n) . Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

§ 11、12. 概率与统计
162.等可能性事件的概率

P ( A) ?

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率

P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n?k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ); i ? 0(i ? 1, 2, (2) P 1?P 2 ? 169.数学期望

? 1.

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ?

? xn Pn ?

170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B ( n, p ) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 E? ? 171.方差

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2

? ? xn ? E? ? ? pn ?
2

172.标准差

?? = D? .
173.方差的性质 (1) D ? a? ? b ? ? a D? ;
2

(2)若 ? ~ B ( n, p ) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?

q . p2

174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

175.正态分布密度函数

f ? x? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 178.回归直线方程
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ?

179.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

§ 14. 导 数 187. f ( x) 在 x 0 处的导数(或变化率或微商) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
188.瞬时速度

? ? s?(t ) ? lim

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t

189.瞬时加速度

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ? t ? 0 ?t ?t 190. f ( x) 在 ( a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? ? ? lim ? lim . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 191. 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义
?t ? 0

函 数 y ? f ( x) 在 点 x 0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (5) (ln x )? ? (4) (cosx)? ? ? sin x .

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
(1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

193.导数的运算法则 (2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

194.复合函数的求导法则
' ' 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ? ? ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有

' ' ' ' ' 导 数 yu ? f (u) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx ? yu ? ux , 或 写 作

f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, (1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.
§ 15. 复 数
197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ?

z2 2 2 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 | ?| z1 | ? | z2 | z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C 内有且仅有两个共轭
2

复数根 x ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a



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