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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 定积分在几何中的应用


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1.7.1

1.7.1
【学习要求】
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定积分在几何中的应用

会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 【学法指导】 本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决 的平面图形面积问题.在这部分的学习中,应特别注意 利用定积分的几何意义,借助图形直观,把平面图形进 行适当的分割,从而把求平面图形面积的问题转化为求 曲边梯形面积的问题.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.7.1

1.当x∈[a,b]时,若f(x)>0,由直线x=a,x=b(a≠b),y
本 课 时 2.当x∈[a,b]时,若f(x)<0,由直线x=a,x=b(a≠b),y b 栏 -?f(x)dx a =0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积S=__________. 目 开 关 3.当x∈[a,b]时,若f(x)>g(x)>0时,由直线
b ?f(x)dx =0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S=________. a

x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x) b ?[f(x)-g(x)]dx a 围成的平面图形的面积S=_____________. (如图)

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1.7.1

探究点一
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求不分割型图形的面积

问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积?

答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下 限,用定积分来表示面积,然后计算定积分即可.

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1.7.1

例1

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计算由曲线y2=x,y=x2所围图形的面积S.
?y2=x, ? 由? ?y=x2 ?

得交点的横坐标为x=0及x=1.

因此,所求图形的面积为 S=S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD
1 1 =? xdx-?x2dx 0 0

2 3 1 1 31 = x 2 |0-3x |0 3 2 1 1 =3-3=3.

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1.7.1

小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤: (1)根据题意画出图形;
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(2)找出范围,确定积分上、下限; (3)确定被积函数; (4)将面积用定积分表示; (5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果.

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1.7.1

跟踪训练1

求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图

形的面积. ?y=x2-4 ? 解 由? ?y=-x+2 ?
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?x=-3 ? 得? ?y=5 ? ?x=2 ? 或? ?y=0 ?

,所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-

4的交点为(-3,5)和(2,0), 设所求图形面积为S,根据图形可得
2 2 S=? 3(-x+2)dx-? 3(x2-4)dx - - 1 2 2 1 3 =(2x-2x )|-3-(3x -4x)|2 3 - 25 25 125 = 2 -(- 3 )= 6 .

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1.7.1

探究点二 问题
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分割型图形面积的求解

由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在

不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这种图形的面 积如何求呢?
答 求出曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分 别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间 上被积函数均是由上减下.

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1.7.1

例2 计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的 面积S.
解 方法一 作出直线y=x-4,曲线y= 2x的草图.
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?y= 2x, ? 解方程组? ?y=x-4 ?

得直线y=x-4与曲线y= 2x交点的坐标为(8,4). 直线y=x-4与x轴的交点为(4,0).

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1.7.1

因此,所求图形的面积为
S=S1+S2
? 8 ? 8 4 =? 2xdx+??? 2xdx-??x-4?dx?? 4 4 0

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2 2 x = 3 40 = . 3 方法二

3 2 2 4 |0+

2 3

x

3 1 8 28 |4- (x-4)2|4

2

把y看成积分变量,则 1 2 1 2 1 3 4 40 4 S=?(y+4- y )dy=( y +4y- y )|0= . 0 2 2 6 3

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1.7.1

小结
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两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形

范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限, 若积分变量选x运算较繁锁,则积分变量可选y,同时要更换 积分上、下限.

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1.7.1

跟踪训练2

1 求由曲线y= x ,y=2-x,y=- x所围成图 3

形的面积.
解 画出图形,如图所示.
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?y= x, ? 解方程组? ?x+y=2, ?

?y= x, ? ? 1 ?y=-3x, ?

?x+y=2, ? 及? 1 ?y=-3x, ? 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),

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1.7.1

1 1 3 x-(- x)]dx+?[(2-x)-(- x)]dx 1 3 3 1 1 1 3 =?( x+3x)dx+? (2-x+3x)dx 0 1
1 所以S=?[ 0

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2 1 1 1 1 x + x2)|0+(2x- x2+ x2)|3 =(3 6 2 6 1 2 1 1 2 3 =3+6+(2x-3x )|1 5 1 1 13 =6+6-3×9-2+3= 6 .

3 2

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1.7.1

探究点三 例3

定积分的综合应用

在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线 1 以及x轴所围成的面积为 ,试求: 12 切点A的坐标以及在切点A的切线方程.

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解 如图,设切点A(x0,y0),
由y′=2x,过点A的切线方程为
y-y0=2x0(x-x0), 即y=2x0x-x2, 0 x0 x0 令y=0,得x= 2 ,即C( 2 ,0),

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1.7.1

设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S,
则S=S曲边△AOB-S△ABC, x 1 1 x 2 d x= x3| x 0= x3, ∵S曲边△AOB=0 ? 3 0 3 0 1 S△ABC=2|BC|· |AB| 1 x0 2 1 3 =2(x0- 2 )·0=4x0. x 1 3 1 3 1 3 1 ∴S=3x0-4x0=12x0=12.
0

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所以x0=1, 从而切点为A(1,1), 切线方程为2x-y-1=0.

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1.7.1

小结
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本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识,运用

待定系数法,先设出切点的坐标,利用导数的几何意义,建 立了切线方程,然后利用定积分以及平面几何的性质求出所 围成的平面图形的面积,根据条件建立方程求解,从而使问 题得以解决.

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1.7.1

跟踪训练3 如图所示,直线y=kx分抛物线y =x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部 分,求k的值.
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解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1, 所以,抛物线与x轴所围图形的面积
?x2 1 ? 1 1 2 ? - x3?|1= . S=?(x-x )dx= 2 3 0 6 0 ? ? ?y=x-x2, ? 又? ?y=kx, ?

由此可得, 抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0, x4=1-k,

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1.7.1

S 1-k 所以, =? (x-x2-kx)dx 2 0
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?1-k 1 3? 1-k 1 ? ? 2 =? x - x ?|0 =6(1-k)3. 3 ? ? 2

1 1 3 又知S= ,所以(1-k) = , 6 2 3 3 1 4 于是k=1- =1- . 2 2

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1.7.1

1. 在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中, 正确的有(
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a S=?[f(x)-g(x)]dx b 8 S=?(2 2x-2x+8)dx 0

)





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1.7.1

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4 7 S=?f(x)dx-?f(x)dx 1 4

S ? ? ?g ( x) ? f ( x)?d x ?
a

? ? f ( x) ? g ( x)?d x
b a

0





A.①③

B.②③

C.①④

D.③④

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1.7.1

b 解析 ①应是 S=?[f(x)-g(x)]dx, a

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8 8 ②应是 S=?2 2xdx-?(2x-8)dx, 0 4

③和④正确,故选 D.
答案 D

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1.7.1

3 2.曲线 y=cos x(0≤x≤ π)与坐标轴所围图形的面积是( B ) 2 5 A.2 B.3 C. D.4 2
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解析 S= ? cos x d x ? ? cos x d x

π 2 0

? sin x | ? sin x |

π 2 0

π 3π π =sin -sin 0-sin +sin 2 2 2 =1-0+1+1=3.

3π 2 π 2

3π 2 π 2

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1.7.1

3.由曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的平面图形的面积为 4 3 ________.
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解析

?y=2x, ? 解方程组? ?y=x2, ?

?x=0, ? 得? ?y=0, ?

?x=2, ? ? ?y=4. ?

∴曲线 y=x2 与直线 y=2x 交点为(2,4),(0,0). 1 3 2 2 2 2 ∴S=?(2x-x )dx=(x - x )|0 0 3 8 4 =(4-3)-0=3.

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1.7.1

4.由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面 19 3 图形的面积是________.
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解析 由图形可得
1 4 S=?(x2+4-5x)dx+?(5x-x2-4)dx 0 1

1 3 5 2 1 5 2 1 3 =( x +4x- x )|0+( x - x -4x)|4 1 3 2 2 3 1 5 5 1 5 2 3 =3+4-2+2×4 -3×4 -4×4-2 1 19 + +4= . 3 3

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1.7.1

对于简单图形的面积求解,我们可直接运用定积分的几何意
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义,此时 (1)确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数,一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积 分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面 积:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是非负 的.


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