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永嘉中学2013学年第二学期返校考试卷(高一数学答案)



永嘉中学 2013 学年第二学期返校考试卷(高一数学答案) 一.选择题 ABCCB CABCD 二.填空题(每小题 4 分,共 24 分。 ) 11.___15____ ; 12.___ 3? _____; 13__

1 _____ 2
16____ (0,1) ____

14.__ f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
3

) ____;

15___ {?1,0} ___;

三.解答题(共 36 分)
x ? 0 得: A ? (0,3) 17.(本小题满分 8 分)解: (1)由 ? ? ?3 ? x ? 0

a ? 2 时, B ? [?1, 2] ? A ? B ? [?1,3)
(2)由 A ? B ? A ,得 A ? B ,设 f ( x) ? x ? x ? a
2

故 x ? (0,3) 时,都有 f ( x) ? 0
2

? ?f(0) ?? ? ?f(3)
2

0 0

得a ? 6
2

或由 x ? x ? a ? 0, ( x ? (0,3)) 恒成立,得 a ? x ? x, 故 a ? ( x ? x) max , x ? (0,3) 得a ? 6
? 2x , x ? (0,1) ? x 1 18.(本小题满分 8 分) (1) f ( x) ? ? 4 ? 0, x ? 0 ? ? 2x , x ? (?1,0) ?? x ? 4 ?1

(1)f(x)在(-1,1)上单调递减,所以函数 f(x)的值域是 ( , ) ? {0} ? (? 或利用 当x ? (0,1)时,f ( x) ?

2 1 5 2

1 2 ,? ) 2 5

2 1 ? ( , ) ,又因为 f(x)是奇函数,则函数的值域是 1 5 2 2x ? x 2

1

2 1 1 2 ( , ) ? {0} ? (? ,? ) 5 2 2 5
19.(本小题满分 10 分) (1) f ( x) ? 2 sin(2 x ? (2)当 x ?

?
6

), 周期为?

?
6
?

时,f(x)的最大值为 2,当 x ?

?
2

时,f(x)的最小值为-1

(3) 2 x0 ?

? ? ? 3?4 3 ? ? 4 ?2 6 ? ? ? ? , ? ?, 则 cos(2 x0 ? ) ? ? 则 cos 2 x0 ? cos?(2 x0 ? ) ? ? ? 6 6? 10 6 ?3 7 ? 6 5 ?

20.(本小题满分 10 分)解:(1)解法一:任取 x ? R ,则 f ? ? x ? ? f ? x ? 恒成立,即

∴ x ? a ? x ? a 恒成立,两边平方得: x2 ? 2ax ? a 2 ? x2 ? 2ax ? a 2 ∴a ?0 (1)解法二(特殊值法): f ? ?1? ? f ?1? ,得 1 ? a ? 1 ? a ,得: a ? 0
? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 1 ? 1 ? 2 (2)若 a ? ,则 f ( x) ? ? x 2 ? 2 | x ? |? ? 2 1 2 2 ? ? x ? 2 x ? 1, x ? ? ? 2 ? 1

(3)由函数的图像可知,函数的单调递增区间为 ? ??, ?1? 及 [ ,1]
2 (3)不等式 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 化为 ? ? x ? 1? ? 2 x ? 1 ? a ? ?2 x ? 4 x ? a ,即: 2

1 2

4 x ? a ? 2 x ? ?1 ? a ? ? x 2 ? 2 x ? 1

(*)

对任意的 x ? ? 0, ?? ? 恒成立.因为 a ? 0 .所以分如下情况讨论:
2 ① 0 ? x ? a 时,不等式(*)化为 ?4 ? x ? a ? ? 2 ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? ? x ? 2 x ? 1 ,即

x2 ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0 对任意的 x ? ? 0, a ? 恒成立,
因为函数 g ? x ? ? x ? 4 x ? 1 ? 2a 在区间 ? 0, a ? 上单调递增,则只需 g ? 0 ? ? 0 即可,
2

得a ?

1 1 ,又 a ? 0 ∴ 0 ? a ? 2 2

2 ② a ? x ? 1 ? a 时,不等式(*)化为 4 ? x ? a ? ? 2 ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? ? x ? 2 x ? 1 ,即

x2 ? 4 x ? 1 ? 6a ? 0 对任意的 x ? ? a,1 ? a ? 恒成立,
由①, 0 ? a ?

1 2 ,知:函数 h ? x ? ? x ? 4 x ? 1 ? 6a 在区间 ? a,1 ? a ? 上单调递减, 2

则只需 h ?1 ? a ? ? 0 即可,即 a 2 ? 4a ? 2 ? 0 ,得 a ? ?2 ? 6 或 a ? 因为 6 ? 2 ?

6 ? 2.

1 1 所以,由①得 6 ? 2 ? a ? 2 2

2 ③ x ? 1 ? a 时,不等式(*)化为 4 ? x ? a ? ? 2 ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? ? x ? 2 x ? 1 ,即

x 2 ? 2a ? 3 ? 0 对任意的 x ? ? a ? 1, ?? ? 恒成立,
因为函数 ? ? x ? ? x ? 2a ? 3 在区间 ? a ? 1, ?? ? 上单调递增,则只需 ? ? a ? 1? ? 0 即
2

可,即 a 2 ? 4a ? 2 ? 0 ,得 a ? ?2 ? 6 或 a ? 综上所述得, a 的取值范围是 6 ? 2 ? a ?

6 ? 2 ,由②得 6 ? 2 ? a ?

1 . 2

1 2



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