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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)练习:1.1 第1课时]



第一章
一、选择题

1.1

第 1 课时

f?x0+Δx?-f?x0? 1.(2013· 临沂高二检测)在表达式 中,Δx 的值不可能( Δx A.大于 0 C.等于 0 [答案] C [解析] Δx 可正,可负,但不为 0,故应选 C. B.小于 0 D.大于 0 或小于 0

)<

br />
2.设函数 y=f(x),当自变量 x 由 x0 改变到 x0+Δx 时,函数值的改变量 Δy 为( A.f(x0+Δx) C.f(x0)Δx [答案] D 3.一质点运动的方程为 s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为( A.3Δt+6 C.3Δt-6 [答案] D 1 4.函数 y= 在 x=1 到 x=2 之间的平均变化率为( x A.-1 C.-2 [答案] B 5.函数 f(x)=2x+1 在区间[1,5]上的平均变化率为( 11 A. 5 C.2 [答案] C [解析] Δy f?x2?-f?x1? f?5?-f?1? = = =2. Δx x2-x1 5-1 ) 11 B.- 5 D.-2 ) 1 B.- 2 D.2 ) B.-3Δt+6 D.-3Δt-6 B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)

)

)

Δy 6.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy),则 为( Δx 1 A.Δx+ +2 Δx C.Δx+2 1 B.Δx- -1 Δx 1 D.Δx- +2 Δx

[答案] C [解析]
2 2 Δy ?1+Δx? +1-1 -1 = =Δx+2. Δx Δx

7.一质点的运动方程是 s=4-2t2,则在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度是( A.2Δt+4 C.2Δt-4 [答案] D [解析]
2 2 Δs 4-2?1+Δt? -4+2×1 = =-2Δt-4. Δt Δt

)

B.-2Δt+4 D.-2Δt-4

1 8.在 x=1 附近,取 Δx=0.3,在四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y= 中,平均 x 变化率最大的是( A.④ C.② [答案] B [解析] Δx=0.3 时,①y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k1=1;②y=x2 在 x=1 附近的 平均变化率 k2=2+Δx=2.3;③y=x3 在 x=1 附近的平均变化率 k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99; 1 1 10 ④y= 在 x=1 附近的平均变化率 k4=- =- .∴k3>k2>k1>k4.故选 B. x 13 1+Δx 二、填空题 9. 一物体运动方程是 s=2t2, 则从 2s 到(2+Δt)s 这段时间内位移的增量 Δs 为________. [答案] 8Δt+2(Δt)2 [解析] Δs=2(2+Δt)2-2(22) =2[4+4Δt+(Δt)2]-8 =8Δt+2(Δt)2. 10.函数 f(x)=8x-6 在区间[m,n]上的平均变化率为________. [答案] 8 [解析] f?n?-f?m? ?8n-6?-?8m-6? = =8. n-m n-m ) B.③ D.①

Δy 11.已知函数 y=x3-2,当 x=2 时, =________. Δx [答案] (Δx)2+6Δx+12 [解析]
3 3 Δy ?2+Δx? -2-2 +2 = =(Δx)2+6Δx+12. Δx Δx

1 12.函数 y= x在 x=1 附近,当 Δx= 时平均变化率为________. 2 [答案] 6-2

[解析]

1+Δx- 1 Δy 1 = = = 6-2. Δx Δx 1+Δx+1

三、解答题 13.求函数 f(x)=x2+3 在[3,3+Δx]内的平均变化率. [解析] = Δy f?3+Δx?-f?3? = Δx Δx

?3+Δx?2+3-?3?2-3 Δx

6Δx+?Δx?2 = Δx =Δx+6.

一、选择题 1.函数 y=f(x),当自变量从 x0 到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化率 D.在[x0,x1]上的变化率 [答案] A 1 1 1, ?,Q 是曲线上点 P 附近的一点,则点 2.已知曲线 y= x2 和这条曲线上的一点 P? 4? ? 4 Q 的坐标为( )

1 1+Δx, ?Δx?2? A.? 4 ? ? 1 Δx, ?Δx?2? B.? 4 ? ? 1 1+Δx, ?Δx+1?2? C.? 4 ? ? 1 Δx, ?1+Δx?2? D.? 4 ? ? [答案] C 1 3.函数 y=-x2、y= 、y=2x+1、y= x在 x=1 附近(Δx 很小时),平均变化率最大的 x 一个是( ) 1 B.y= x

A.y=-x2

C.y=2x+1 [答案] C

D.y= x

1 [解析] y=-x2 在 x=1 附近的平均变化率为 k1=-(2+Δx);y= 在 x=1 附近的平均 x 1 变化率为 k2=- ;y=2x+1 在 x=1 附近的平均变化率为 k3=2;y= x在 x=1 附近的 1+Δx 平均变化率为 k4= 1 ;当 Δx 很小时,k1<0,k2<0,0<k4<1,∴最大的是 k3.故选 C. 1+Δx+1

4.物体做直线运动所经过的路程 s 可以表示为时间 t 的函数 s=s(t),则物体在时间间 隔[t0,t0+Δt]内的平均速度是( A.v0 s?t0+Δt?-s?t0? C. Δt [答案] C [解析] 由平均变化率的概念知 C 正确,故应选 C. 二、填空题 1 1 5.在 x=2 附近,Δx= 时,函数 y= 的平均变化率为________. 4 x 2 [答案] - 9 1 1 - Δy 2+Δx 2 1 2 [解析] = =- =- . Δx Δx 9 4+2Δx 6.已知圆的面积 S 与其半径 r 之间的函数关系为 S=πr2,其中 r∈(0,+∞),则当半 径 r∈[1,1+Δr]时,圆面积 S 的平均变化率为________. [答案] 2π+πΔr [解析]
2 2 ΔS ?1+Δr? ·π-π·1 = =2π+π·Δr. Δr Δr

) Δt B. s?t0+Δt?-s?t0? s?t? D. t

π π π 0, ? 时的变化率为 ________ ;在 x ∈ ? , ? 时的变化率为 7 .函数 y = cosx 在 x ∈ ? ? 6? ? 3 2? ________. [答案] 3 3-6 3 - π π

π cos -cos0 6 π 3 3-6 Δ y 0, ?时, = [解析] 当 x∈? = ; 6 ? ? Δx π π -0 6

π π cos -cos 2 3 π π Δ y ? 当 x∈? ?3,2?时,Δx= π π - 2 3 1 0- 2 3 = =- . π π 6 π π π 3 3-6 3 0, ?和区间? , ?上的平均变化率分别是 因此,y=cosx 在区间? 和- . ? 6? ?3 2? π π 三、解答题 8.已知函数 f(x)=2x+1, g(x)=-2x,分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率: (1)[-3,-1];(2)[0,5]. f?-1?-f?-3? [解析] (1)函数 f(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为 ?-1?-?-3? = [2×?-1?+1]-[2×?-3?+1] =2, 2

g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率为 g?-1?-g?-3? ?-1?-?-3? = [-2×?-1?]-[-2×?-3?] =-2. 2

(2)函数 f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 f?5?-f?0? 5-0 = ?2×5+1?-?2×0+1? =2, 5

g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 g?5?-g?0? 5-0 = -2×5-?-2×0? =-2. 5

9.过曲线 f(x)=x3 上两点 P(2,8)和 Q(2+Δx,8+Δy)作曲线的割线,求出当 Δx=0.1 时割 线的斜率. [解析] ∵Δy=f(2+Δx)-f(2) =(2+Δx)3-8=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx, ∴割线 PQ 的斜率
3 2 Δy Δx +6Δx +12Δx k= = =Δx2+6Δx+12. Δx Δx

设 Δx=0.1 时割线的斜率为 k1,

则 k1=0.12+6×0.1+12=12.61.



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