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【精品课件】2.3.4



复习回顾:

1.向量共线的条件:

b // a(a ? 0) ? 存在唯一实数 ?, 使b ? ? a.
2.平面向量的坐标运算:

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ? ? ? ? a ? (? x1, ? y1 ) a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ?

y2 ? ,
2.若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

? ? 已知 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ),

1.向量共线的条件 :

a // b(b ? 0) ? 存在唯一实数 ?, 使a ? ?b.
2.向量共线条件的坐标表示:

若a ? ( x1, y1),b ? ( x2 , y2 ),

则a // b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0, 即x1 y2 ? x2 y1
注:1.消去时不能两式相除,因为有可能为0;

y1 y2 ? 2. x1 y2 ? x2 y1 ? 0 不能写成 因为 x1 x2

x1 , x2 有可能为0;

? ? ? ? 例1.已知a ? ? 4, 2 ?, b ? ? 6, y ?,且a / /b ,求y.
解: ?a // b ?4 y ? 2 ? 6 ? 0    ? y ? 3.

例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、

C三点之间的位置关系.
解: ? AB ? ?1 ? ?? 1?, 3 ? ?? 1?? ? ?2, 4?     AC ? ?2 ? ?? 1?, 5 ? ?? 1?? ? ?3, 6?

又2 ? 6 ? 3 ? 4 ? 0, ? AB // AC . ? 直线AB、直线AC有公共点A, ? A、B、C三点共线.

练习: ? ? ? ? 1.已知a = ? 4, 2 ?, b ? ? 6, y ? , 且a / / b, 求y的值.
y=3
? ? ? ? 2. 已知a ? ? 3, 4 ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? , 且a / / b, 求 tan ? 的值.

tanα=4 /3

3. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向量ka-b与 a+3b平行? 并确定它们是同向还是反向. 解:ka-b=(k-2, -1), a+3b=(7, 3),

∵a//b,

1 ?k ? ? 3 这两个向量是反向.

4. 若三点P(1, 1),A(2, -4),B(x, -9)共线, 则 ( B) A.x =-1 C .x = 9
2

B.x=3
D.x=51

3 5.设a=( , sinα ),b=(cosα , 1 ),且a// b,则 2 3
锐角α 为 ( C ) A.30o C.45o B.60o D.75o

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1, y1 ),( x2 , y2 ) .
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.

??? ? 1 ???? ???? ? 解: (1) OP ? (OP 1 ? OP 2) 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 所以,点P的坐标为 ( 2 2

M y P P1 P2

O
(1)

x

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1, y1 ),( x2 , y2 ) .
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
y P P1 P1 y P

P2

P2

O

x
(2)

O

x

y P P1

P2

y

P
P1 x

P2

O

O

x

(2)如图2.3 ? 15,当点P是线段P 1P 2的一个三等分点时, P 1 P 1P 1P 有两种情况,即, ? 或 ? 2. PP 2 PP 2 2

P 1 1P 如果 ? ,那么 PP2 2 ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ???? ? OP ? OP P 1?P 1 P ? OP 1? 1P 2 3 ???? 1 ???? ???? 2 ???? 1 ???? ? OP (OP2 ? OP OP OP2 1? 1) ? 1? 3 3 3 ? 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ? ?? , ? 3 3 ? ?

y P P1

P2

O

x

2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 即点 P的坐标是( , ) 3 3

直线l上两点 P1 、 P2,在l上取不同于P1 、P 2 的任一点P,则P点与P1 P2的位置有哪几种情形?
P在之 P1 P2 间 P在 P1 P2 的延长线上, P在 P2 P1 的延长线上.

P1

P

P2

? ?0

P1 P2 ? ? ?1

P

P

P1
?1 ? ? ? 0

P2

??? ? ???? 存在一个实数λ,使 PP ,λ叫做点P分有向线 ? ? PP 1 2 ???? ? 段 PP 1 2 所成的比.
能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ 的取值范围吗?

比为? ,如何求P点的坐标呢?

???? ? 设 P1 ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) ,P分 PP 所成的 1 2

??? ? 分析: ?    PP 1 ? ( x ? x1 , y ? y1 )
???? PP 2 ? ( x2 ? x, y2 ? y)
??? ? ???? PP 1 ? ? PP 2

?    ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) x1 ? ?x 2 ? x ? x ? x ? ? ( x ? x ) ? ? 1 2 ? 1? ? ?    ?? ? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y ) ? y ? y1 ? ?y2 ? ? 1? ?

???? ? 有向线段 PP 1 2 的定比分点坐标公式
x1 ? ?x 2 ? x? ? ? 1? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

???? ? 有向线段 PP 的中点坐标公式 1 2
x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2

1 P2 (?8,3) ,求点 P ( , y ) 例4.已知两点 P1 (3,2) , 2 ???? ?

分 PP 所成的比 ? 及 y 的值. 1 2
? 1 3 ? ? ? ( ?8) ? ? ?2 1? ? ? ?y ? 2???3 ? ? 1? ?
解得

解:由线段的定比分点坐标公式,得

5 ? ?? ? 17 ? ?y ? 2 5 ? 22

?ABC的三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , 例5.如图, B( x2 , y2 ),

C ( x3 , y3 ) ,D是边AB的中点,G是CD上的一点,且
求点G的坐标. 解:∵D是AB的中点

CG ?2 , GD

y D

A

x1 ? x 2 y1 ? y2 , ) ∴点D的坐标为 ( 2 2

B
O

G C x

CG ?  ? 2 GD

?   CG ? 2GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标.

解:∵D是AB的中点
∴点D的坐标为 (
CG ?  ? 2 GD x1 ? x 2 y1 ? y2 , ) 2 2

y D B O G C

A

?  CG ? 2GD

由定比分点坐标公式可得G点坐标为: x1 ? x 2 x3 ? 2 ? x1 ? x 2 ? x 3 2 x? ? 1? 2 3 y1 ? y2 y3 ? 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? y3 y? 1? 2 3
x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ) 即点G的坐标为 ( 3 3

x

练一练
1. △ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(-3, 4),(-1,
2 4 (? , ) _______ 3 3

-1),则△ABC的重心坐标为

2.已知向量a=(2x, 7), b=(6, x+4),当x=_______ 3或-7 时,a // b.

小 结
1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式;

2.会用平面向量平行的条件的坐标形式证明三点
共线和两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同.

作业
P101 习题3.2 A组第5、 6、7 B组第1题



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