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-新人教A版必修5-第二章-2.5等比数列的前n项和



§2.5(二)

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§2.5(二)

【学习目标】 1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法. 2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题. 【学法指导】 1.推导等比数列前n项和公式的关键在于准确把握“错位相 减,消除差别”的内涵. 2.运用等比数列前n项和公式时,一定要注意“q=1”与 “q≠1”时必须使用不同的公式. 3.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.一般适用于 求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.

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填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(二)

1.等比数列前 n 项和公式: ? a1-anq ? a1?1-qn? = ?q≠1? (1)公式:Sn=? 1-q 1-q ? na ? 1 ?q=1? .

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(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. a1 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1 1-q a1 -qn)=A(qn-1).其中 A= q-1 .

填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(二)

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3.等比数列 1,x,x2,x3,?的前 n 项和 Sn 为 1-xn 1-xn-1 A. B. 1-x 1-x ?1-xn ? ,x≠1 C.? 1-x ? ?n,x=1 ?1-xn 1 ? ,x≠1 D.? 1-x ? ?n,x=1


( C )

研一研·问题探究、课堂更高效

§2.5(二)

[问题情境] 国际象棋起源于古代印度,相传有位数学家带着画有 64 个方格 的木盘,和 32 个雕刻成六种立体形状,分涂黑白两色的木制小 玩具,去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这 种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,一天到晚兴致勃勃地 要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余,他便问那位数学家, 作为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说 道:“请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子,第二个格子 上放 2 粒,第三个格子上放 4 粒,第四个格子上放 8 粒??即 每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数

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§2.5(二)

目的 2 倍,直到最后一个格子第 64 格放满为止,这样我就十分满足 了.”“好吧!”国王挥挥手,慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请 求.国王觉得,这个要求太低了,问他:“你怎么只要这么一点东西 呢? ” 数学家笑着恳求道: “ 陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一 算!”第二天,管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字, 国王大吃一惊:“我的天!我哪来这么多的麦子?”这个玩具也随着 这个故事传遍全世界,这就是今日的国际象棋.假定一千粒麦的质量 为 40 g,那么,数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢?(将超过 7 000 亿吨)这实际上是求数列 1,2,4,?,263 的和.据查,目前世界年 度小麦产量约 6 亿吨,显然国王无法满足数学家的要求. 这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题,那么等比数列的求和 公式是怎样的呢?怎样的等比数列才能应用这个公式呢?这一节我们 就来学习等比数列的求和公式.

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探究点一 等比数列前 n 项和公式的推导

§2.5(二)

探究 1 阅读教材后, 完成下面等比数列前 n 项和公式的推导过程. 设等比数列 a1,a2,a3,?,an,?,它的前 n 项和 Sn=a1+a2 +a3+?+an,由等比数列的通项公式可将 Sn 写成: Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1. 2 n-1 n a q + a q +?+ a q + a q 1 1 1 1 则 qSn= .
n a - a q 由①-②得:(1-q)Sn= 1 1 . a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= 1-q .

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① ②

当 q=1 时,由于 a1=a2=?=an,所以 Sn= na1 .

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na ? ? 1 ,q=1 ? 综上所述,Sn=? a1?1-qn? ? ? , q≠ 1 ? 1-q
当 q≠1 时,因为 an=a1qn 1.


?na1,q=1 ? 所以 Sn 可以用 a1,q,an 表示为 Sn=? a1-anq ? 1-q ,q≠1 ?

.

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§2.5(二)

探究 2 下面提供了两种推导等比数列前 n 项和公式的方法. 请 你补充完整. 方法一 由等比数列的定义知: a2 a3 a4 an = = =?= =q. a1 a2 a3 an-1 当 q≠1 时,由等比性质得: a2+a3+a4+?+an =q, a1+a2+a3+?+an-1

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Sn-a1 即 Sn-an =q.
a1 - a n q a1?1-qn? 故 Sn= 1-q = . 1-q

当 q=1 时,易知 Sn= na1 .

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§2.5(二)

方法二

由 Sn=a1+a2+a3+?+an 得:

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Sn=a1+a1q+a2q+?+an-1q (a1+a2+?+an-1) =a1+q·
(Sn-an) =a1+q·

从而得(1-q)· Sn= a1-anq .
a1-anq 当 q≠1 时,Sn= 1-q ;

当 q=1 时,Sn=na1.

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§2.5(二)

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探究点二 错位相减法求和 问题 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法. 这种求 和方法是我们应该掌握的重要方法之一,这种方法的适用范围 可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构 n 成的新数列求和. 下面是利用错位相减法求数列{ n}前 n 项和的 2 步骤和过程,请你补充完整. n-1 1 2 n 1 2 3 n 1 + +?+ 2n + n+1, 设 Sn= + 2+ 3+?+ n,∴ Sn= 22 23 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 ∴Sn- Sn= 2+22+23+?+2n-2n+1 , 2 1 1 ? 1 - 2 2n? n - n+1 1 n 1 2 1 1- n- n+1 1- 2 2 即 Sn= = . 2 2

n n+2 2- n-1-2n 2 ∴Sn= = 2- 2n

1

.

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【典型例题】 7 63 例 1 在等比数列{an}中,S3= ,S6= ,求 an. 2 2 7 63 解 由已知 S6≠2S3,则 q≠1,又 S3=2,S6= 2 ,
3 a ? 1 - q ? 7 ? 1 ? = , 2 ? 1-q 即? 6 ?a1?1-q ? 63 =2. ? ? 1-q

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① ②

②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 可求得 a1=2,因此 an=a1qn-1=2n-2.
小结 涉及等比数列前 n 项和时, 要先判断 q=1 是否成立, 防 止因漏掉 q=1 而出错.

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§2.5(二)

跟踪训练 1

设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,

求数列的公比 q.
解 当 q=1 时,Sn=na1,

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∴S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9;

a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? 当 q≠1 时, + =2× , 1-q 1-q 1-q
得 2-q3-q6=2-2q9,∴2q9-q6-q3=0,
1 解得 q3=-2,或 q3=1(舍去),
4 ∴q=- 2 . 3

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例 2 已知等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项的和为 85, 偶数项的和为 170,求这个数列的公比与项数.
解 设此等比数列共 2n 项,公比为 q.
由于 S 奇≠S 偶,∴q≠1.

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由于奇数项依次组成以 a1 为首项,以 q2 为公比的等比数列,故 a1?1-q2n? 所有奇数项之和为 S 奇= =85 ① 1-q2 a2?1-q2n? 同理可得所有偶数项之和为 S 偶= =170 ② 1-q2
②÷ ①,得 q=2,代入①得 22n=256,
解得 2n=8,所以这个数列共 8 项,公比为 2.

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§2.5(二)

小结

本题利用了等比数列的“子数列”性质,若等比数列的项的

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序号成等差数列,则对应项依次成等比数列.另外,两个等式之间 的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧.

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§2.5(二)

跟踪训练 2 在等比数列{an}中, a1+an=66, a3an-2=128, Sn=126, 求 n 和 q.
解 ∵a3· an-2=a1· an,∴a1an=128,

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? ?a1an=128, 解方程组? ? ?a1+an=66, ? ? ?a1=64, ?a1=2, ? 得① 或②? ? ? ?an=2, ?an=64.

a1-anq 1 将①代入 Sn= =126,可得 q=2, 1-q
由 an=a1qn-1 可解得 n=6.
a1-anq 将②代入 Sn= =126,可得 q=2, 1-q 1 由 an=a1qn-1 可解得 n=6.故 n=6,q=2或 2.

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例 3 求和:Sn=x+2x2+3x3+?+nxn (x≠0).
解 分 x=1 和 x≠1 两种情况.
n?n+1? 当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= 2 . 当 x≠1 时,Sn=x+2x2+3x3+?+nxn,
xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn+1,
∴(1-x)Sn=x+x +x +?+x -nx
x?1-xn? nxn+1 ∴Sn= - . ?1-x?2 1-x
2 3 n n+1

§2.5(二)

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x?1-xn? = -nxn+1. 1-x

? ?n?n+1? ? 2 综上可得 Sn=? n n+1 x ? 1 - x ? nx ? 2- ? 1-x ? ?1-x?
小结

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数

列{anbn}的前 n 项和时,可采用错位相减法.

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§2.5(二)

跟踪训练 3 求数列 1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)· an-1 的前 n 项和.
解 (1)当 a=0 时,Sn=1.

(2)当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,?,(2n-1),

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n[1+?2n-1?] 2 则 Sn= = n . 2
(3)当 a≠1 且 a≠0 时,
有 Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an-1 aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an ① ②

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§2.5(二)

①-②得 Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an-1-(2n-1)an, (1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+?+an-1)
a?1-an 1? n =1-(2n-1)a +2· 1-a


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2?a-an? =1-(2n-1)a + , 1-a 1-?2n-1?an 2?a-an? 又 1-a≠0,∴Sn= + . 1-a ?1-a?2
n

? ?1 ?n2 综上,Sn=? n n ?1-?2n-1?a 2?a-a ? + ? 1-a ?1-a?2 ?

?a=0? ?a=1? ?a≠0且a≠1?

.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§2.5(二)

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1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于 + n[?-1?n-1] ?-1?n 1+1 A. B. 2 2 ?-1?n+1 ?-1?n-1 C. D. 2 2 ?-1?[1-?-1?n] ?-1?n-1 解析 Sn= = . 2 1-?-1?

( D )

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§2.5(二)

2.等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它 的前 5 项的和是 A.179 B.211 C.243 a5 16 2 4 2 4 解析 ∵q =a =81=(3) ,∴q=3, 1 2 a1-a5q 81-16×3 ∴S5= = =211. 2 1-q 1- 3 D.275 ( B )

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§2.5(二)

3 3 9 或6 3.在等比数列{an}中,已知 a3= ,S3= ,则 a1=______. 2 2 2

3 当 q=1 时,S3=3a3,符合题意,此时 a1= ; 2 9 3 当 q≠1 时,由 S3= ,a3= , 2 2 解析
3 a ? 1 - q ? 9 ? 1 ? =2 ? 1-q 得? ? 2 3 ?a1q =2 ?

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① ②

1 由①÷ ②得 2q2-q-1=0,∴q=-2.
3 a3 2 ∴a1= 2= =6. q 1 4

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§2.5(二)

(n-1)· 2 +2 4.求和:1×21+2×22+3×23+?+n· 2n=______________.

n+1

解析

设 Sn=1×21+2×22+3×23+?+n· 2n

则 2Sn=1×22+2×23+?+(n-1)×2n+n· 2n+1
n 2 ? 1 - 2 ? ∴-Sn=21+22+23+?+2n-n· 2n+1= -n· 2n+1 1-2

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=2n+1-2-n· 2n+1=(1-n)· 2n+1-2
∴Sn=(n-1)· 2n+1+2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§2.5(二)

1. 在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中, 共涉及五个量: a1,an,n,q,Sn,其中首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知 三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论, 即 q≠1 和 q=1 时是不同的公式形式,不可忽略 q=1 的 情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比 为 q,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相减的方 法求和.

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§2.5(二)

【学习目标】 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题. 2.能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. 【学法指导】 1.解决与等比数列前 n 项和有关问题的关键在于“基本量” 以及方程思想方法的灵活运用. 2.运用等比数列前 n 项和解题时要注意“整体思想”方法的 灵活运用. 3. 利用等比数列的知识解决实际问题, 需要从实际问题中抽象 出等比数列模型,明确首项 a1,公比 q,以及项数 n 的实际 含义,切忌含糊不清.

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填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(二)

a1?1-qn? 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn= 1-q

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a1-anq = 1-q ;当 q=1 时,Sn= na1 .

2.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成 等比 数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比).

填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(二)

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S6 S9 3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 等于( B ) S3 S6 7 8 A.2 B. C. D.3 3 3 S6 6a1 解析 q≠1,否则S =3a =2≠3. 3 1
a1?1-q6? 1-q S6 3 3 ∴S = 3 =1+q =3,∴q =2. a1?1-q ? 3 1-q
a1?1-q9? 1-q 1-q9 1-23 7 S9 ∴ = = = = . S6 a1?1-q6? 1-q6 1-22 3 1-q

填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(二)

4. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不为零且 a≠1 的常 数),则数列{an} A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既非等差数列,也非等比数列
解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(a-1)· an 1;


( B )

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当 n=1 时,a1=a-1,∴an=(a-1)· an-1,n∈N*. an+1 ∴ =a. an

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§2.5(二)

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[问题情境] 一件家用电器,现价 20 000 元,实行分期付款,每期付款数相 同,每月为一期,一个月付款一次,共付 12 次,购买后一年还 清,月利率为 0.8%,按复利计算,那么每期付款多少元?要解 决上述问题,需要了解复利的计算方法,这正是这一节的主要内 容之一.

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§2.5(二)

探究点一 探究

等比数列前 n 项和 Sn 与函数的关系

当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1,是 n 的正比例函

数(常数项为 0 的一次函数).当 q=1 时,数列 S1,S2,S3,?, Sn,?的图象是正比例函数 y=a1x 图象上一些孤立的点. a1 当公比 q≠1 时,等比数列的前 n 项和公式是 Sn= (1-qn)= 1- q a1 n a1 (q -1).设 A= ,则上式可以写为 Sn=A(qn-1).由此 q-1 q- 1 可见,q≠1 时,由等比数列前 n 项和 Sn 构成的点列(1,S1),(2, S2),(3,S3),?,(n,Sn)位于函数 y=A(qx-1)的图象上.

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§2.5(二)

问题 1
问题 2

若{an}是等比数列, 它的前 n 项和为 Sn=3n+t, 则 t=_____. -1
若{an}是等比数列, 且前 n 项和为 Sn=3
n-1

1 -3 +t, 则 t=______.

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显然 q≠1,此时应有 Sn=A(qn-1), 1 n 又 Sn= · 3 +t, 3 1 ∴t=- . 3 解析

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§2.5(二)

探究点二 问题 1
证明

等比数列前 n 项和的性质

等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比为 q,
左边=Sm+n=(a1+a2+?+am)+(am+1+am+2+?+am+n)

求证:Sm+n=Sm+qmSn.
=Sm+(a1qm+a2qm+?+anqm)=Sm+(a1+a2+?+an)qm =Sm+qmSn=右边, ∴Sm+n=Sm+qmSn.

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问题 2

§2.5(二)

在等比数列{an}中, 若连续 m 项的和不等于 0, 则它们仍组

成等比数列. 即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍组成等比数列. 请你证明上述结论.
证明 ∵在等比数列{an}中有 am+n=amqn,

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∴Sm=a1+a2+?+am,

S2m-Sm=am+1+am+2+?+a2m=a1qm+a2qm+?+amqm =(a1+a2+?+am)qm=Sm· qm. 同理 S3m-S2m=Sm· q2m,?,

在 Sm≠0 时,有 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,仍组成等比数列.

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探究点三 问题 分期付款问题

§2.5(二)

在分期付款问题中,贷款 a 元,分 m 个月付清,月利率为 r,

每月还 x 元,想一想,每月付款金额 x 元应如何计算? 下面给出了两种推导方法,请你补充完整: 方法一:每个月还款 x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列,记 作{an},则有: 经过 1 个月,还款 x 元后,剩余欠款为 a1= a(1+r)-x ; 经过 2 个月,还款 x 元后,剩余欠款为 a2=a1(1+r)-x= a(1+r)2-(1+r)x-x ; ____________________ 经过 3 个月,还款 x 元后,剩余欠款为 a3=a2(1+r)-x=

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a (1+r)3-(1+r)2x-(1+r)x-x ; ___________________________
? ?

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§2.5(二)

经过 m 个月,还款 x 元后,剩余欠款为 am=am-1(1+r)-x
m m-1 m-2 = a(1+r) -[(1+r) +(1+r) +…+(1+r)+1]x .

由于经过 m 个月后,欠款还清,故 am=0,从而有 a(1+r)m
ar?1+r?m m m-1 m-2 = x[(1+r) +(1+r) +…+(1+r)+1] .即 x= ?1+r? -1 .

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方法二:我们可以把该问题分开来看: 一方面,每月付款 x 元,共付 m 次,m 个月后各期付款到期后的本 息和为: 期数 本息和 1 x(1+r)m-1 2
x(1+r)m
-2

3
x(1+r)m
-3

? ?

m- 1
x(1+r)

m x

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§2.5(二)

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从而到期后(m 个月后),银行共收到付款及利息为: [?1+r?m-1] 2 m-1 x+x(1+r)+x(1+r) +?+x(1+r) = _________________________________ x; r m a (1 + r ) 另一方面贷款 a 元,m 个月后应偿还本息和为 ; 由于 m 个月后,贷款全部付清,
m ar ? 1 + r ? [?1+r?m-1] m a (1 + r ) ?1+r?m-1 . 所以有 x = ,故 x = r

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【典型例题】 例1

§2.5(二)

已知等比数列前 n 项, 前 2n 项, 前 3n 项的和分别为 Sn, S2n,

2 S3n,求证:S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n).

证明

方法一

设此等比数列的公比为 q,首项为 a1,

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当 q=1 时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1,
2 2 2 2 2 2 2 ∴S2 n+S2n=n a1+4n a1=5n a1,

Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2a2 1,
2 ∴S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n). a1 当 q≠1 时,Sn= (1-qn), 1-q a1 a1 2n S2n= (1-q ),S3n= (1-q3n), 1-q 1-q

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? 2 ∴S2 + S = n 2n ? ?

§2.5(二)

? a1 ? a1 ? ?2 ? ?2 n 2 2n 2 n 2 n 2n · [(1 - q ) + (1 - q ) ] = · (1 - q ) · (2 + 2 q + q ). ? ? ? ?1-q? ?1-q? ? a1 ? ?2 又 Sn(S2n+S3n)=? (1-qn)2· (2+2qn+q2n), ?1-q? · ? ?

2 ∴S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n).

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方法二

根据等比数列性质,

有 S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn,
2 2 n 2 2 n 2n ∴S2 n+S2n=Sn+[Sn(1+q )] =Sn(2+2q +q ), n 2n Sn(S2n+S3n)=S2 n(2+2q +q ). 2 ∴S2 n+S2n=Sn(S2n+S3n).

小结

运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q=1 和 q≠1 两种情形,

在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.

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§2.5(二)

跟踪训练 1

已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等

差数列,求证:a2,a8,a5 成等差数列.
证明 若 q=1,则 S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1, S3+S6=9a1,2S9=18a1,a1≠0

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∴S3+S6≠2S9 矛盾,∴q≠1.
a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? 当 q≠1 时,S3= ,S6= ,S9= . 1-q 1-q 1-q
∵S3,S9,S6 组成等差数列,∴S3+S6=2S9,
a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? ∴ + = . 1-q 1-q 1-q

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§2.5(二)

∴(1-q3)+(1-q6)=2(1-q9),∴q3+q6=2q9,
∵q≠0,∴1+q3=2q6.
1 3 ∴2q -q -1=0,解得 q =-2(q =1 舍)
6 3 3

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a2 ∵a2+a5=a2(1+q )= , 2 ? 1? a2 6 2 ? ? - 2a8=2a2q =2a2× 2 = 2 , ? ?
3

∴a2+a5=2a8. ∴a2,a8,a5 成等差数列.

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例2

§2.5(二)

?1? an 21 ? ? 设{an}是等差数列,bn= 2 ,已知:b1+b2+b3= ,b1b2b3 8 ? ?

1 = ,求等差数列的通项 an. 8

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解 设等差数列{an}的公差为 d, ?1? ? ?an+1 ?1? an+1-an ?1? bn+1 ?2? 则 = ? ? an=?2? =?2?d. bn 1 ? ? ? ? ? ? ?2?
∴数列{bn}是等比数列,公比
1 1 ∴b1b2b3=b3 = , ∴ b = . 2 2 8 2
17 ? ?b1+b3= 8 ∴? 1 ?b1· b3=4 ? 1 b =2 ? ? ?b1= ? 1 8 或? ,解得? 1 . b= ? ? ?b3=2 ? 3 8
?1? q=?2?d. ? ?

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1 ? ?b1= 8 时,q2=16, 当? ? ?b3=2
∴q=4(q=-4<0 舍去)此时,bn=b1q 由
?1? - ?1? an 5 2n bn=?2? =?2? ,∴an=5-2n. ? ? ? ?
n-1

§2.5(二)

?1? - - =?8?· 4n 1=22n 5. ? ?

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b =2 ? ? 1 ? 1 1 1? 2 ? 当? 1 时,q =16,∴q=4 q=-4<0舍去?, ? ? b3=8 ? ? ?1? - ?1? - ?1? an n-1 n 1 2n 3 ? ? 此时,bn=b1q =2· =?2? =?2? ,∴an=2n-3. ?4? ? ? ? ? 综上所述,an=5-2n 或 an=2n-3.

小结

等差数列与等比数列既有类似的部分, 又有区别, 要在应用中

加强记忆.同时,用好性质也会降低解题的运算量,从而减少差错.

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§2.5(二)

跟踪训练 2

在等比数列{an}中,an>0 (n∈N*),公比 q∈(0,1),且

a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; S1 S 2 Sn (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 + +?+ n 最大 1 2 时,求 n 的值.

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2 2 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴a3 +2a3a5+a5 =25,

又 an>0,∴a3+a5=5.又 a3 与 a5 的等比中项为 2,
∴a3a5=4,而 q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1. ?1? - 1 ∴q= ,a1=16,∴an=16×?2?n 1=25-n. 2 ? ?

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§2.5(二)

(2)bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,
∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列, n?9-n? Sn 9-n ∴Sn= ,∴ = , 2 n 2 Sn Sn Sn ∴当 n≤8 时, n >0;当 n=9 时, n =0;当 n>9 时, n <0.
S1 S2 S3 Sn ∴当 n=8 或 9 时, 1 + 2 + 3 +?+ n 最大.

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§2.5(二)

例 3

为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超

过 80 吨,该矿区计划从 2013 年开始出口,当年出口 a 吨,以 后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2013 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表 达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划 10 年后终止该矿区的出口, 问 2013 年最多出口多少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35.

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§2.5(二)



(1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项 a1=a,公比

q=1-10%=0.9, ∴an=a· 0.9n-1 (n≥1).
a?1-0.910? (2)10 年的出口总量 S10= =10a(1-0.910). 1-0.9 8 ∵S10≤80,∴10a(1-0.910)≤80,即 a≤ , 1-0.910
∴a≤12.3.故 2013 年最多出口 12.3 吨.

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小结

本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键,运算中往往要

运用指数或对数不等式,常需要查表或依据题设中所给参考数据进 行近似计算,对其结果要按照要求保留一定的精确度.

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§2.5(二)

跟踪训练 3 某家用电器一件现价 20 000 元,实行分期付款,每期 付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次, 共付 12 次,购买后一年还清,月利率为 0.8%,按复利计算,那么 每期应付款多少?(1.00812≈1.1)
解 设每期应付款 x 元,则第 1 期付款与到最后一次付款所生利息 之和为 x(1+0.008)11;第 2 期付款与到最后一次付款所生利息之和 为 x(1+0.008)10,?,第 12 期付款没有利息,所以各期付款连同利 1.00812-1 11 10 息之和为 x(1+0.008) +x(1+0.008) +?+x= x. 1.008-1
又所购电器的现价及其利息之和为 20 000×1.00812,
1.00812-1 于是有 x=20 000×1.00812. 1.008-1 160×1.00812 解得 x= ≈1 760(元).即每期应付款 1 760 元. 1.00812-1

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§2.5(二)

1. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若{Sn} 是等差数列,则 q 等于 A.1
解析

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( A ) C.1 或 0 D.-1

B. 0

∵Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,

∴an 为定值,即数列{an}为常数列, an ∴q= =1. an-1

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§2.5(二)

2.一个等比数列的前 7 项和为 48,前 14 项和为 60,则前 21 项和为 A.180
解析

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B.108

C.75

( D ) D.63

由题意得 S7,S14-S7,S21-S14 组成等比数列 48,12,3,

即 S21-S14=3,∴S21=63.

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§2.5(二)

3.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn =3n-2+k,则实数 k 的值为 1 1 1 A. B.- C. 3 3 9 1 解析 当 n=1 时,a1=S1=3+k, ( D ) 1 D.- 9

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当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-2+k)-(3n-3+k)=2· 3n-3. 1 由题意知{an}为等比数列,所以 a1=3+k=2· 3-2, 1 ∴k=-9.

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§2.5(二)

4.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内,该厂的总产值为 A.1.14a C.10a(1.15-1)
解析 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1).

( D )

B.1.15a D.11a(1.15-1)

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注意去年产值为 a,今年起 5 年内各年的产值分别为

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§2.5(二)

1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解 题的关键.两类数列的性质既有类似的部分,又有区别, 要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题的 运算量,从而减少错误. 2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程 (组)求 解,在解方程时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的 不同之处. 3. 利用等比数列解决实际问题, 关键是构建等比数列模型. 要 确定 a1 与项数 n 的实际含义,同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题.

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