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河南省郑州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)



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河南省郑州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知命题 p:? x<0,x >0,那么¬p 是() 2 2 2 2

A. ? x≥0,x ≤0 B. ? x≥0,x ≤0 C. ? x<0,x ≤0 D. ? x≥0,x ≤0 2. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=0,则公差 d 等于() A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. ﹣2 3. (5 分)设 a,b∈R,则 a>b 是(a﹣b)b >0 的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. (5 分)已知抛物线 y =mx 的焦点坐标为(2,0) ,则 m 的值为() A. B. 2 C. 4 D. 8
2 2

5. (5 分)已知 A. ﹣3 或 1

=(2,4,x) , B. 3 或﹣1

=(2,y,2) ,若| C. ﹣ 3

|=6,



,则 x+y 的值是() D. 1

6. (5 分)如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定

A,B 间距离的是() A. α ,a,b B. α ,β ,a C. a,b,γ D. α ,β ,b

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=2x+3y 的最小值为()

A. 6

B. 7

C. 8

D. 23

8. (5 分)若△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC() A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

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9. (5 分)已知点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A. ﹣4<a<9 B. ﹣9<a<4 C. a<﹣4 或 a>9 D. a<﹣9 或 a>4 10. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(﹣5,0)和 C(5,0) ,顶点 B 在双曲线 ﹣ =1,则 的值为()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 ,则 2a7+a11 的最小值 为() A. 16 B. 8 C. D. 4

12. (5 分)已知 m、n、s、t 为正数,m+n=2,

=9 其中 m、n 是常数,且 s+t 最小值是 ,

满足条件的点(m,n)是椭圆 A. x﹣2y+1=0

=1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为() C. 2x+y﹣3=0 D. x+2y﹣3=0

B. 2x﹣y﹣1=0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x ﹣10x+9=0 的两个根,则 S6=.

14. (5 分)设 x,y 均为正数,且

+

= ,则 xy 的最小值为.

15. (5 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c、 ,已知 a ﹣c =2b,且 sinAcosC=3cosAsinC 则 b=. 16. (5 分)若直线 y=k(x+1) (k>0)与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点在抛物 线的准线上的射影分别是 M,N,若|BN|=2|AM|,则 k 的值是.
2

2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分) 命题 p: 关于 x 的不等式 x +2ax+4>0, 对一切 x∈R 恒成立. 命题 q: 抛物线 y =4ax 的焦点在(1,0)的左侧,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 C 的大小; 2 2 (2)若 c =(a﹣b) +6,求△ABC 的面积. b=2csinB

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19. (12 分)为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,今年冬天,某水利工程队计划在黄 河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积 2 为 40000m 的矩形鱼塘,其四周都留有宽 3m 的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,才 能使占有农田的面积最小. 20. (12 分) 设{an}是等差数列, {bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

21. (12 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动 (1)证明:A1D⊥平面 D1EC1; (2)AE 等于何值时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 .

22. (12 分)已知圆 C:x +y =3 的半径等于椭圆 E:

2

2

+

=1(a>b>0)的短半轴长,椭圆 E

的右焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l:y=x﹣

的距离为



,点 M 是直线 l 与圆 C 的公共

点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|.

河南省郑州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

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一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知命题 p:? x<0,x >0,那么¬p 是() 2 2 2 2 A. ? x≥0,x ≤0 B. ? x≥0,x ≤0 C. ? x<0,x ≤0 D. ? x≥0,x ≤0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 将存在量词改写为全称量词,再否定结论,从而得到答案. 2 2 解答: 解:已知命题 p:? x<0,x >0,那么¬p 是:? x<0,x ≤0, 故选:C. 点评: 本题考查了命题的否定,将命题的否定和否命题区分开,本题属于基础题. 2. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=0,则公差 d 等于() A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. ﹣2 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意结合等差数列的性质和求和公式可得 a2 的值,进而可得公差 d. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=0, ∴S3=a1+a2+a3=3a2=6,∴a2=2, ∴公差 d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2 故选:D 点评: 本题考查等差数列的求和公式和通项公式,属基础题. 3. (5 分)设 a,b∈R,则 a>b 是(a﹣b)b >0 的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 结合不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 2 解答: 解:当 a>b,b=0 时,不等式(a﹣b)b >0 不成立. 2 若(a﹣b)b >0,则 b≠0,且 a﹣b>0, ∴a>b 成立. 2 即 a>b 是(a﹣b)b >0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 4. (5 分)已知抛物线 y =mx 的焦点坐标为(2,0) ,则 m 的值为() A. B. 2 C. 4 D. 8
2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线 y =2px 的焦点坐标为( ,0) ,结合条件可得 =2,即可求得 m 的值. 解答: 解:由抛物线 y =2px 的焦点坐标为( ,0) , 又抛物线 y =mx 的焦点坐标为(2,0) , 即有 =2, 解得 m=8. 故选:D. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点,属于基础题.
2 2 2

5. (5 分)已知 A. ﹣3 或 1

=(2,4,x) , B. 3 或﹣1

=(2,y,2) ,若| C. ﹣ 3

|=6,



,则 x+y 的值是() D. 1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;空间向量及应用. 分析: 运用向量的模的公式,可得 x,再由向量垂直的条件:数量积为 0,可得 y,进而得 到 x+y 的值. 解答: 解:由 则 又 则 =(2,4,x) ,| |=6,

=6,解得 x=±4, =(2,y,2) ,且 ⊥ ,

=0,即有 4+4y+2x=0, .

即 y=﹣

当 x=4 时,y=﹣3,有 x+y=1; 当 x=﹣4 时,y=1,有 x+y=﹣3. 故选 A. 点评: 本题考查空间向量的数量积的性质,考查向量的模的公式,考查向量垂直的条件, 考查运算能力,属于基础题. 6. (5 分)如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定

A,B 间距离的是()
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. α ,a,b B. α ,β ,a C. a,b,γ D. α ,β ,b

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 给定 α ,a,b,由正弦定理,β 不唯一确定,故不能确定 A,B 间距离. 解答: 解:给定 α ,a,b,由正弦定理,β 不唯一确定,故不能确定 A,B 间距离. 故选:A. 点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查学生的计算能力,比较基础.

7. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=2x+3y 的最小值为()

A. 6

B. 7

C. 8

D. 23

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

.画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最小值.

解答: 解:画出不等式

.表示的可行域,如图,

让目标函数表示直线

在可行域上平移,

知在点 B 自目标函数取到最小值, 解方程组 所以 zmin=4+3=7, 故选 B. 得(2,1) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到 目标函数的最优解. 8. (5 分)若△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC() A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据题意,结合正弦定理可得 a:b:c=4:6:8,再由余弦定理算出最大角 C 的余弦 等于﹣ ,从而得到△ABC 是钝角三角形,得到本题答案. 解答: 解:∵角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC, ∴根据正弦定理,得 6a=4b=3c,整理得 a:b:c=4:6:8 设 a=4x,b=6x,c=8x,由余弦定理得:cosC= ∵C 是三角形内角,得 C∈(0,π ) , ∴由 cosC=﹣ <0,得 C 为钝角 因此,△ABC 是钝角三角形 故选:C 点评: 本题给出三角形个角正弦的比值,判断三角形的形状,着重考查了利用正、余弦定 理解三角形的知识,属于基础题. 9. (5 分)已知点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A. ﹣4<a<9 B. ﹣9<a<4 C. a<﹣4 或 a>9 D. a<﹣9 或 a>4 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 由点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,把两点的坐标代入 3x﹣2y+a 所得的值异号,由此列不等式求得 a 的范围. 解答: 解:∵点(2,1)和(﹣1,3)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧, ∴(3×2﹣2×1+a) (﹣1×3﹣2×3+a)<0, 即(a+4) (a﹣9)<0. 解得﹣4<a<9. 故选:A. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了二元一次不等式所表示的平面区域,是基础题. = =﹣

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(﹣5,0)和 C(5,0) ,顶点 B 在双曲线 ﹣ =1,则 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的定义,以及正弦定理,即可得到结论. 解答: 解:∵在双曲线 ﹣ =1,

∴a=4,b=3,c=5, 即 A,C 是双曲线的两个焦点, ∵顶点 B 在双曲线 ﹣ =1,

∴|BA﹣BC|=2a=8,AC=10, 则由正弦定理得 = ,

故选:C. 点评: 本题主要考查双曲线的定义的应用,利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键. 11. (5 分)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 ,则 2a7+a11 的最小值 为() A. 16 B. 8 C. D. 4 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 ,知 a4?a14=(2 故 a7?a11=8,利用均值不等式能够求出 2a7+a11 的最小值. 解答: 解:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 , 2 ∴a4?a14=(2 ) =8, ∴a7?a11=8, ∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2 =2 =8.

) =8,

2

故选 B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的应用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12. (5 分)已知 m、n、s、t 为正数,m+n=2, =9 其中 m、n 是常数,且 s+t 最小值是 ,

满足条件的点(m,n)是椭圆 A. x﹣2y+1=0

=1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为() C. 2x+y﹣3=0 D. x+2y﹣3=0

B. 2x﹣y﹣1=0

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由题设知( ) (s+t)=n+m+ ≥ = ,满足

时取最小值,由此得到 m=n=1.设以(1,1)为中点的弦交椭圆

=1 于 A(x1,y1) ,B(x2,
2 2

y2) ,由中点从坐标公式知 x1+x2=2,y1+y2=2,把 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别代入 x +2y =4, 得 ,①﹣②,得 2(x1﹣x2)+4(y1﹣y2)=0,k= ,由此

能求出此弦所在的直线方程. 解答: 解:∵sm、n、s、t 为正数,m+n=2, s+t 最小值是 , ∴( ∴( 满足 ) (s+t)的最小值为 4 ) (s+t)=n+m+ 时取最小值, ≥ = , =9,

此时最小值为 =2+2 =4, 得:mn=1,又:m+n=2,所以,m=n=1. 设以(1,1)为中点的弦交椭圆 =1 于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

由中点从坐标公式知 x1+x2=2,y1+y2=2, 2 2 把 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别代入 x +2y =4,得 , ①﹣②,得 2(x1﹣x2)+4(y1﹣y2)=0, ∴k= ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴此弦所在的直线方程为 ,

即 x+2y﹣3=0. 故选 D. 点评: 本题考查椭圆的性质和应用,解题时要认真审题,注意均值不等式和点差法的合理 运用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x ﹣10x+9=0 的两个根,则 S6=364. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前 n 项和公式求前 6 项和. 2 解答: 解:解方程 x ﹣10x+9=0,得 x1=1,x2=9. 2 ∵数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x ﹣10x+9=0 的两个根, ∴a1=1,a3=9. 2 设等比数列{an}的公比为 q,则 q =9,所以 q=3. ∴S6= =364.

故答案为:364. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,属于基础题.

14. (5 分)设 x,y 均为正数,且

+

= ,则 xy 的最小值为 9.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由已知式子变形可得 xy=x+y+3,由基本不等式可得 xy≥2 元二次不等式可得. 解答: 解:∵x,y 均为正数,且 ∴ + = , +3,解关于 的一

= ,整理可得 xy=x+y+3,

由基本不等式可得 xy≥2 +3, 2 整理可得( ) ﹣2 ﹣3≥0, 解得 ≥3,或 ≤﹣1(舍去) ∴xy≥9,当且仅当 x=y 时取等号, 故答案为:9 点评: 本题考查基本不等式和不等式的解法,属基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 15. (5 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c、 ,已知 a ﹣c =2b,且 sinAcosC=3cosAsinC 则 b=4. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ ∴2c =2a ﹣b 2 2 ∵a ﹣c =2b, 2 ∴b =4b ∵b≠0 ∴b=4 故答案为:4 点评: 本题考查余弦定理、正弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 16. (5 分)若直线 y=k(x+1) (k>0)与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点在抛物 线的准线上的射影分别是 M,N,若|BN|=2|AM|,则 k 的值是 .
2 2 2 2 2 2

余弦定理;正弦定理. 计算题;解三角形. 2 2 利用余弦定理、正弦定理化简 sinAcosC=3cosAsinC,结合 a ﹣c =2b,即可求 b 的值. 解:∵sinAcosC=3cosAsinC,

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直线 y=k(x+1) (k>0)恒过定点 P(﹣1,0) ,由此推导出|OA|= |BF|,由此能求 出点 A 的坐标,从而能求出 k 的值. 2 解答: 解:设抛物线 C:y =4x 的准线为 l:x=﹣1 直线 y=k(x+1) (k>0)恒过定点 P(﹣1,0) , 过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 由|BN|=2|AM|,则|BF|=2|AF|, ∴点 A 为 BP 的中点. 连接 OA,则|OA|= |BF|, ∴|OA|=|AF|, ∴点 A 的横坐标为 , ∴点 A 的坐标为( , 把( , 解得 k= ) ,

)代入直线 l:y=k(x+1) (k>0) , .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故答案为: .

点评: 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要 注意等价转化思想的合理运用. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分) 命题 p: 关于 x 的不等式 x +2ax+4>0, 对一切 x∈R 恒成立. 命题 q: 抛物线 y =4ax 的焦点在(1,0)的左侧,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别求出关于 p,q 的 a 的范围,通过讨论 p 真 q 假,p 假 q 真,从而得到 a 的范围. 2 解答: 解:设 g(x)=x +2ax+4, 2 由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立, 2 ∴△=4a ﹣16<0,∴﹣2<a<2, 2 又抛物线 y =4ax 的焦点在(1,0)的左侧, ∴a<1,a≠0, 又∵p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, ∴p 和 q 一真一假, 若 p 真 q 假,则 1≤a<2,或 a=0, 若 p 假 q 真,则 a≤﹣2, 综上,a 的范围是:1≤a<2 或 a≤﹣2 或 a=0. 点评: 本题考查了复合命题的真假,考查了不等式以及抛物线的性质,是一道基础题. 18. (12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 C 的大小; 2 2 (2)若 c =(a﹣b) +6,求△ABC 的面积. b=2csinB

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinC 的值,由 C 为锐角求 出 C 的度数即可; (2)利用余弦定理列出关系式,把 cosC 的值代入并利用完全平方公式变形,结合已知等式求 出 ab 的值,再由 sinC 的值,利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积即可. 解答: 解: (1)由正弦定理 = = ,及 b=2csinB,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 得: sinB=2sinCsinB, ,

∵sinB≠0,∴sinC=

∵C 为锐角, ∴C=60°; 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=(a﹣b) +ab, 2 2 ∵c =(a﹣b) +6, ∴ab=6, 则 S△ABC= absinC= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌 握定理是解本题的关键. 19. (12 分)为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,今年冬天,某水利工程队计划在黄 河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积 2 为 40000m 的矩形鱼塘,其四周都留有宽 3m 的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,才 能使占有农田的面积最小. 考点: 不等式的实际应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 2 分析: 设矩形鱼塘长为 am,宽为 bm,面积 ab=40000m ,由所选农田的长为(a+6)m,宽为 2 (b+6)m,农田面积(a+6)?(b+6)=40036+6(a+b) (m ) ,由此利用均值不等式能求出农田 的长为 206 米,宽为 206 米时,才能使占有农田的面积最小. 2 解答: 解:设矩形鱼塘长为 am,宽为 bm,面积 ab=40000m , 由所选农田的长为(a+6)m,宽为(b+6)m, 2 农田面积(a+6)?(b+6)=40036+6(a+b) (m ) , 由不等式 a+b≥2 ,知当且仅当 a=b 时,a+b 最小,即农田面积最小, ∵ab=40000 所以 a=b=200m. 所以农田的长为 206 米,宽为 206 米时,才能使占有农田的面积最小. 点评: 本题考查函数在生产生活中的实际应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价 转化思想的合理运用. 20. (12 分) 设{an}是等差数列, {bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,根据等比数列和等差数列的通项公式, 联立方程求得 d 和 q,进而可得{an}、{bn}的通项公式. (Ⅱ)数列 的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn.

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解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 d=2,q=2. n﹣1 n﹣1 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q =2 .

(Ⅱ)



,①

Sn=

,②

①﹣②得 Sn=1+2( + 则

+…+

)﹣



=

=

=



点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和. 21. (12 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动 (1)证明:A1D⊥平面 D1EC1; (2)AE 等于何值时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 .

考点: 直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间向量及应用. 分析: 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 AE=x,则 A1(1,0,1) ,D1(0,0,1) ,E(1,x,0) ,A(1,0,0) ,C(0,2,0) . (1)利用数量积只要判断 A1D⊥D1E,A1D⊥D1C1,

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(2)设平面 D1EC 的法向量 =(a,b,c) ,利用法向量的特点求出 x. 解答: 证明(1) :以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系, 设 AE=x,则 A1(1,0,1) ,D1(0,0,1) ,E(1,x,0) ,A(1,0,0) ,C(0,2,0) . =(﹣1,0,﹣1) , 所以 =0, =(1,x,﹣1) , =0, =(0,2,0) ,

所以 A1D⊥D1E,A1D⊥D1C1, 所以 A1D⊥平面 D1EC1; 解: (2)设平面 D1EC 的法向量 =(a,b,c) , ∴ =(1,x﹣2,0) , =(0,2,﹣1) , =(0,0,1) .

由 令 b=1,

.所以

∴c=2,a=2﹣x.∴ =(2﹣x,1,2) . 依题意,cos 解得 x1=2+ 所以 AE=2﹣ = = ? .

(舍去) ,x1=2﹣ 时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 .

点评: 本题考查了利用空间直角坐标系,判断线面垂直以及求解二面角,注意法向量的求 法是解题的关键,考查计算能力.

22. (12 分)已知圆 C:x +y =3 的半径等于椭圆 E:

2

2

+

=1(a>b>0)的短半轴长,椭圆 E

的右焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l:y=x﹣

的距离为



,点 M 是直线 l 与圆 C 的公共

点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|.

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考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设点 F(c,0) (c>0) ,由已知条件得 椭圆 E 的短半轴长,由此能求出椭圆方程. (Ⅱ) 由圆心 O 到直线 l 的距离为 , 得 ,圆 C 的半径等于 ,

由已知条件推导出|AF|+|AM|=2,|BF|+|BM|=2,由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|. 解答: (Ⅰ)解:设点 F(c,0) (c>0) , 则 F 到直线 l 的距离为 ,

即 ,…(2 分) 因为 F 在圆 C 内,所以 ,故 c=1;…(4 分) 2 因为圆 C 的半径等于椭圆 E 的短半轴长,所以 b =3, 椭圆方程为 .…(6 分)

(Ⅱ)证明:因为圆心 O 到直线 l 的距离为 所以直线 l 与圆 C 相切,M 是切点, 故△AOM 为直角三角形, 所以 ,





,得 ,

,…(7 分)



,得

,…(9 分)

所以|AF|+|AM|=2,同理可得|BF|+|BM|=2,…(11 分) 所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|, 即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|.…(12 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两组线段差相等的证明,解题时要认真审题,注意 点到直线的距离公式的合理运用

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