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2014-2015北京市海淀一模数学理科



2014-2015 北京市海淀一模数学理科
一、选择题 1、设集合 A ? x ? R x ? 1 , B ? x ? R x ? 4 , 则 A ? B ? (

?

?

?

?



A . [?2,??)

B . (

1, ? ?)

C . (1,2]

D . (??,??)


2、抛物线 x 2 ? 4 y 上的点到其焦点的最短距离为(

A.

4

B. 2

C. 1 D.

1 2
?

3、已知向量 a 和向量 b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ? b ? (



A. 3

B.

3

C .2- 3

D .1

“sin x ? 0” 4、 是“角 ? 是第一象限的角的( ) A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件
5、圆 ?

C .充分必要条件


D .既不充分也不必要条件

? ? x ? ?1 ? 2 cos? ( ? 为参数)被直线 y ? 0 截得的劣弧长为( ? y ? 1 ? 2 sin ? ?
A.

2? 2

B. ?

C . 2 2? D . 4?

?x ? y ? 0 ? 6、若 x , y 满足 ? x ? 1 ,则下列不等式恒成立的是( ?x ? y ? 0 ?
A . y ?1 B. x?2



C . x ? 2 y ? 2 ? 0 D . 2x ? y ?1 ? 0


7、某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能是(

8、某地区在六年内第 x 年的生产总值 y (单位:亿元)与 x 之间的关系 如图所示,则下列四个时段中,生产总值的年平均增长率最高的是( )

A . 第一年到第三年 B . 第二年到第四年

C . 第三年到第五年
D . 第四年到第六年
二、填空题
1

9、已知

ai ? ?1 ? i ,其中 i 为虚数单位,那么实数 a ? 1? i

10、执行如图所示的程序框图,输出的 i 的职位 11、已知 m,4, n 是等差数列, 那么 ( 2 ) m ? ( 2 ) n = 12、在 ?ABC 中,若 a ? 则 ? B 的大小为 13、社区主任要为小红等 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照, 要求排成一排,小红必须与两位老人都相邻, 且两位老人不能排在两端,则不痛的排法种数是 14、设 f ( x) ? ? 三、解答题 15、已知函数 f ( x ) ? sin( x ?
3 ? ? x , ( x ? a) ,若存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,则 a 的取值范围 ? x 2 , ( x ? a) ?

mn 的最大值为
2 , c ? 3.?A ?

?
4

,

?
4

)

(1)求 f ( x) 的最小正周期及其图像的对称轴方程; (2)求 f (

?
3

? x) 的单调减区间。

16、某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个, 并按 [0,10], (10,20], (30,40], (40,50] 分组,得到频率分布直方图如下:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 (1)写出频率分布直方图(甲)中 a 的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为
2

2 2 2 ,试比较 s1 的大小(只需写出结论) s12 , s2 与s2

(2)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率; (3)设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率, 求 X 的数学期望

17、如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC, AD ? DC, BC ? 2 AD ? 2DC, 四边形 ABEF 是正方形,将正 方形 ABEF 沿 AB 折起到四边形 ABE1F1 的位置,使平面 ABE1F1 ? 平面 ABCD , M 为 AF 1 的中点,如图 2. (1)求证: BE1 ? DC (2) 求 BM 与平面 CE1M 所成角的正弦值; (3)判断直线 DM 与 CE1 的位置关系

图1

图2

18、已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) x
3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间 (2)若 x f ( x) ? 0 ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) 。

?

?

x2 y2 6 19、已知椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (0,?1) ,且离心率 e ? . a b 3
(1)求椭圆 M 的方程 (2)是否存在菱形 ABCD ,同时满足下列三个条件: ?点 A 在直线 y ? 2 上; ?点 B, C , D 在椭圆 M 上; ?直线 BD 的斜率等于 1. 如果存在,求出点 A 的坐标;如果不存在,说明理由。

4



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