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2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案



2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学会普及工作 委员会和四川省数学竞赛委员会主办, 由四川省数学竞赛委员会负责 命题,命题负责人:柳斌。 预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准, 主要考察学生对基 本知识和基本技能的掌握情况,以及综合、灵活运用知识的能力。学 生自愿报名参加。全省在 5 月 15 日下午 14:30-16:30

由各地市、 州统一组织竞赛(不得在县级以下单位设置考场) 。试题总分 140 分, 其中六道选择题 (每小题 5 分, 共 30 分) 、 六道填空题 (每小题 5 分, 共 30 分) 、四道解答题(每小题 20 分,共 80 分) 。命题难度大体相 当于普通高考试题。 竞赛完后先由各市、州集中评卷,然后将 10%的优秀试卷上报 四川省数学竞赛委员会(原则上每个参赛学校有试卷上报) ,由四川 省数学竞赛委员会组织专人复查。从中评出一等奖 300 名、二等奖 500 名、三等奖 700 名,由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书。并 确定参加决赛人数 1000 人左右。 经四川省数学竞赛委员会研究决定, 为确保全国高中数学联赛的 安全保密工作,自 2007 年起,四川省只在成都市设立一个考场,对 个别边远地区的优秀学生经济确有困难者提出申请, 可由省数学竞赛 委员会给予适当资助。

1


一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、双曲线



x2 y2 ? ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双 a2 b2
) . D、 2 3

曲线的左、右焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

2、已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , (a, b, c, d ? R ), 命题 p : y ? f ( x) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f ( x) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ). B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪 刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量

? 的数学期望 E? 的值为(
A、

). C、

1 3

B、

4 9

2 3

D、1 ). D、 3 3
F N A M D C B E

4、函数 f ( x) ? A、 3

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60° 角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,则线段 MN 的 长的取值范围是( ). A 、 [ , 2]

1 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

6 、 设 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 数 列 {bn } 满 足 : b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 ,

b3 ? a4 ? a5 ? a6 ,?,若 lim
A、

bn ? 2 ,则数列 {an } 的公差 d 为( n ?? n 3
C、2 D、4

).

1 2

B、1

2

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是



8 、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |? 1 ,则使得向量 a ? mb 与

a ? (1 ? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为

. .

9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ?

10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ?? ? ? ? ?3 .关于 实数 x 的方程 ?3 x ? 1? ? 2 x ?

1 的全部实根之和等于 2



11、已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

n ???

an ? bn



12、 已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, 且 SA=SB=SC=AB=2, 设 S、 A、 B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上, 则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x) ? x ? 100? mx 的最大值为 g ( m) ,求 g ( m) 的最小值. 14、已知函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? m(sin x ? cos x) 在 x ? [0,
4 4 4

?
2

] 有最大值 5,

求实数 m 的值. 15、抛物线 y ? x 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P1 、 P 2 两点.
2

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 PP 1 2 上满足条件

1 1 2 的点 Q 的轨迹方程. ? ? PP PP2 PQ 1
9 4 a n ? ? 3 n ? m ,且 8 3

16、已知 m 为实数,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n ?

an ?

64 对任何的正整数 n 恒成立. 3
n

3k 3 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 ? ? . 16 k ?1 S k

3

本文档选自华东师范大学出版社的 《高中数学 联赛备考手册(2012 ) (预赛试题集锦) 》 ,该书收 录了 2011 年各省市预赛试题和优秀解答。 预赛命题 人员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教 学大纲,体现新课标精神的同时,在方法的要求上 有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题 工作,试题对高考有一定的指导作用,本书架起了 联赛与高考的桥梁,是一本不可或缺的备考手册。

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4


1、B. 提示:由题意得 2c ? 3 ? 2、A.



2a 2 ,解得 e ? 3 . c

3? 4 4 3? 4 4 3 ?1 1 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? ,于 27 9 27 9 27 9 4 4 1 2 是 E? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? . 9 9 9 3
3、C. 提示: P (? ? 0) ? 4、C. 解法一 f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,由

f ?( x) ?
解得 x ?

1 2 x ?5

?

?3 2 24 ? 3x

?

24 ? 3x ? 3 x ? 5 2 x ? 5 ? 24 ? 3x

? 0,

23 23 .因为 f (5) ? 3 , f ( ) ? 2 3 , f (8) ? 3 ,于是 4 4 23 f ( x) max ? f ( ) ? 2 3 . 4

解法二 f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,

f 2 ( x) ? (1? x ? 5 ? 3 ? 8 ? x )2 ? (1 ? 3)(x ? 5 ? 8 ? x) ? 12 ,
当且仅当

23 x ?5 8? x ,即 x ? 时, f ( x) 取到最大值 2 3 . ? 4 1 3
AM AH ? , AC AB

5、B.

提示:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则

F N A M D H

E

又 AM=FN, AC=FB, ∴

FN AH ? , ∴NH//AF, ∴NH⊥AB, MH⊥AB, FB AB

B C

∴∠MHN=60° . 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH ? 2 ? x ,所以

MN ? x 2 ? (2 ? x) 2 ? 2 x(2 ? x) cos 60? ? 3x2 ? 6x ? 4 ? 3( x ? 1) 2 ? 1 .
因此 1 ? MN ? 2 .

5

6、D. 提示:

bn ? a n( n?1) ? a n( n?1)
2 ?1 2

?2

? ? ? a n( n?1)
2

?n

n ? [a n ( n?1) ? a n ( n?1) ] ?1 ?n 2 2 2
n n(n ? 1) n(n ? 1) ? [a1 ? d ? a1 ? ( ? n ? 1)d ] 2 2 2 n ? ( 2a1 ? d ? n 2 d ) 2
于是

lim
解得 d ? 4 .

bn 1 2a ? d d ? lim ( 1 2 ? d ) ? ? 2 , 3 n ?? n n ?? 2 2 n

1 5 , ] . 提示:因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |?| (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) |? 6 ,等号成立当 2 2 1 5 且仅当 (2 x ? 1)(2 x ? 5) ? 0 ,即 ? ? x ? 2 2
7、 [ ? 8、1. 提示:由于

0 ? (a ? mb) ? [a ? (1 ? m)b] = a ? a ? b ? m(1 ? m)b ?| a |2 ?m(1 ? m) ,
即 m2 ? m? | a | 2 =0,所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1. 9、150. 提示:记 b1 ? S10 , b2 ? S20 ? S10 , b3 ? S30 ? S20 , b4 ? S40 ? S30 . 设 q 为 {an } 的公比,则 b1 , b2 , b3 , b4 构成以 r ? q10 为公比的等比数列,于是

2

2

70 ? S30 ? b1 ? b2 ? b3 ? b1(1 ? r ? r 2 ) ? 10(1 ? r ? r 2 )
2 即 r ? r ? 6 ? 0 ,解得 r ? 2 或 r ? ?3 (舍去) ,故 S40 ? 10(1 ? r ? r 2 ? r 3 ) ? 150.

10、-4. 提示:设 2 x ?

1 2k ? 1 2k ? 3 ? k ? Z ,则 x ? , 3x ? 1 ? k ? 1 ? ,于是原方 2 4 4

程等价于 ?

2k ? 3 ? 2k ? 3 ? ? ?1 , ? ?1 ,即 ? 2 ? ? 4 ? 4 ?

11 7 ? k ? ? ,即 k ? ?5或 ? 4 . 2 2 9 7 相应的 x 为 ? ,? .于是所有实根之和为 ? 4 . 4 4
从而 ? 11 、

3 . 提 示 : 由 条 件 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 , 于 是

6

1 1 a n ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ], bn ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] ,故 2 2 3
an (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ? lim 3 ? n ? ?? b n ? ?? (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n n lim

1? 1? ( 1? ? lim 3 ? n ??? 1? 1? ( 1?
12、

3 3 3 3

)n ? 3. )n

3 . 提示:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射 3

S

影是△ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是 △ABC 的外心 H,即在等边△SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS. 显然, OH ?

A C

O H B

1 1 3 3 . SH ? ? 2 ? ? 3 3 2 3

13、令 t ? 100 ? mx ,则 x ?

100 ? t 2 ,所以 m

y?
∴当 t ?

100 ? t 2 1 m 100 m ? t ? ? (t ? ) 2 ? ? . m m 2 m 4

m 100 m 100 m ? ,即 g (m) ? ? .所以 时, y 有最大值 2 m 4 m 4

g (m) ?

100 m 100 m ? ?2 ? ? 10 , m 4 m 4

等号当且仅当 m ? 20 时成立,∴当 m ? 20 时, g ( m) 有最小值 10.

14、 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? 4 sin x cos x ? m(sin x ? cos x)
2 2 2 2 2

4

? 2 ? (2 sin x cos x) 2 ? m(sin x ? cos x) 4
令 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? [1, 2 ] ,则 2 sin x cos x ? t 2 ? 1 ,从而

f ( x) ? 2 ? (t 2 ? 1) 2 ? mt4 ? (m ? 1)t 4 ? 2t 2 ? 1

7

令 u ? t 2 ? [1, 2] ,由题意知 g (u) ? (m ? 1)u 2 ? 2u ? 1在 u ? [1, 2] 有最大值 5. 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 在 u ? 2 时有最大值 5,故 m ? 1 符合条件; 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) max ? g (2) ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,矛盾! 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 ? 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m ? 1 . 15、 (I)直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,与抛物线方程 y ? x2 联立 得 ?

? y ? x2 ? y ? 1 ? k ( x ? 1)

, 消 去 y 得 x2 ? k ( x ? 1) ? 1 , 即 x2 ? kx ? (k ? 1) ? 0 , 由

? ? (?k )2 ? 4(k ?1) ? 0 ,解得 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 .
(II) 设 Q 点坐标为 ( x, y ) ,P1 点坐标为 ( x1 , y1 ) ,P 则 x1 ? x2 ? k , 2 点坐标为 ( x2 , y2 ) ,

x1 ? x2 ? ?(k ? 1) .
又 P1 、 P , y1 ? 1 ? k ( x1 ? 1) , 2 、 Q 都 在 直 线 l 上 , 所 以 有 y ?1 ? k ( x ?1 )

y2 ? 1 ? k ( x2 ? 1) ,由

1 1 2 得 ? ? PP PP2 PQ 1
1 ? 1 ( x2 ? 1) ? ( y2 ? 1)
2 2

( x1 ? 1) ? ( y1 ? 1)
2

2

?

2 ( x ? 1) ? ( y ? 1)2
2



化简得

1 1 2 ? ? | x1 ? 1| | x2 ? 1| | x ? 1|
又因此

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? ?(k ?1) ? k ? 1 ? 2 ? 0 ,
点 Q 在线段 PP 1 2 上,所以 x1 ? 1, x2 ? 1, x ? 1 同号.则

1 1 2 ? ? . x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 1
因此

x?2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 2?k ?1 ? , x1 ? x2 ? 2 k ?2
8



y ? k ( x ? 1) ? 1 ? k ? (

2?k 3k ? 2 ? 1) ? 1 ? , k ?2 k ?2



2 ? 2x 3 ?2 2 ? 2x x ? 1 由① 得k ? 代入② 得y? ? 1 ? 2 x ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 2 ? 2x x ?1 ?2 x ?1 4 ?1 的 取 值 范 围 是 又因为 k? ? 2 ?2 2或 k ? ?2 ? 2 2 , 所 以 x ? k?2

? 2 ?1 ? x

且 x ? ?1 , 因 此 点 Q 的 轨 迹 方 程 是 2 x ? y ? 1 ? 0 ? 2 ? 1

( ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1 且 x ? ?1 ) . 16、当 n ? 1 时,由 a1 ? 当 n ? 1 时,

9 a1 ? 4 ? m 得 a1 ? 8(4 ? m) . 8 Sn ? S n ?1 9 4 an ? ? 3n ? m , 8 3 9 4 ? a n ?1 ? ? 3 n ?1 ? m , 8 3

所以

a n ?1 ?


9 9 8 a n ?1 ? a n ? ? 3 n , 8 8 3 64 n ?3 , 3

a n ?1 ? 9a n ?
所以

32 n ?1 32 ? 3 ? 9(a n ? ? 3 n ) , 9 9 32 32 a n ? ? 3 n ? (a1 ? ) ? 9 n ?1 , 9 3 8 32 (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3 n . 即 an ? 27 9 8 32 64 (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3 n ? 由条件知, 对任何正整数 n 恒成立,即 27 9 3 8 64 1 32 1 (16 ? 3m) ? ? ? ? n 27 3 9n 9 3 对任何正整数 n 恒成立, 64 1 32 1 64 1 32 1 96 ? n ? ? n 在 n ? 1 时取最大值 ? ? ? ? 由于 . 3 9 9 3 3 9 9 3 27 4 8 96 (16 ? 3m) ? 于是 ,解得 m ? . 3 27 27 4 由上式知道 m 的最大值为 . 3 a n ?1 ?

9

当m ?

4 时, 3

an ?
于是

32 ?2 ? 9 n ? ? 3n , 9 9

Sn ?

9 32 32 4 4 ( ? 9 n ? ? 3n ) ? ? 3n ? 8 9 9 3 3

4 ? [3 ? (3n ) 2 ? 4 ? 3n ? 1] 3 4 ? (3n ?1 ? 1)(3n ? 1) 3
所以

3k 3 n 3k ? ? ? 4 k ?1 (3k ?1 ? 1)(3k ? 1) k ?1 S k
n

3 n 1 1 ? ?( k ? k ?1 ) 8 k ?1 3 ? 1 3 ? 1
3 1 1 ? ( ? n ?1 ) 8 3 ?1 3 ?1 3 1 3 ? ? ? 8 2 16

10



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