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不等式中常考问题解析


不等式中常考问题解析
一、一元二次不等式部分
考向一 例1 解下列关于x的不等式.
2

一元二次不等式的解法及其应用

(1)-6x -5x+1<0;

x ?1 (2) x ≤3.

变式1

解下列关于x的不等式. (2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0).

(1)x-3 x >-2;

变式2

(a ? 1)x-3 x-1 <1. 已知关于x的不等式

(1)当a=1时,解该不等式; (2)当a为任意实数时,解该不等式.

变式 3 已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.

考向二 例2

三个“二次”的关系

已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<m

的解集为(n,n+10),求实数m的值.

变式训练 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

例3

(1)已知方程x2+ax+2=0的两根都小于-1,求实数a的取值范围; (2)若α,β是方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个根,且α<2<β,求实数m的取值范

围.

考向三 例4

不等式恒成立问题求参数问题 .

如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立,那么实数a的取值范围为

变式1 围.

已知当x∈(0,+∞)时,不等式9x-m· 3x+m+1>0恒成立,求实数m的取值范

变式2 .对于满足0≤a≤4的实数a,使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范围 是 变式 3 . 设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=________.

考向四

其他特殊不等式的解法

1. 不等式(|x|-1)(x-2)>0的解集是________.

? x2 ? x,x ? 0, ? 2 2.已知函数 f(x)= ?- x ? x,x ? 0, 那么不等式 f(x2-x+1)<12 的解集为

.

?b (a ? b) 1 4 3.定义运算 a ? b ? ? , 则关于正实数 x 的不等式 2 ? ( x ? ) ? (2 x) ? 的 x x ? a ( a ? b)
解集为 。

二、线性规划部分(高考要求 A 级)

?x+2y-3≤0, 1.已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0, ?y-1≤0, ?y≤x+1, 2.设 x, y 满足约束条件?y≥2x-1, ?x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅

在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围是________.

若目标函数 z=abx+y(a>0, b>0)的最

大值为 35,则 a+b 的最小值为________.

?7x-5y-23≤0, 3.已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0.
求: (1)

且 M(2,1),P(x,y),

y+7 的取值范围;(2)x2+y2 的最大值和最小值; x+4

→· → |cos∠MOP 的最小值. (3)OM O→ P 的最大值;(4)|OP

?2 x ? y ? 0 ? 4.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立,求实数 a 的最 ?y ? 4 ? 0 ?
小值

三、基本不等式部分
考向一 题型一: “1”的代换 【例1】 若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. 利用基本不等式求最值

变式 1

1 3 已知正数 x,y 满足 x+ =1,则 x+y 的最小值为________. y+2

变式 2.已知 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a ? b ? 1 ,则

1 ? 2 的最小值为 3a ? b b ? 3

.

变式 3.已知正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

y 1 ? 的最小值为 2x y

.

题型二 减元思想在基本不等式中的应用 【例 2】已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________.

变式 1 已知 x、y 为正实数,且 2x+y+6= xy ,求 x+y 的最小值.

变式 2 已知正数 a, b, c 满足 b ? c ? a ,则

b c ? 的最小值为 c a?b

_▲ _



考向二

利用基本不等式解决恒成立问题

【例 3】 (1)不等式 a2+8b2≥λb(a+b)对任意 a,b∈R 恒成立,则实数 λ 的取 值范围为________. (2)已知 x>y>0,且 xy=1,若 x2+y2≥a(x-y)恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________. 变式 1 若不等式 4x2+9y2≥2kxy 对一切正数 x,y 恒成立,则 k 的最大值为

________. 变式 2 若不等式 x 2 ? 2 xy ? m ? 2 x 2 ? y 2 ? 对于一切正数 x, y 恒成立,则实数 m 的最小 考向三 不等式在实际问题中的应用

值为_________. 【例 4】 两县城 A 和 B 相距 20 km, 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有 关,对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查 表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比 例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数 为 k,当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 AB 上是否存在一点,使建在此处的垃 圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离; 若不存在,说明理由.

【例 2】(2012· 南京三模)如图,DE 把边长为 2a 的等边△ABC 分成面积相等 的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥a),DE=y,试用 x 表示 y; (2)求 DE 的最小值.


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