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不等式中常考问题解析



不等式中常考问题解析
一、一元二次不等式部分
考向一 例1 解下列关于x的不等式.
2

一元二次不等式的解法及其应用

(1)-6x -5x+1<0;

x ?1 (2) x ≤3.

变式1

解下列关于x的不等式. (2)x2-(a2+a)x+a3<0(a>0).

(1)x-3 x >-2;

变式2

(a ? 1)x-3 x-1 <1. 已知关于x的不等式

(1)当a=1时,解该不等式; (2)当a为任意实数时,解该不等式.

变式 3 已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.

考向二 例2

三个“二次”的关系

已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<m

的解集为(n,n+10),求实数m的值.

变式训练 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

例3

(1)已知方程x2+ax+2=0的两根都小于-1,求实数a的取值范围; (2)若α,β是方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个根,且α<2<β,求实数m的取值范

围.

考向三 例4

不等式恒成立问题求参数问题 .

如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立,那么实数a的取值范围为

变式1 围.

已知当x∈(0,+∞)时,不等式9x-m· 3x+m+1>0恒成立,求实数m的取值范

变式2 .对于满足0≤a≤4的实数a,使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范围 是 变式 3 . 设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=________.

考向四

其他特殊不等式的解法

1. 不等式(|x|-1)(x-2)>0的解集是________.

? x2 ? x,x ? 0, ? 2 2.已知函数 f(x)= ?- x ? x,x ? 0, 那么不等式 f(x2-x+1)<12 的解集为

.

?b (a ? b) 1 4 3.定义运算 a ? b ? ? , 则关于正实数 x 的不等式 2 ? ( x ? ) ? (2 x) ? 的 x x ? a ( a ? b)
解集为 。

二、线性规划部分(高考要求 A 级)

?x+2y-3≤0, 1.已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0, ?y-1≤0, ?y≤x+1, 2.设 x, y 满足约束条件?y≥2x-1, ?x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅

在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围是________.

若目标函数 z=abx+y(a>0, b>0)的最

大值为 35,则 a+b 的最小值为________.

?7x-5y-23≤0, 3.已知 x,y 满