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数列考前复习要点讲解



数列考前复习要点讲解
考点 1 :由 an 与 Sn 的关系求通项 an 例 1:已知数列{an}的前 n 项和 Sn,Sn=3n+b.求{an}的通项公式。 [类题通法]:已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步:(1) 先利用 a1=S1 求出 a1; (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn

-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式; (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把 数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写. 训练 1:已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1,且 6Sn=(an+1)(an+2),n ∈N*,求{an}的通项公式. 考点 2:由递推关系式求数列的通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可以确定数列中的任意一项, 只是 由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有: ?1?形如 an+1=anf?n?,求 an;?2?形如 an+1=an+f?n?,求 an; ?3?形如 an+1=Aan+B?A≠0 且 A≠1?,求 an.? 角度一 形如 an+1=anf(n),求 an n+2 例 2:(2012· 全国卷 II)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a .(1)求 a2,a3;(2) 3 n 求{an}的通项公式. 角度二 形如 an+1=an+f(n),求 an 例 3:已知 a1=2,an+1=an+3n+2,求 an. 角度三 形如 an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1),求 an 例 4:已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,求 an. [类题通法]:由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为 an+1=an+f(n)或 an+1= f(n)· an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,另外,通过迭代法也可以求得上面两 类数列的通项公式,(如角度二),注意:有的问题也可利用构造法,即通过对递推式的等价 变形,(如角度三)转化为特殊数列求通项. 考点 3:等差数列的判断与证明 等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列.

(3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列. 1 例 5: 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1= , a =-2SnSn-1(n≥2 且 n∈N*). (1) 2 n
?1? 求证:数列?S ?是等差数列. (2)求 Sn 和 an. ? n?

Sn-1 变式:若将条件改为“a1=2,Sn= (n≥2)”,如何求解. 2Sn-1+1 [类题通法]:1.判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法,而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.? 2.用定义证明等差数列时,常采用两个式子 an+1-an=d 和 an-an-1=d,但它们的意 义不同,后者必须加上“n≥2”,否则 n=1 时,a0 无定义. 训练 2:在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*). an+3 (1)求 a2,a3 的值;(2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2 考点 4:等比数列的三种判定方法 an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. an (2)通项公式:an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列.


(3)等比中项法:a2 an+2(an· an+1· an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列. n+1=an· 2.等比数列的常见性质
2 (1)若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则 am· an=ap· aq=ak ;

?1? ?an? (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}、?a ?、{a2 bn}、?b ?(λ≠0) n}、{an· ? n? ? n?

仍然是等比数列; (3)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an
+3k

,?为等比数列,公比为 qk; (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数

列,其公比为 qn,当公比为-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不一定构成等比数列. 分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须分类求和,当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 1- q 例 6:设等比数列{an}的公比 q<1,前 n 项和为 Sn,已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项 公式.

3.等比数列的判定与证明 例 7:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式. 变式 2:在本例条件下,若数列{bn}满足 b1=a1,bn=an-an-1(n≥2), 证明{bn}是等比数 列. [类题通法]:证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、 填空题中的判定; 若证明某数列不是等比数列, 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. a2 n+1 训练 3: (2013· 辽宁省五校联考)已知数列{an}满足: a1=1, a2=a(a≠0), an+2=p· (其 an 中 p 为非零常数,n∈N*).
?an+1? ?是不是等比数列; (2)求 an. (1)判断数列? ? an ?

考点 5:数列求和 n?a1+an? n?n-1? 1.等差数列的前 n 项和公式:Sn= =na1+ d; 2 2 na ,q=1, ? ? 1 2.等比数列的前 n 项和公式:Sn=?a1-anq a1?1-qn? = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 3.一些常见数列的前 n 项和公式 n?n+1? (1)1+2+3+4+?+n= ;(2)1+3+5+7+?+2n-1=n2; 2 (3)2+4+6+8+?+2n=n2+n. 1.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切 不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点. 2.在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 数列求和的常用方法 (1)倒序相加法: 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等 于同一个常数, 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法, 如等差数列的前 n 项和即是 用此法推导的. (2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的, 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求, 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导 的. (3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,

从而求得其和. (4)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列 组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减. (5)并项求和法:一个数列的前 n 项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an =(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 分组转化法求和 例 8:已知数列{an}的首项 a1=3,通项 an=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数),且 a1,a4, a5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{an}前 n 项和 Sn 的公式. [类题通法]:分组转化法求和的常见类型 (1)若 an=bn± cn, 且{bn}, {cn}为等差或等比数列, 可采用分组求和法求{an}的前 n 项和;
? ?bn,n为奇数, (2)通项公式为 an=? 的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数 ?cn,n为偶数, ?

列,可采用分组求和法求和. 错位相减法求和 例 9: (2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2, a2n=2an+1. 求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2 [类题通法]:用错位相减法求和的注意事项 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn-qSn”的表达式. 训练 4:(2014· 武昌联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N*),b1=1.
?an? (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

(1)

裂项相消法求和 裂项相消法求和是历年高考的重点, 命题角度凸显灵活多变, 在解题中要善于利用裂项 相消的基本思想,变换数列 an 的通项公式,达到求解目的.归纳起来常见的命题角度有: n+1 1 1 (1)形如 an= 型;(2)形如 an= 型;(3)形如 an= 2 型. n?n+k? n ? n+2?2 n+k+ n

1 角度一 形如 an= 型 n?n+k? 例 10:在等比数列{an}中,a1>0,n∈N*,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16.(1) 求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 k,使得 + + +?+ S1 S2 S3 1 <k 对任意 n∈N*恒成立.若存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说明理由. Sn 角度二 形如 an= 1 型 n+k+ n

1 例 11:(2014· 浙江)已知函数 f(x)=xa 的图像过点(4,2),令 an= ,n∈N*.记数 f?n+1?+f?n? 列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 013=( A. 2 012-1 B. 2 013-1 n+1 角度三 形如 an= 2 型 n ?n+2?2
2 2 例 12:(2013· 江西高考)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=

) C. 2 014-1 D. 2 014+1

0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 * (2)令 bn= . 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< 64 ?n+2? an [类题通法]:利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项; (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项 相等.如: 1 1 1 1 1 1 1 1 若{an}是等差数列,则 = ?a -a ?, = ?a -a ?. anan+1 d? n n+1? anan+2 2d? n n+2? 考点 6: 数列的综合应用 等差数列与等比数列的综合问题 例 13:(2013· 全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等 比数列. (1)求{an}的通项公式;(2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2. [类题通法]:解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同 一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单 独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清 两个数列各自的特征,再进行求解.

训练 5:在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比 q>0, 设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6, b1b3b5 =0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an. 数列与其他知识的交汇 数列在高考中多与函数、 不等式、 解析几何、 向量交汇命题, 近年由于对数列要求降低, 但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有:?1?数列与不等 式的交汇; ?2?数列与函数的交汇;?3?数列与解析几何的交汇. 角度一 数列与不等式的交汇 1 例 14:(2014· 湖北七市模拟)数列{an}是公比为 的等比数列,且 1-a2 是 a1 与 1+a3 的 2 等比中项,前 n 项和为 Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前 n 项和 Tn 满足 Tn=nλ· bn+1(λ 为常数,且 λ≠1). (1)求数列{an}的通项公式及 λ 的值; 1 1 1 1 1 (2)比较 + + +?+ 与 Sn 的大小. T1 T2 T 3 Tn 2 [类题通法]:数列与不等式相结合问题的处理方法 解决数列与不等式的综合问题时, 如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法, 如比较 法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法,如列 表法、因式分解法、穿根法等.总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合 处理就行了. 角度二 数列与函数的交汇(借助导函数、略) 角度三 数列与解析几何的交汇 例 15:在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2-x2=1 上,数列{bn} 1 中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. 2 (1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等比数列;



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