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2005全国高中数学联赛四川赛区初赛



2005 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
9 月 17 日上午 8:30-10:30 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且只有一个是正确。请将正 确答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 5 分; 不选、 错选或选出的代表字母超过一个 (不 论是否写在括号

内) ,一律得 0 分。 1 .已知正项非常值数列 {an } , {bn } 满足: an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列。令

cn ? bn ,则下列关于数列 {cn } 的说法正确的是
(A) {cn } 为等差数列 (C) {cn } 的每一项为奇数 (B) {cn } 为等比数列 (D) {cn } 的每一项为偶数

2 解:由题可知, 2bn ? an?1 ? an , an ?1 ? bn bn ?1 ,∴ an ?1 ? bn bn ?1

∴ 2bn ?

bn?1bn ? bn bn?1 ,即 2 bn ? bn?1 ? bn?1 ,∴ {cn } 为等差数列,故选 A
2 ? 0 ,则 cos B ? sin B

2.在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ?

a?b 的值是 c
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

解:由 cos A ? sin A ?

2 ? ? 0 得, 2 sin( A ? ) ? cos B ? sin B 4

2 2 sin(B ? ) 4

?

?0

即 sin( A ?

?
4

) sin( B ?

?
4

) ? 1 ,由正弦函数的有界性及 A, B 为三角形的内角可知,

4 4 a?b ? sin A ? sin B ? 2 ∴ c

sin( A ?

?

) ? 1 且 sin( B ?

?

) ? 1 ,从而 A ? B ?

?
4

,∴ C ?

?
2

3.函数 f ( x) ? 9 x ? 9 ? x ? 2(3 x ? 3? x ) 的最小值是 (A)1
x

(B)2
?x

(C) ? 3

(D) ? 2

解: f ( x) ? 9 ? 9 令t ? 3 ? 3
x ?x

? 2(3x ? 3? x ) ? (3x ? 3? x ) 2 ? 2(3x ? 3? x ) ? 2

? 2 ,则 y ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ? 1) 2 ? 3 ,最小值为 ? 2 ,故选 D

4.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1 , A2 , P 是该双曲线右支上任意一点,则分别以线 a2 b2

段 PF 1, A 1 A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)相离

C 为 PF O 为 F1 F2 解: 设双曲线的另一个焦点为 F2 , 线段 PF 在△ F1 F2 P 中, 1 的中点为 C , 1 的中点,
的中点,从而 OC ?

1 1 | PF2 |? (| PF1 | ? | A1 A2 |) ,从而以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定内切。 2 2
2

5.设 A ? {1,2,?,10} ,若“方程 x ? bx ? c ? 0 满足 b, c ? A ,且方程至少有一根 a ? A ” ,就称该 方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为 (A)8 (B)10 (C)12 (D)14 解: ,由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为 ? 1 时,有 9 个满足题意的“漂亮 方程” ,当一根为 ? 2 时,有 3 个满足题意的“漂亮方程” 。共有 12 个,故选 C。 6.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,3,4 的任一排列, f 是 {1,2,3,4} 到 {1,2,3,4} 的映射,且满足 f (i) ? i ,记数 表?

a2 ?a1 ? f (a1 ) f(a2 )

a3

? 。若数表 M , N 的对应位置上至少有一个不同,就说 M , N 是两张 f ( a3 ) f ( a 4 ) ? ? a4
(D)576

不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为 (A)144 (B)192 (C)216

4 解:对于 a1 , a2 , a3 , a4 的一个排列,可以 9 个映射满足 f (i) ? i ,而 a1 , a2 , a3 , a4 共有 A4 ? 24 个排

列,所以满足条件的数表共有 24 ? 9 ? 216 张,故选 C。 二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.函数 f ( x) ? sin 2 x ? e 解: f ( x) ? sin 2 x ? e 当x ? ?
|sin x ?cos x|

的最大值与最小值之差等于 1 ? e
2 |sin( x ? )| 4

2

。 时取最大值 1 ? e
2

|sin x ?cos x|

?

? sin 2 x ? e

,从而当 x ?
2

?
4

?
4

时取最小值 0,从而最大值与最小值之差等于 1 ? e

8.设 0 ? x ? 2? ,则满足不等式 sin( x ? 解:由 sin( x ?

?
6

) ? cos x 的 x 的取值范围是

?
3

?x?

4? 。 3

?
6

) ? cos x ,可得 sin( x ?

?
3

) ? 0 ,解得

?
3

?x?

4? 3

9.如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的立体图 形。那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有 120 条。 解 : 据 题 意 新 的 立 体 图 形 中 共 有 24 个 顶 点 , 每 两 点 连 一 条 线 , 共
2 C24 ? 12? 23 ? 276,其中所有的棱都在原立方体的表面,有 36 条

原立方体的每个面上有 8 个点,除去棱以外,还可以连

5?8 ? 20 条,6 个面 2

共 120 条都在原立方体的表面,除此之外的直线都在原立方体的内部。

10.设 S ? x 2 ? y 2 ? 2( x ? y) ,其中 x, y 满足 log2 x ? log2 y ? 1 ,则 S 的最小值为 4 ? 4 2 。 解:由 log2 x ? log2 y ? 1 ,得 xy ? 2 又 S ? x 2 ? y 2 ? 2( x ? y) ? ( x ? y) 2 ? 2( x ? y) ? 2xy ? ( x ? y) 2 ? 2( x ? y) ? 4

? [(x ? y) ? 1]2 ? 5 ? [2 xy ? 1]2 ? 5 ? (2 2 ? 1) 2 ? 5 ? 4 ? 4 2
11.设△ ABC 内接于半径为 R 的⊙ O ,且 AB ? AC , AD 为底边 BC 上的高,则 AD ? BC 的最大值为 R ? 5R 。 解:如图,设 ?OBD ? ? ,则 AD ? R ? R sin ?

A

1 BC ? BD ? R cos ? , BD ? 2 R cos ? 2
AD ? BC = R ? R sin ? ? 2R cos? ? R ? 5R sin(? ? ? )
其中 tan? ? 2 所以 AD ? BC 的最大值为 R ? 5R
B

O

j D

C

12 .设 r , s , t 为 整 数, 集合 {a | a ? 2 r ? 2 s ? 2t ,0 ? t ? s ? r} 中 的 数由 小到 大组 成数 列 {an } :

7,11,13,14,? ,则 a36 ?

131



2 解:∵ r , s , t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C2 ?1

2 r ? 3 , s , t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C3 ?3
2 同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C 4 ?6

2 r ? 5 时,符合条件有的数有 C5 ? 10 2 r ? 6 时,符合条件有的数有 C6 ? 15 2 r ? 7 时,符合条件有的数有 C7 ? 21

因此, a36 是 r ? 7 中的最小值,即 a36 ? 20 ? 21 ? 27 ? 131

三、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 13.如图, BD, CE 是△ ABC 的两条高, F 和 G 分 别是 DE 和 BC 的中点, O 是△ ABC 的外心。求证: AO ∥ FG 。 证明:如图,连结 GD 和 GE ∵ ?BDC ? ?BEC ? 90? , BG ? BC

D F H A B G C E

1 BC ? EG , 2 又∵ DF ? EF ∴ DF ? DE 延长 OA 交 DE 于 H ,连结 OB ∵ ?BDC ? ?BEC ? 90?
∴ DG ? ∴ B, C , E , D 四点共圆。

O

?DEB ? ?DCB ?
又∵ OA ? OB

1 1 ?AOB ,即 ?AEH ? ?AOB 2 2 1 ?AOB 2

∴ ?EAH ? ?BAO ? 90? ?

?EAH ? ?AEH ? 90? 于是, AD ? DE ,即 OA ? DE ∴ AO ∥ FG 。
14.正方形 ABCD 的两顶点 A, B 在抛物线 y ? x 2 上, C , D 两点在直线 y ? x ? 4 上,求正方形的边 长d 。
2 解:设 A, B 两点坐标分别为 A(t1 , t12 ) 、 B(t 2 , t 2 ) ,显然 t1 ? t 2

∵ AB ∥ DC ,∴ 1 ?

2 t2 ? t12 ,即 t1 ? t 2 ? 1 t 2 ? t1

2 2 2 一方面, d 2 ?| AB | 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? (t1 ? t2 ) ? (t1 ? t 2 ) 2 [1 ? (t1 ? t 2 ) 2 ]

? 2[(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ]
∴ t1 t 2 ?

1 (2 ? d 2 ) 8



另一方面, d ?| AD |?
4

| t1 ? t12 ? 4 | 2
2

?

| t1t 2 ? 4 | 2

,∴ 2d ? (t1t 2 ? 4)
2

2



2 2 将①代入②,得 d ? 68d ? 900 ? 0 ,即 (d ? 18)(d ? 50) ? 0

故d ? 3 2或d ? 5 2

15.设实数 a , b 满足条件 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 x3 , ab ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ,其中 x1 , x2 , x3 ? 0 , 求P ?

a 2 ? 6b ? 1 的是最大值。 a2 ? a

解: a ? x1 x2 x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? 33 x1 x2 x3 ? 33 a ,∴ a ? 3 3
2 2 a 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? 2( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) ? 3( x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) ? 3ab

从而, a ? 3b

P?

a 2 ? 6b ? 1 a 2 ? 2a ? 1 a ? 1 1 1 3 ? ? ? 1? ? 1? ? 1? 2 2 a a 9 a ?a a ?a 3 3

当且仅当 x1 ? x2 ? x3 , a ? 3 3 , a ? 3b 时等号成立。 即 x1 ? x2 ? x3 ? 3 , a ? 3 3 , b ?

3 时, P ?

a 2 ? 6b ? 1 3 有最大值 1 ? 2 9 a ?a

16.某班有 20 人,参加语文、数学考试各一次,考试结果是:①没有 0 分;②没有两个同学的语文、 数学成绩相同。 我们说“同学 A 比 B 的成绩好” ,是指“同学 A 的语文、数学成绩都不低于 B” 。 证明:存在三个同学 A、B、C,使得同学 A 比同学 B 的成绩好,同学 B 比 C 的成绩好。 证明: 若同学 A 比 B 的成绩好, 记为 A ? B 。 原问题等价于证明: 存在三个同学 A、 B、 C 满足 A ? B ? C 用 (ai , bi ) 表示第 i 个同学的语文、数学成绩( i ? 1,2,?,20) 。 于是 (ai , bi ) ? (a j , b j ) ? ai ? a j , bi ? b j 且等号不能同时成绩。 因为语文成绩 a i ( i ? 1,2,?,20)在 1 到 10 的整数值中取值,对这 20 个同学的语文成绩,由抽屉原 理知,下列情形之一必然出现: 情形 1:某个分数值,至少有 3 人取得。即存在某个 m ? {1,2,?,10} ,使得 ai ? a j ? ak ? m (其中

i, j , k 两两不等) 。
情形 2 :每个分数值,恰好均有 2 人取得,即对任意的 f ? {1,2,?,10} ,存在不同的 i , j ,使得

ai ? a j ? f 。
同理,对于数学成绩 bi 同样有两种情形: 情况 1? :存在某个 n ? {1,2,?,10} ,使得 bi? ? b j? ? bk ? ? n (其中 i ?, j ?, k ? 两两不等) 。 情形 2? :对任意的 g ? {1,2,?,10} ,存在不同的 i ?, j ? ,使得 bi? ? b j? ? g 。 下面进行讨论:

对情况形 1: 若 ai ? a j ? ak ? m , 则由条件知 bi , b j , bk 两两不等。 不失一般性, 不妨设 bi ? b j ? bk , 则 (ai , bi ) ? (a j , b j ) ? (ak , bk ) ,即存在三个同学存在三个同学 A、B、C 满足 A ? B ? C 对情况 1? :同理可证。 对情形 2:有两个 ai ? 1 ,不失一般性设 ai ? a j ? 1,于是得 (1, bi ), (1, b j ) ,且 bi ? b j ,不失一般性, 设 bi ? b j ,则 (1, bi ) ? (1, b j ) 这时,对于 bi ,若出现情形 1? ,则结论成立;若出现情形 2? ,则必有 2 人得 10 分,不妨设为 a k , al , 易知 a k , al 中至少有一个不取 1(否则与条件②矛盾) ,设为 ak ,则 1 ? ak 。 所以,故结论成立。 对于情形 2? ,同理可证。 综上所述,结论成立。



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