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广东省2012届高三全真模拟卷数学理9.



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 9
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A = x x ? 2 x ≤ 0} , B = x ?1 < x < 1} , 则 A I B =
2

{

{

A. x 0 ≤ x < 1} C. x ?1 < x < 1}

{

B. x ?1 < x ≤ 0} D. x ?1 < x ≤ 2}

{

{

{

2. 若复数 (1 ? i )(a + i 是实数 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 A. ?2 B. ?1 C. D. 2

3. 已知向量 p = ( 2, ?3) , q = ( x, 6 ) ,且 p // q ,则 p + q 的值为 A. 5 4. 函数 y = B. 13 C. 5 D. 13

x 在区间 (1, +∞ ) 上 ln x
B.是增函数 D.有极大值

A.是减函数 C.有极小值

5. 阅读图 1 的程序框图. 若输入 n = 5 , 则输出 k 的值为. A. 2 C. 4
2

B. 3 D. 5

? a+b? 6. “ a > b ” 是“ ? ? > ab ”成立的 ? 2 ?
A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校, 要求每 校

第1页

至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A.96 C.128 B.114 D.136 图 1 8. 如图 2 所示,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2, 长 为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上运动, 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的中点的轨迹的面积为 A. 4π C. π B. 2π

D1 A1 M B1

C1

π
D.

2

D N
图2

C

A
小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 频频 (一)必做题(9~13 题) 必做题( 9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图 3 所示, 若月均用电量在 区间 [110,120 ) 上共有 150 户, 则月均用电 量在区间 [120,150 ) 上的居民共有 户.
组组 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

B

0

100

110

120

130

140

150

月月月月月(度)

图3

10. 以抛物线 C : y 2 = 8 x 上的一点 A 为圆心作圆,若该圆经过抛物线 C 的顶点和焦点, 那么该圆的方程为 .

11. 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , 若 a4 + 2a6 + a8 = 12 , 则 该 数 列 前 11 项 的 和 为 .

12. △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 c = 3, C =

π , 3

第2页

a = 2b ,
则 b 的值为 .

?2 x ? y ≥ 5, ? 13. 某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ≤ 2, ? x < 6. ?
则该校招聘的教师最多是 名.

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14~ 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 几何证明选讲选做题)

C B

D

点 A 、 B 在圆 O 上, BC = 1, ∠BCD = 30 ,则圆 O 的面积为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,若过点 (1, 0 ) 且与 坐标系与参数方程选讲选做题) 极轴垂直的直线交曲线 ρ = 4 cos θ 于 A 、 B 两点,则 AB = .

°

.

O

A

图4 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题 80 出文字说明 16.(本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2sin x cos x + cos 2 x ( x ∈ R). (1) 当 x 取什么值时,函数 f ( x ) 取得最大值,并求其最大值; (2) 若 θ 为锐角,且 f ? θ +

? ?

π?

2 ,求 tan θ 的值. ?= 8? 3

17.(本小题满分 12 分) ( 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润

第3页

(单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2. 若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元.

等级 利润

一等品

二等品

三等品

次品

等级

一等品

二等品

三等品

次品

6

5

4

?1

P

0.6

a

0.1

b

表1 (1) 求 a , b 的值;

表2

(2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率.

18.(本小题满分 14 分) ( 如图 5, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC , AB ⊥ BC , D 为 AC 的中点,

A1 A = AB = 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 , 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
A1 A

D B1

B

C1

C

第4页

图5

19.(本小题满分 14 分) ( 已知直线 y = ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足

OP ⊥ OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .
(1) 求曲线 C 的方程; (2) 若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方程.

20.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) 满足 f ( 0 ) = 0 ,对于任意 x ∈ R 都有 f ( x ) ≥ x ,且
2

? 1 ? ? 1 ? f ? ? + x ? = f ? ? ? x ? ,令 g ( x ) = f ( x ) ? λ x ? 1 ( λ > 0 ) . ? 2 ? ? 2 ?
(1) 求函数 f ( x ) 的表达式; (2) 求函数 g ( x ) 的单调区间; (3) 研究函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上的零点个数.

21.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 y = f ( x ) 的定义域为 R, 且对于任意 x1 , x2 ∈ R,存在正实数 L ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 都成立.
(1) 若 f ( x ) = 1 + x ,求 L 的取值范围;
2

(2) 当 0 < L < 1 时,数列 {an } 满足 an +1 = f ( an ) , n = 1, 2,L .

第5页

① 证明:

∑a
k =1

n

k

? ak +1 ≤

1 a1 ? a2 ; 1? L

② 令 Ak =

n a1 + a2 + L ak 1 k = 1, 2,3,L) ,证明: ∑ Ak ? Ak +1 ≤ a1 ? a2 . ( k 1? L k =1

参考答案 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.

题号 答案

1 A

2 C

3 B

4 C

5 B

6 A

7 B

8 D

第6页

小题, 小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 每小题 14~ 题是选做题,考生只能选做一题. 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 说明: 说明:第 10 小题写对一个答案给 3 分. 9. 325 10 14. 10.

( x ? 1)

2

+ y±2 2

(

)

2

=9

11. 33

12.

3

13.

π

15. 2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 80 16. 本小题满分 12 分) ( (1) 解: f ( x ) = 2sin x cos x + cos 2 x

= sin 2 x + cos 2 x


…… 1

? 2 ? 2 = 2? sin 2 x + cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?


…… 2

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? . 4? ?
分 ∴当 2 x +

…… 3

π
4

= 2 kπ +

π
2

,即 x = kπ +

π
8

( k ∈ Z 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为

2.
…… 5 分 (2)解法 1: f ? θ + 解法 1:∵

? ?

π?

2 π? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2θ + ? = . ?= 8? 3 2? 3 ?

…… 6

分 ∴ cos 2θ = 7分

1 . 3

……

第7页

∵ θ 为锐角,即 0 < θ <

π
,

2

∴ 0 < 2θ < π .

∴ sin 2θ = 1 ? cos 2 2θ =

2 2 . 3

……

8分 ∴ tan 2θ = 9分 ∴ 10 分 ∴ 2 tan ∴
2

sin 2θ =2 2. cos 2θ

……

2 tan θ =2 2. 1 ? tan 2 θ

……

θ + tan θ ? 2 = 0 .

(

2 tan θ ? 1 tan θ + 2 = 0 . 2 或 tan θ = ? 2 (不合题意,舍去) 2

)(

)

∴ tan θ =

……

11 分 ∴ tan θ =

2 . 2

……

12 分 解法 2: ∵ f ? θ +

? ?

π?

2 π? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2θ + ? = . ?= 8? 3 2? 3 ? 1 . 3 1 . 3
…… 7

∴ cos 2θ = 分

∴ 2 cos 2 θ ? 1 = 分

…… 8

∵ θ 为锐角,即 0 < θ < ∴ cos θ =

π , 2
…… 9

6 . 3

第8页

分 ∴ sin θ = 1 ? cos θ =
2

3 . 3

…… 10

分 ∴ tan θ =

sin θ 2 . = cos θ 2

…… 12

分 3:∵ 解法 3: f ? θ +

? ?

π?

2 π? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2θ + ? = . ?= 8? 3 2? 3 ?
1 . 3
…… 7

∴ cos 2θ = 分

∵ θ 为锐角,即 0 < θ <

π
,

2

∴ 0 < 2θ < π .

∴ sin 2θ = 1 ? cos 2 2θ =

2 2 . 3

…… 8

分 ∴ tan θ = 分

sin θ cos θ 2 sin θ cos θ 2 cos 2 θ sin 2θ 1 + cos 2θ 2 . 2

…… 9

=


…… 10

= =


…… 12

17.(本小题满分 12 分) ( (1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ξ ,依题意得 ξ 的分布列为: 解

第9页

ξ
P

6 0.6

5

4

?1

a

0.1

b

…… 2 分 ∴ Eξ = 6 × 0.6 + 5a + 4 × 0.1 ? b = 4.9 ,即 5a ? b = 0.9 . 分 ∵ 0.6 + a + 0.2 + 0.1 + b = 1 , 即 a + b = 0.3 , 分 解得 a = 0.2, b = 0.1 . ∴ a = 0.2, b = 0.1 . 分 (2)解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元,则这 3 件产品可以有两种取法:3 解 件都 是一等品或 2 件一等品, 件二等品. 1 分
2 故所求的概率 P = 0.63 + C 3 ×0.6 2 × 0.2 = 0.432 .

…… 3

…… 4

…… 6

…… 8

……

12 分 18. (本小题满分 14 分) (1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , 证明: 证明 ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线,
D A1 A

E

B1

B

G
O C1 第 10 页 C

F

∴ OD // AB1 .

…… 2 分

∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 // 平面 BC1 D . (2)解: 依题意知, AB = BB1 = 2 , 解 ∵ AA1 ⊥ 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C , ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 AA1C1C ,且平面 ABC I 平面 AA1C1C = AC . 作 BE ⊥ AC ,垂足为 E ,则 BE ⊥ 平面 AA1C1C , 设 BC = a , 在 Rt△ ABC 中, AC = ……6 分 …… 4 分

AB 2 + BC 2 = 4 + a 2 , BE =

AB ?BC 2a , = AC 4 + a2

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积 V =

1 1 × ( A1C1 + AD )?AA1 ?BE 3 2
…… 8 分

1 3 2a = a. = × 4 + a2 × 2 × 6 2 4 + a2
依题意得, a = 3 ,即 BC = 3 . 的正切值提供两种解法) (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法) 以下求二面角

…… 9 分

解法 1: ∵ AB ⊥ BC , AB ⊥ BB1 , BC I BB1 = B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面

BB1C1C ,
∴ AB ⊥ 平面 BB1C1C . 取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF = ∴ DF ⊥ 平面 BB1C1C . 作 FG ⊥ BC1 ,垂足为 G ,连接 DG , 由于 DF ⊥ BC1 ,且 DF I FG = F ,

1 AB = 1 . 2

第 11 页

∴ BC1 ⊥ 平面 DFG . ∵ DG ? 平面 DFG , ∴ BC1 ⊥ DG . ∴ ∠DGF 为二面角 C ? BC1 ? D 的平面角. 由 Rt△ BGF ~Rt△ BCC1 ,得 …… 12 分

GF BF , = CC1 BC1

3 ×2 BF ? 1 2 CC 3 13 得 GF = = = , BC1 13 13
在 Rt△ DFG 中, tan ∠DGF =

DF 13 . = GF 3

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

13 . 3

…… 14 分

解 法 2: ∵ AB ⊥ BC , AB ⊥ BB1 , BC I BB1 = B , BC ? 平 面 BB1C1C , BB1 ? 平 面

BB1C1C ,
∴ AB ⊥ 平面 BB1C1C . 以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C1 , B1 B , B1 A1 所在直线为 x 轴,
A1 z A

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .
则 B ( 0, 2, 0 ) , C1 ( 3,0,0 ) , A ( 0, 2, 2 ) , D ? ∴ BC1 = ( 3, ?2, 0 ) , BD = ?

?3 ? , 2,1? . ?2 ?
B1

D

uuuu r

uuu r

?3 ? , 0,1? ?2 ?

B

y

设平面 BC1 D 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,
C1 x

O C

第 12 页

?3x ? 2 y = 0, uuuu r uuu r ? 由 n BC1 = 0 及 n BD = 0 ,得 ? 3 ? 2 x + z = 0. ?
令 x = 2 ,得 y = 3, z = ?3 . 故平面 BC1 D 的一个法向量为 n = ( 2,3, ?3) , 又平面 BC1C 的一个法向量为 AB = ( 0, 0, ?2 ) , …… 11 分

uuu r

uuur uuu r n ? AB 2 × 0 + 0 × 3 + ( ?2 ) × ( ?3) 3 ∴ cos ?n , AB? = = . uuur = 2 × 22 22 n AB
2 uuu r ? 3 ? 13 ∴ sin ? n , AB? = 1 ? ? . ? = 22 ? 22 ?

…… 12 分

…… 13 分

∴ tan ? n , AB? =

uuu r

13 . 3 13 . 3

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

…… 14 分

19.(本小题满分 14 分) ( (1) 解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则点 Q 的坐标为 ( x, ?2 ) . ∵ OP ⊥ OQ , ∴ kOP ?kOQ = ?1 . 当 x ≠ 0 时,得 ?

y ?2 = ?1 ,化简得 x 2 = 2 y . x x

…… 2 分

当 x = 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ≠ 0 . ∴曲线 C 的方程为 x 2 = 2 y ( x ≠ 0 ) . (2) 解法 1: 1:∵ 直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y = kx + b , …… 5 分 …… 4 分

第 13 页

由?

? y = kx + b, 得 x 2 ? 2 kx ? 2b = 0 . 2 ? x = 2 y,

∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, ∴ ? = 4 k + 8b = 0 ,即 b = ?
2

k2 . 2

…… 6 分

点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离 d =

?2 + b

1 k2 + 4 = ? k2 +1 2 k2 +1

…… 7 分

= ≥

1? 2 3 ? ? k +1 + ? ? 2? k2 +1 ? ? 1 ×2 2 k 2 + 1? 3 k +1
2

…… 8 分

…… 9 分

= 3.
当且仅当 k + 1 =
2

…… 10 分

3 k2 +1

,即 k = ± 2 时,等号成立.此时 b = ?1 .

……12 分

∴直线 l2 的方程为 2 x ? y ? 1 = 0 或 2 x + y + 1 = 0 . 解法 2:由 x 2 = 2 y ,得 y ' = x , ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,其中 y1 = 则直线 l2 的方程为: y ? y1 = x1 ( x ? x1 ) ,化简得 x1 x ? y ?

…… 14 分

…… 5 分

1 2 x1 , 2
…… 6 分

1 2 x1 = 0 . 2

点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离 d =

?2 ?

1 x2 + 4 = ? 1 2 x12 + 1 x12 + 1

1 2 x1 2

…… 7 分

= ≥

1? 2 ? x1 + 1 + 2? ? 1 ×2 2

? ? ? x12 + 1 ?
3 3 x12 + 1

…… 8 分

x12 + 1?

…… 9 分

第 14 页

= 3.
当且仅当 x1 + 1 =
2

…… 10 分

3 x +1
2 1

,即 x1 = ± 2 时,等号成立.

……12 分

∴直线 l2 的方程为 2 x ? y ? 1 = 0 或 2 x + y + 1 = 0 . 解法 3:由 x = 2 y ,得 y = x ,
2 '

…… 14 分

…… 5 分

∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,其中 y1 =

1 2 x1 > 0 , 2
…… 6 分

则直线 l2 的方程为: y ? y1 = x1 ( x ? x1 ) ,化简得 x1 x ? y ? y1 = 0 . 点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离 d =

?2 ? y1 x12 + 1

=

y1 + 2 2 y1 + 1
…… 7 分

= ≥

? 1? 3 ? 2 y1 + 1 + ? ? 2? 2 y1 + 1 ? ? 1 ×2 2 2 y1 + 1? 3 2 y1 + 1

…… 8 分

…… 9 分

= 3.
分 当且仅当 2 y1 + 1 =

…… 10

3 2 y1 + 1

,即 y1 = 1 时,等号成立,此时 x1 = ± 2 .

……12 分

∴直线 l2 的方程为 2 x ? y ? 1 = 0 或 2 x + y + 1 = 0 . 分 20.(本小题满分 14 分) ( (1) 解:∵ f ( 0 ) = 0 ,∴ c = 0 . 分 ∵对于任意 x ∈ R 都有 f ? ?

…… 14

…… 1

? 1 ? ? 1 ? + x? = f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?

第 15 页

∴函数 f ( x ) 的对称轴为 x = ?
2

1 b 1 ,即 ? = ? ,得 a = b . 2 2a 2

…… 2 分

又 f ( x ) ≥ x ,即 ax + ( b ? 1) x ≥ 0 对于任意 x ∈ R 都成立, ∴ a > 0 ,且 ? = ( b ? 1) ≤ 0 .
2

∵ ( b ? 1) ≥ 0 ,
2

∴ b = 1, a = 1 . …… 4 分

∴ f ( x) = x + x .
2

1 ? 2 ? x + (1 ? λ ) x + 1, x ≥ λ , ? (2) 解: g ( x ) = f ( x ) ? λ x ? 1 = ? ? x 2 + (1 + λ ) x ? 1, x < 1 . ? λ ?
① 当x≥

…… 5 分

1 λ ?1 2 时,函数 g ( x ) = x + (1 ? λ ) x + 1 的对称轴为 x = , λ 2
…… 6 分



λ ?1 1 ?1 ? ≤ ,即 0 < λ ≤ 2 ,函数 g ( x ) 在 ? , +∞ ? 上单调递增; 2 λ ?λ ?

λ ?1


2
调递减.

>

1

λ

,即 λ > 2 ,函数 g ( x ) 在 ?

? λ ?1 ? ? 1 λ ?1 ? , +∞ ? 上单调递增,在 ? , ? 上单 ? 2 ? ?λ 2 ?

…… 7 分 ② 当x <

1

λ

时,函数 g ( x ) = x + (1 + λ ) x ? 1 的对称轴为 x = ?
2

1+ λ 1 < , 2 λ
…… 8

则函数 g ( x ) 在 ? ?

1+ λ ? ? 1+ λ 1 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ?∞, ? ? 上单调递减. 2 λ? 2 ? ? ?

分 综上所述,当 0 < λ ≤ 2 时,函数 g ( x ) 单调递增区间为 ? ?

? 1+ λ ? , +∞ ? ,单调递减区间 2 ? ?



1+ λ ? ? ? ?∞, ? ?; 2 ? ?

…… 9

第 16 页

分 当 λ > 2 时,函数 g ( x ) 单调递增区间为 ? ?

? 1+ λ 1 ? ? λ ?1 ? , ?和? , +∞ ? ,单调递减区间 2 λ? ? 2 ? ?



1+ λ ? ? 1 λ ?1 ? ? ? ?∞, ? ? 和? , ?. 2 ? ?λ 2 ? ?
分 (3)解:① 当 0 < λ ≤ 2 时,由(2)知函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上单调递增, 解 又 g ( 0 ) = ?1 < 0, g (1) = 2 ?

…… 10

λ ?1 > 0 ,
…… 11

故函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上只有一个零点. 分 ② 当 λ > 2 时,则

1

λ

<

1 ?1? 1 1 < 1 ,而 g ( 0 ) = ?1 < 0, g ? ? = 2 + > 0 , 2 λ ?λ? λ

g (1) = 2 ? λ ? 1 ,
(ⅰ)若 2 < λ ≤ 3 ,由于
2

1

λ

<

λ ?1
2

≤1,
2

( λ ? 1) λ ?1 ? λ ?1? ? λ ?1? 且g? +1 ≥ 0 , +1 = ? ?=? ? + (1 ? λ )? 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时,函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上只有一个零点; 分 (ⅱ)若 λ > 3 ,由于 …… 12

λ ?1 > 1 且 g (1) = 2 ? λ ? 1 < 0 ,此时,函数 g ( x ) 在区间 2

( 0,1)
上有两个不同的零点. 分 综上所述,当 0 < λ ≤ 3 时,函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上只有一个零点; …… 13

第 17 页

当 λ > 3 时, 函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上有两个不同的零点. 分 21.(本小题满分 14 分) ( (1) 证明:对任意 x1 , x2 ∈ R,有 证明:

…… 14

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

2 1 + x12 ? 1 + x2

=

2 x12 ? x2 2 1 + x12 + 1 + x2

=

x1 ? x2 ? x1 + x2
2 1 + x12 + 1 + x2

.

……

2分 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 ,即

x1 ? x2 ? x1 + x2
2 1 + x12 + 1 + x2

≤ L x1 ? x2 .

当 x1 ≠ x2 时,得 L ≥

x1 + x2
2 1 + x12 + 1 + x2

.

2 Q 1 + x12 > x1 , 1 + x2 > x2 , 且 x1 + x2 ≥ x1 + x2 ,

x1 + x2

2 1 + x12 + 1 + x2

<

x1 + x2 x1 + x2

≤ 1.

……

4分 ∴要使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 对任意 x1 , x2 ∈ R 都成立,只要 L ≥ 1 . 当 x1 = x2 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 恒成立.
……

∴ L 的取值范围是 [1, +∞ ) . 5分 (2) 证明:①∵ an +1 = f ( an ) , n = 1, 2,L , 证明: 故当 n ≥ 2 时, an ? an +1 = f ( an ?1 ) ? f ( an ) ≤ L an ?1 ? an

第 18 页

= L f ( an ? 2 ) ? f ( an ?1 ) ≤ L2 an ? 2 ? an ?1 ≤ L ≤ Ln ?1 a1 ? a2 .
6分

……



∑a
k =1

n

k

? ak +1 = a1 ? a2 + a2 ? a3 + a3 ? a4 + L + an ? an +1
≤ (1 + L + L2 + L + Ln ?1 ) a1 ? a2

……

7分

=
8分 ∵ 0 < L < 1,

1 ? Ln a1 ? a2 . 1? L

……



∑a
k =1

n

k

? ak +1 ≤

1 a1 ? a2 当 n = 1 时,不等式也成立. 1? L

…… 9 分

②∵ Ak =

a1 + a2 + L ak , k a1 + a2 + L + ak a1 + a2 + L + ak +1 ? k k +1

∴ Ak ? Ak +1 =

=

1 ( a1 + a2 + L + ak ? kak +1 ) k ( k + 1)

=

1 ( a1 ? a2 ) + 2 ( a2 ? a3 ) + 3 ( a3 ? a4 ) + L + k ( ak ? ak +1 ) k ( k + 1) 1 ( a1 ? a2 + 2 a2 ? a3 + 3 a3 ? a4 + L + k ak ? ak +1 ) . k ( k + 1)
… …



11 分



∑A
k =1

n

k

? Ak +1 = A1 ? A2 + A2 ? A3 + L + An ? An +1

第 19 页

? 1 ? 1 1 ≤ a1 ? a2 ? + +L+ ? + 2 a2 ? a3 ? 1× 2 2 × 3 ? n ( n + 1) ? ?

? 1 ? 1 1 + +L + ? ? ? ? n ( n + 1) ? ? 2 × 3 3× 4

? 1 ? 1 1 1 +3 a3 ? a4 ? + +L + ? + L + n an ? an +1 × ? 3× 4 4 × 5 ? n ( n + 1) ? n ( n + 1) ?
1 ? ? = a1 ? a2 ? 1 ? ? + a2 ? a3 ? n +1? 2 ? ? ?1 ? ? + L + an ? an +1 ? n +1 ? n ? ? ?1 ? ? ? n +1?

≤ a1 ? a2 + a2 ? a3 + L + an ? an+1
≤ 1 a1 ? a2 . 1? L
14 分 ……

第 20 页



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