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【数学】广东中山市普通高中2016-2017学年下学期高二数学4月月考试题07


广东中山市普通高中 2016-2017 学年下学期 高二数学 4 月月考试题 07
一、选择题 1.复数 i 2 (1 ? i) 的实部是 A.-1 B.1 C .0 () D.-2

2.设全集 U ? {?2, ?1,0,1, 2}, 集合 A ? {1, 2}, B ? {?2,1, 2} ,则 A ? (CU B) =() A.U 3. 若复数 A. -1 B.{-2,1,2} C.{1,2} D.{-1,0,1,2}

在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值为() B1 C D2

4. 一个频率分布表 (样本容量为 30) 不小心被损坏了一部分, 只记得样本中数据在 [20,60) 上的频率为 0.8,则估计样本在 [40,50),[50, 60) 内的数据个数可能是() A.9 和 10 C.6 和 9 5. 曲线 A. 1 B.7 和 6 D.8 和 9 在点 P ( 0 ,1 ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标是() B. C. -1 D.

6.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

? ? 3 ? 5 x ,变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单 ②设有一个回归方程 y
位;

?x ? a ? ?b ? 必过 x, y ;其中错误 ③线性回归方程 y 的个数是() ..
A.0 B.1 C.2 D.3

? ?

7.执行右面的程序框图,若输出的结果是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

15 ,则输入的 a 为() 16

8. 设 m、n、l 为三条不同的直线, ? 、? 为两个不同的平面, 则下列命题中正确的是() A. ? // ?,m ? ? , n ? ? ? m // n C. m ? ? , m ? n ? n // ? B. l ? ? , ? ? ? ? l // ? D. ? // ? , l ? ? ? l ? ?

9.甲、 乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, x1 ,
x2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1 , s 2

甲 9 6 5 5 4 1 0 1 2 8 3 2

乙 5 5 7

分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差, 则有( A.

)

x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

10.某几何体的三视图如右图所示,则其侧面积为() A.

3+ 2+ 6 2 6+ 2+ 3 2

B.

2+ 3+ 6 2 3+ 2 2
()

C.

D.

11.设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x, 则y ? f ( x) 3

1 1 B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 e e 1 C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间(1,e)内无零点 e 1 D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间(1,e)内有零点 e
A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点 12. 设函数 的定义域为 R, 且对任意的 xR 都有

3]上函数 , 若在区问[-1, 则实数 m 的取值范围是() A. 二.填空题 B. C. D.

恰有四个不同零点,

13 .2012 年的 NBA 全明星赛,于美国当地时间 2012 年 2 月 26 日在佛罗里达州奧兰多市举 行.如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两 人这几场比赛得分的中位数之和是________

14.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业 情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市家。

15.已知如下等式

则由上述等式可归纳得到 =________(n )

16.对于各数互不相等的整数数组(i1, i2, i3…,in)(n 是不小于 3 的正整数),若对任意的 p,q ∈{1,2,3…,n},当 p<q 时有 ip>iq,则称 ip,iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆 序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(2,4,3,1)的逆序数为. 三.解答题 17. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为: ?

? x?t (t为参数) , ? y ? 1 ? 2t

在以 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:

? ? ? 2 2 sin(? ? ).
4
(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

18.(本小题满分 12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为

1, 2,3, 4,5 ,现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分
布表如下:

X

1

2

3 0.45

4

5

f

a

0.2

b

c

(Ⅰ)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a 、 b 、 c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1 , x2 , x3 ,等级系数为 5 的

2 件日用品记为 y1 , y2 ,现从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件(假定每件日用品被取出
的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相同的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示, 直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所在平面互相垂直,

F 为 BC 的中点, ?BAC ? ?ACD ? 90? , AE ∥ CD , DC ? AC ? 2 AE ? 2 .
(Ⅰ)求证:平面 BCD ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求证: AF ∥平面 BDE ; (Ⅲ)求四面体 B ? CDE 的体积.

20. (本小题满分 12 分)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运 动是否与性别有关,决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行了问卷 调查,得到了如下列联表: 喜欢户外运动 男性 不喜欢户外运动 5 合计

女性 合计

10 50

已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是

3 . 5

(Ⅰ) 请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)求该公司男、女员各多少名; (Ⅲ)是否有 99.5﹪ 的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由;

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 , 其中n ? a ? b ? c ? d ) ( 参考公式:K = (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21. (本小题满分 12 分)设关于 x 的函数 f ( x) ? mx2 ? (2m2 ? 4m ? 1) x ? (m ? 2)ln x ,其 中 m 为实数集 R 上的常数,函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值 0 . (Ⅰ)已知函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? k 有两个不同的公共点,求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ( p ? 2) x ?

p?2 ,其中 p ? 0 ,若对任意的 x ? [1, 2] ,总有 x

2 f ( x) ? g ( x) ? 4x ? 2x2 成立,求 p 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)设函数

f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

(Ⅲ)若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1-12、ADACD 二、填空题 13、64 三、解答题 BBDBA 14、20 DD 15、

1 n?1 [3 ? (?4) n?1 ] 16、4 7

17.(本小题满分 10 分) 解:(1)将直线 l 的参数方程经消参可得直线的普通方程为 l : y ? 2 x ? 1 ? 0. 由 ? ? 2 2 sin(? ? 3分

?
4

) 得 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? ,

? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 即圆 C 直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ?? 6 分
(2)由(1)知,圆 C 的圆心 C (1,1) ,半径 r ?

2 ,则圆心 C 到直线 l 的距离

d?

1 ? 2 ?1 ? 1 5

?

2 5 ? 2, 故直线 l 与圆 C 相交?? ?? ?? 10 分 5

18.解: (Ⅰ)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1, 即 a ? b ? c ? 0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,

3 ? 0.15 ………………………2 分 20 2 ? 0.1 ………………………4 分 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? 20
所以 b ? 从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1 ………………………6 分 (Ⅱ)从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,所有可能的结果为:

{x1, x2},{x1, x3},{x1, y1},{x1, y2} , {x2 , x3},{x2 , y1},{x2 , y2} , {x3 , y1},{x3 , y2} , {y1, y2} ………………9 分
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级系数相等”, 则 A 包含的基本事件为: {x1 , x2 },{x1 , x3},{x2 , x3},{ y1, y2} 共 4 个, 又基本事件的总数为 10 ,故所求的概率 P ( A) ?

4 ? 0.4 ………………………12 分 10

19. 解: (Ⅰ)∵面 ABC ? 面 ACDE ,面 ABC ? 面 ACDE ? AC , CD ? AC , ∴ DC ? 面 ABC , ?? ?? ?? 2 分 又∵ DC ? 面 BCD ,∴平面 BCD ? 平面 ABC . ?? ?? 4 分

(Ⅱ)取 BD 的中点 P ,连结 EP 、 FP ,则 FP

1 DC , 2

又∵ EA

1 DC ,∴ EA 2

FP , ??????????6 分

∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴ AF ∥ EP , 又∵ EP ? 面 BDE 且 AF ? 面 BDE ,∴ AF ∥面 BDE .

?? 8 分

(Ⅲ)∵ BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE = AC ,∴ BA ? 面 ACDE . ∴ BA 就是四面体 B ? CDE 的高,且 BA =2. ?? ?? ?? 10 分 ∵ DC = AC =2 AE =2, AE ∥ DC , ∴ S梯形ACDE ?

1 1 (1 ? 2) ? 2 ? 3, S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 1 4 ? 2 ? 2 ? . ?? ?? 12 分 3 3 3 ,? 喜欢户外活动的男女员工共 5

∴ S?CDE ? 3 ? 1 ? 2, ∴ VE ?CDE ?

20.解: (Ⅰ) ? 在全部 50 人中随机抽取 1 人的概率是 30,其中,男员工 20 人,列联表补充如下: 喜欢户外运动 男性 女性 合计 20 10 30

不喜欢户外运动 5 15 20

合计 25 25 50

?? ?? 3 分
(Ⅱ)该公司男员工人数为 (Ⅲ) K ?
2

25 ? 650 ? 325 ,则女员工 325 人. ?????? ?? 6 分 50

50(20 ?15 ? 10 ? 5)2 ?? ?? ?? ???? 10 分 ? 8.333 ? 7.879, 30 ? 20 ? 25 ? 25

? 有 99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关.
21. (本小题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2mx ? (2m ? 4m ? 1) ?

?? ?? ?? ?? 12 分

m?2 x

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值 0

得: ?

? f ?(1) ? 2m ? (2m 2 ? 4m ? 1) ? m ? 2 ? ?2m 2 ? m ? 1 ? 0 ? 2 2 ? ? f (1) ? m ? (2m ? 4m ? 1) ? ?2m ? 3m ? 1 ? 0
(?2 x ? 1)( x ? 1) ( x ? (0, ??)) x 1 (舍去) 2

解得 m ? ?1 ………………………………3 分 则 f ?( x) ?

令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极大值, 即最大值为 f (1) ? ln1 ?12 ? 1 ? 0 ……………………………5 分 所以当 k ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? k 有两个交点………………6 分
2 (Ⅱ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x ? 2ln x ? px ?

p?2 x

若对任意的 x ? [1, 2] , 2 f ( x) ? g ( x) ? 4x ? 2x 恒成立,
2

则 F ( x) 的最小值 F ( x)min ? 0 ( ? )……………………………8 分

F ' ( x) ?

2 p ? 2 ? px 2 ? 2 x ? ( p ? 2) ? p? 2 ? x x x2
2x ? 2 ? 0 , F ( x) 在 [1, 2] 递增 x2

' (1)当 p ? 0 时, F ( x) ?

所以 F ( x) 的最小值 F (1) ? ?2 ? 0 ,不满足( ? )式 所以 p ? 0 不成立…………………………………………10 分

? p ( x ? 1)( x ?
(2)当 p ? 0 时 F ( x ) ?
'

p?2 ) p

x2

①当 ?1 ? p ? 0 时, 1 ?

2 ? ?1 ,此时 F ( x) 在 [1, 2] 递增, p

F ( x) 的最小值 F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,不满足( ? )式
②当 p ? ?1 时, ?1 ? 1 ?

2 ? 1 , F ( x) 在 [1, 2] 递增, p

所以 F ( x)min ? F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,解得 p ? ?1 ,此时 p ? ?1 满足( ? )式 ③当 p ? ?1 时, F ( x) 在 [1 , 2] 递增, F ( x)min ? F (1) ? 0 , p ? ?1 满足( ? )式 综上,所求实数 p 的取值范围为 p ? ?1 …………………………………12 分

22. 解:(Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) .
' 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? . 令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? 1 . x x

' ' 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0.

? f ( x)极小值 =f (1) ? 1, 无极大值.?? ?? ?? 4 分
' (Ⅱ) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ?

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 [(1 ? a) x ? 1]( x ? 1) ? ? x x x

?


(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 ???? ?? ?? ?? 5 分 x

1 ( x ? 1)2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数; a ?1 x 1 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 或 x ? 1; a ?1 a ?1
'



令 f ( x) ? 0, 得

1 ? x ? 1. a ?1



1 1 ? 1 ,即1 ? a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ; a ?1 a ?1 1 . ?? ?? ?? ?? ?? 7 分 a ?1

' 令 f ( x) ? 0, 得 1 ? x ?

综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在定义域上是减函数; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0,

1 1 ) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增; a ?1 a ?1 1 1 , ??) 单调递减, ) 上单调递?? 在 (1, a ?1 a ?1

当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 (0,1) 和 ( 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上单调递减, 当 x ? 1 时, f ( x ) 有最大值,当 x ? 2 时, f ( x ) 有最小值.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?

a 3 a 3 ? ? ln 2 ? ma ? ln 2 ? ? ? ln 2 2 2 2 2

10 分

而 a ? 0 经整理得 m ?

1 3 1 1 3 ? ? 0 ,所以 m ? 0. 12 分 由 2 ? a ? 3得 ? ? ? 2 2a 4 2 2a


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