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2014届高考数学理科试题大冲关:4.3三角函数的图象与性质



2014 届高考数学理科试题大冲关:三角函数的图象与性质
一、选择题 1.函数 y=sin x+cos x 的最小值和最小正周期分别是( A.- 2,2π C.- 2,π B.-2,2π D.-2,π ) )

cos x 2.函数 y=sin x| |(0<x<π)的图象大致是( sin x

3.若动直线 x=a

与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN| 的最大值为( A.1 C. 3 ) B. 2 D.2 )

1 4.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的值不可能是( 2 π A. 3 C .π 2π B. 3 4π D. 3

π π 5.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值为 3 4 ( 2 A. 3 C .2 3 B. 2 D.3 ) )

π π 6.设函数 f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ ),则( 4 4

π π A.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π B.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π C.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π D.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 2 二、填空题

4π 7.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ|的最小值为________. 3 π π 8.设函数 y=sin( x+ ),若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1 2 3 -x2|的最小值是________. π π π 9.设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 2 2 12 π π π 对称,则在下面四个结论:①图象关于点( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称;③在[0, ] 4 3 6 π 上是增函数;④在[- ,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 6 三、解答题 π 10.已知函数 f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4

11.设 a=(sin2

π+2x ,cos x+sin x),b=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=a· b. 4

(1)求函数 f(x)的解析式; π 2π (2)已知常数 ω>0,若 y=f(ωx)在区间[- , ]上是增函数,求 ω 的取值范围; 2 3

12.已知 a=(5 3cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),函数 f(x)=a· b+|b|2. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; π π (3)当 ≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 6 2

详解答案:
π π π 1.解析:∵y= 2sin(x+ ),∴当 x+ =2kπ- (k∈Z)时,ymin=- 2.T=2π. 4 4 2 答案:A

cos x 2.解析:y=sin x| |= sin x

? ? π ?0,x=2 ? <x<π ?-cos x,π 2

π cos x,0<x< 2

答案:B π 3.解析:|MN|=|sin a-cos A|=| 2sin(a- )|, 4 ∴|MN|max= 2. 答案:B 2π 4π 4.解析:画出函数 y=sin x 的草图分析知 b-a 的取值范围为[ , ]. 3 3

答案:A π π 5.解析:∵f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值为-2 3 4 T π π π 3 3 ∴ ≤ ,即 ≤ ,∴ω≥ ,即 ω 的最小值为 . 4 3 2ω 3 2 2 答案:B π π π 6.解析:因为 y=sin(2x+ )+cos(2x+ )= 2sin(2x+ )= 2cos 2x,所以 y= 2cos 2x 4 4 2 π kπ 在(0, )单调递减,对称轴为 2x=kπ,即 x= (k∈Z). 2 2 答案:D 4π π 7.解析:由题意知,2× +φ=kπ+ ,k∈Z. 3 2 13π π 解得 φ=kπ- ,k∈Z.当 k=2 时,|φ|min= . 6 6 π 答案: 6 8.解析:由 f(x1)≤f (x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1)为最小值,f(x2)为最大值,|x1-x2|的最小

值为半个周期. 答案:2 9.解析:∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2× +φ=kπ+ ,∴φ=kπ+ . 12 2 3 π π π π ∵φ∈(- , ),∴φ= ,∴y=sin(2x+ ). 2 2 3 3 由图象及性质可知②④正确. 答案:②④ π 10.解:(1)因为 f(x)=4cos xsin(x+ )-1 6 =4cos x( 3 1 sin x+ cos x)-1 2 2

= 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x π =2sin(2x+ ), 6 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 π+2x 11.解:(1)f(x)=sin2 · 4sin x+(cos x+sin x)· (cos x-sin x) 4 π 1-cos? +x? 2 =4sin x· +cos2x 2 =2sin x(1+sin x)+1-2sin2x=2sin x+1, ∴f(x)=2sin x+1. (2)∵f(ωx)=2sin ωx+1,ω>0. π π 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ , 2 2 2kπ π 2kπ π 得 f(ωx)的增区间是[ - , + ],k∈Z. ω 2ω ω 2ω π 2π ∵f(ωx)在[- , ]上是增函数, 2 3 π 2π π π ∴[- , ]?[- , ]. 2 3 2ω 2ω

π π 2π π ∴- ≥- 且 ≤ , 2 2ω 3 2ω 3 ∴ω∈(0,4]. 12.解:f(x)=a· b+|b|2 =5 3cos x· sin x+cos x· 2cos x+sin2x+4cos2x =5 3sin xcos x+sin2x+6cos2x = = 1-cos2x 5 3 sin2x+ +3(1+cos2x) 2 2 5 3 5 7 sin2x+ cos2x+ 2 2 2

π 7 =5sin(2x+ )+ 6 2 2π (1)f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π 3π π 2π (2)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 6 3 π 2π ∴f(x)的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 π π (3)∵ ≤x≤ , 6 2 π π 7π ∴ ≤2x+ ≤ . 2 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 6 17 ∴1≤f(x)≤ 2 17 即 f(x)的值域为[1, 2 ].



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