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四川省成都七中2015届高三上学期第一次段考数学试卷(理科)



四川省成都七中 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合要求的) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x>0}, A.A∩B=? B.A∪B=R
2

C.B?A

,则() D.A?B


2. (5 分)下列命题正确的是() A.命题 P:“?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≥0”的否定是:“?x1,x2∈R, (f(x2) ﹣f(x1) ) (x2﹣x1)<0” 2 2 B. 命题“若 x=1,则 x +2x﹣3=0”的否定是“若 x≠1,则 x +2x﹣3≠0” C. “x≠1 或 y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件 D.“A=B”是:“tanA=tanB”的充分不必要条件

3. (5 分)定义运算 取值范围() A.

=ad﹣bc,若函数

在上单调递减,则实数 m 的

C.

D. =2,则 C. 2

(﹣4,﹣2] =() D.4

4. (5 分)若 f(x)是幂函数,且满足 A. B.

5. (5 分)设 a=log23,b= A.b<a<c 6. (5 分)函数

,c=

,则() C.c<b<a D.a<c<b 的图象是()

B.c<a<b

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)若函数 f(x)=sin(3x+φ) ,满足 f(a+x)=f(a﹣x) ,则 A. B.±1 C. 0 D.

的值为()

8. (5 分)已知 α∈R,2sinα﹣cosα= A. B.﹣7

,则 C.

=() D.

9. (5 分)定义在(1,+∞)上的函数 f(x)满足下列两个条件: (1)对任意的 x∈(1,+∞) 恒有 f(2x)=2f (x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x;记函数 g(x)=f(x) ﹣k(x﹣1) ,若函数 g(x)恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是() A. 的最大值为 2,有下列命题: ①f(x)的周期为 4; ②f(x)的图象关于直线 x=2k+1(k∈Z)对称; ③f(x)的图象关于点(2k,0) (k∈Z)对称; ④f(x)在 R 上的最小值是 2. 其中真命题为.

三、解答题(共 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)= 一个最高点(

sinωx+cosωx+c(ω>0,x∈R,c 是实数常数)的图象上的 ,﹣3) .

,1) ,与该最高点最近的一个最低点是(

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调增区间; (2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 范围是区间 M,当 x∈M 时,试求函数 f(x)的取值范围. 17. (12 分)已知偶函数 f(x)的定义域为,且 f(﹣1)=1,若对任意 x1,x2∈,x1≠x2,都 有 >0 成立. ? =﹣ ac,角 A 的取值

(1)解不等式
2



(2)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对 x∈和 a∈恒成立,求实数 t 的取值范围. 18. (12 分)已知函数 f(x)=log2(x +x﹣a) . (1)若 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞) ,求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ x 的定义域是(0,+∞) ,值域为,在区间(0,e]上总存 在 t1,t2(t1≠t2) ,使得 f(t1)=f(t2)=g(xm) ,求 m 的取值范围. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,﹣1) ,求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间上的最大值; 2 (3)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1,x2,求证:x1x2>e .
2

四川省成都七中 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合要求的) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x>0}, A.A∩B=? B.A∪B=R
2

C.B?A

,则() D.A?B

考点: 并集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用;集合. 分析: 根据一元二次不等式的解法,求出集合 A,再根据的定义求出 A∩B 和 A∪B. 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣2x>0}={x|x>2 或 x<0}, ∴A∩B={x|2<x< 或﹣ <x<0},A∪B=R, 故选 B. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题. 2. (5 分)下列命题正确的是() A.命题 P:“?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≥0”的否定是:“?x1,x2∈R, (f(x2) ﹣f(x1) ) (x2﹣x1)<0” 2 2 B. 命题“若 x=1,则 x +2x﹣3=0”的否定是“若 x≠1,则 x +2x﹣3≠0” C. “x≠1 或 y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件 D.“A=B”是:“tanA=tanB”的充分不必要条件 考点: 命题的真假判断与应用;全称命题;特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用命题及其关系、充分条件、必要条件、含量词的命题的否定,逐个分析各选项 的正误. 解答: 解:对于 A,“?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≥0”的否定是:“?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)<0”,故 A 不正确; 2 2 对于 B,“若 x=1,则 x +2x﹣3=0”的否定是“若 x=1,则 x +2x﹣3≠0”,故 B 不正确; 对于 C,若“x≠1 或 y≠2”则“x+y≠3”的逆否命题是:“若 x+y=3”则“x=1 且 y=2”,显然,“x+y=3” 是“x=1 且 y=2”的必要不充分条件,由于原命题与逆否命题等价,故 C 正确; 对于 D,当 A=B=90°时,tanA,tanB 无意义,故 D 不正确. 故选 C. 点评: 本题考查命题及其关系;充分条件;必要条件;含量词的命题的否定.基本知识的 考查.
2

3. (5 分)定义运算 取值范围() A.

=ad﹣bc,若函数

在上单调递减,则实数 m 的

C.

D.

(﹣4,﹣2]

考点: 二次函数的性质. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 2 分析: 由定义的运算得:f(x)=(x+2) ﹣7,得到函数的单调性,由题意得 m≤﹣2,又 m>﹣4,从而得出答案. 2 2 解答: 解:由定义知 f(x)=(x﹣1) (x+3)+2x=x +4x﹣3=(x+2) ﹣7, f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调减,上单调递增,选出满足条件的选项. 解答: 解:∵函数的定义域是 ,关于原点对称,以﹣x 代替

x,函数值不变. ∴函数是个偶函数,函数图象关于 y 轴对称,且与 y 轴无交点. 在(0, ]上单调递增,且 x 趋向 0 时,y 趋向﹣∞,

结合图象可知,应选 B. 故选 B. 点评: 本题考查利用函数解析式分析函数图象的特征,注意利用奇偶性、单调性、特殊点 及函数值的范围.

7. (5 分)若函数 f(x)=sin(3x+φ) ,满足 f(a+x)=f(a﹣x) ,则 A. B.±1 C. 0 D.

的值为()

考点: 正弦函数的对称性;三角函数的化简求值. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由题意求出函数的对称轴,函数的周期,利用正弦函数的基本性质即可求出 的值. 解答: 解:对于任意的 x∈R,函数 f(x)=sin(3x+φ) ,满足条件 f(a+x)=f(a﹣x) , ∴函数关于 x=a 对称,x=a 时函数取得最值, ∴3a+φ=k ∴ ,k∈Z, =sin(3a+ +φ)=sin( + )=0;

故选:C. 点评: 本题是中档题,考查三角函数的基本性质,函数的周期对称性的应用,三角函数的 最值是解题的关键,考查计算能力.

8. (5 分)已知 α∈R,2sinα﹣cosα= A. B.﹣7

,则 C.

=() D.

考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先把已知等式两边平方,然后化弦为切,求得 tanα,进而求得 tan2α,从而求出 的值. 解答: 解:已知等式两边平方得 即 即 3tan α﹣8tanα﹣3=0, 解得 所以 从而 , =﹣7. ,
2

, ,

故选:B 点评: 本题考查的知识要点:三角关系式的恒等式变换,解方程等运算问题. 9. (5 分)定义在(1,+∞)上的函数 f(x)满足下列两个条件: (1)对任意的 x∈(1,+∞) 恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x;记函数 g(x)=f(x) ﹣k(x﹣1) ,若函数 g(x)恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是() A. ,又因为 f(x)=k(x﹣1)的函数图象是过定点(1,0)的直线,再结合函 数的图象根据题意求出参数的范围即可 解答: 解:因为对任意的 x∈(1,+∞)恒有 f(2x)=2f(x)成立,且当 x∈(1,2]时,f (x)=2﹣x 所以 f(x)=﹣x+2b,x∈(b,2b]. 由题意得 f(x)=k(x﹣1)的函数图象是过定点(1,0)的直线, 如图所示红色的直线与线段 AB 相交即可(可以与 B 点重合但不能与 A 点重合)

所以可得 k 的范围为 故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质, 数 形结合思想是高中数学的一个重要数学数学,是解决数学问题的必备的解题工具.

10. (5 分)已知 y=f(x)为 R 上的可导函数,当 x≠0 时, 于 x 的函数 A.1 B. 2 的零点个数为() C. 0 D.0 或 2

,则关

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的.当 x >0 时,利用导数的 知识可得 xg(x)在(0,+∞)上是递增函数,xg(x)>1 恒成立,可得 xg(x)在(0,+∞) 上无零点. 同理可得 xg(x)在(﹣∞,0)上也无零点,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 非零零点是完全一样的, 故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点. 由于当 x≠0 时, , )>0, ,可得 x≠0,因而 g( x)的零点跟 xg(x)的

①当 x>0 时, (x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ 所以,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)单调递增函数. 又∵ =1,∴在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立,

因此,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1 没有零点.

②当 x<0 时,由于(x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+

)<

0, 故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上是递减函数,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立, 故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上无零点. 综上可得,函 在 R 上的零点个数为 0,

故选 C. 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断, 导数与函数的单调性的关系, 体现了分类 讨论、转化的思想, 属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)函数 f(x)= (2x ﹣x﹣1)的单调递增区间是(﹣∞,﹣ ) .
2

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=2x ﹣x﹣1>0 求得函数的定义域,且 f(x)=
2

t,本题即求函数 t 在定义

域内的减区间.再根据二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的单调递减区间. 解答: 解:令 t=2x ﹣x﹣1>0 求得 x<﹣ 或 x>1,故函数的定义域为{x|x<﹣ 或 x> 1},f(x)= t,
2

根据复合函数单调性,本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 再根据二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的单调递减区间是 故答案为: (﹣∞,﹣ ) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 12. (5 分)抛物线 y=x ﹣2x+2 和 y=﹣x +ax+1 有一个交点 P,且两切线在 P 点的切线互相 垂直,贼 a 的值为 .
2 2



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据导数的几何意义,点 P 是两抛物线的一个交点,得关于点 P 的横坐标与 a 的 方程组求解. 2 解答: 解:设 P(x,y) ,则函数 y=x ﹣2x+2 的导数为 y′=f′(x)=2x﹣2, 2 函数 y=﹣x +ax+1 的导数为 y′=g′(x)=﹣2x+a,

∵两切线在 P 点的切线互相垂直, ∴ ,

解得



故答案为: 点评: 本题主要考查导数的几何意义的应用, 根据直线垂直的关系, 建立方程是解决本题 的关键.

13. (5 分)函数 f(x)=log2

?log

(2x)的最小值为



考点: 对数函数图象与性质的综合应用;换底公式的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质可得 f(x)= 值. 解答: 解:∵f(x)=log2 ∴f(x)= log = log = log = log = ∴当 log 即 x= x+1=0 时,函数 f(x)的最小值是 . x?log x(log x(log ( ?log (2x) (2x) ,即可求得 f(x)最小

)?log

(2x) x+log x+2) , 2)

故答案为:﹣ 点评: 本题考查对数不等式的解法, 考查等价转化思想与方程思想的综合应用, 考查二次 函数的配方法,属于中档题. 14. (5 分)设函数 f (x)=ax+sinx+cosx.若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B, 使得曲线 y=f(x)在点 A,B 处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,设出 A,B 的坐标,代入导函数,由函数在 A,B 处的导数 等于 0 列式,换元后得到关于 a 的一元二次方程,结合线性规划知识求得 a 的取值范围. 解答: 解:由 f(x)=ax+sinx+cosx,得 f′(x)=a+cosx﹣sinx, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 f′(x1)=a+cosx1﹣sinx1,f′(x2)=a+cosx2﹣sinx2. 由
2

,得

a +a+(cosx1﹣sinx1) (cosx2﹣sinx2)+1=0. 令 m=cosx1﹣sinx1,n=cosx2﹣sinx2, 则 m∈ , . 2 ∴a +(m+n)a+mn+1=0. 2 2 △ =(m+n) ﹣4mn﹣4=(m﹣n) ﹣4, ∴0≤(m﹣n) ﹣4≤4, 当 m﹣n= 又 时,m+n=0, = .
2



∴﹣1≤a≤1. ∴函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 y=f(x)在点 A,B 处的切线互相 垂直,则实数 a 的取值范围为. 故答案为: . 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程, 考查了数学转化思想方法, 解答的 关键在于由关于 a 的方程的根求解 a 的范围,是有一定难度题目. 15. (5 分)已知定义在 R 上的连续奇函数 f(x)满足 f(x﹣2)=﹣f(x) ,且在的最大值为 2,有下列命题: ①f(x)的周期为 4; ②f(x)的图象关于直线 x=2k+1(k∈Z)对称; ③f(x)的图象关于点(2k,0) (k∈Z)对称; ④f(x)在 R 上的最小值是 2. 其中真命题为①②③④. 考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件,周期、轴对称、中心对称的意义判断前 3 个命题都是正确的,对 于第四个命题,由奇偶性知 f(x)在的最大值为 2,得 f(x)在的最小值﹣2,再由①②③ 正确得④正确. 解答: 解:由 f(x﹣2)=﹣f(x) 得 f(x﹣4)=f(x) ,所以函数 f(x)的周期为 4,故①正确 由 f(4k+2﹣x)=f(2﹣x)=﹣f(x﹣2)=f(x) , 所以 f(x)的图象关于直线 x=2k+1(k∈Z)对称,故②正确;

由 f(4k﹣x)=f(﹣x)=﹣f(x)得 f(4k﹣x)+f(x)=0,故正确③; 由 f(x)在的最大值为 2,得 f(x)在的最小值﹣ 2,又 f(x﹣2)=﹣f(x) , 所以 f(x)在的最大值为 2,最小值为﹣2.由①得 f(x)在 R 上的最小值是 2,故④正确. 故答案为:①②③④ 点评: 本题考察了抽象函数的性质,性质的解析式表示,掌握好数学表达式是解题关键. 三、解答题(共 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)= 一个最高点(

sinωx+cosωx+c(ω>0,x∈R,c 是实数常数)的图象上的 ,﹣3) .

,1) ,与该最高点最近的一个最低点是(

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调增区间; (2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 范围是区间 M,当 x∈M 时,试求函数 f(x)的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)利用三角函数中的恒等变换可求得 f(x)=2sin(ωx+ )+c,再依题意可求 ? =﹣ ac,角 A 的取值

得 c 及 ω, 从而可得函数 f(x)的解析式,继而利用正弦函数的单调性可求其单调增区间; (2)利用向量的数量积与诱导公式可求得 cosB= ,又 0<B<π,于是知 B= M=(0, ,从而知

) ,利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数 f(x)的取值范围. sinωx+cosωx+c

解答: 解: (1)∵f(x)= =2( sinωx+ cosωx)+c )+c,

=2sin(ωx+

∴f(x)max=2+c=1,f(x)min=﹣2+c=﹣3, ∴c=﹣1; 又 = ∴T= ∴ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+ 由 2kπ﹣ ≤2x+ )﹣1. (k∈Z) ,得:kπ﹣ ≤x≤kπ+ (k∈Z) , ﹣ =π, = ,

≤2kπ+

∴函数 f(x)的单调增区间为(k∈Z) ; (2)依题意, ? =| |?| |cos< , >=ca?cos(π﹣B)=﹣ ac,

∴cosB= ,又 0<B<π, ∴B= . ) ,即 M=(0, )时,2x+ )∈(﹣1,1], )﹣1∈(﹣3,1]. ∈( ) ; , ) ,

∴A∈(0, ∴当 x∈(0, ∴sin(2x+

∴f(x)=2sin(2x+

即函数 f(x)的取值范围为(﹣3,1]. 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换, 考查向量的数量积与诱导公式, 突出考查正弦函 数的单调性与最值,属于中档题. 17. (12 分)已知偶函数 f(x)的定义域为,且 f(﹣1)=1,若对任意 x1,x2∈,x1≠x2,都 有 >0 成立.

(1)解不等式
2



(2)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对 x∈和 a∈恒成立,求实数 t 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据题意得 f(x)在上单调递减,又 f(x)是偶函数,则 f(x)=f(﹣|x|) ,

由此得

从而解得 x 范围;

(2)由不等式恒成立的条件求实数 t 的取值范围. 解答: 解: (1)由对任意 x1,x2∈,x1≠x2,都有 (x)在上单调递减, 又 f(x)是偶函数,则 f(x)=f(﹣|x|) , 成立知,f

所以



故不等式

的解集为
2



(2)由已知 fmax(x)=f(﹣1)=1,又 f(x)≤t ﹣2at+1 对 x∈和 a∈恒成立, 2 2 所以 1≤t ﹣2at+1?2at﹣t ≤0,在 a∈上恒成立, 只需 ,即 t=0 或 t≤﹣2 或 t≥2,

所以实数 t 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪{0}∪ 点评: 本题综合考察了对数函数的性质,运用换元,构造的方法转化求解,考察了多种数 学思想,难度较大.
3 2

19. (12 分)已知函数 f(x)= ax ﹣bx +(2﹣b)x+1(a,b 是实数,a≠0)在 x=x1 处取得 极大值,在 x=x2 处取得极小值,且 0<x1<1<x2<2. (1)求证:0<a<2b<3a: (2)若函数 g(x)=f′(x)﹣2+a﹣2b.设 g(x)的零点为 α,β,求|α﹣β|的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (1)由极值和导数的关系,以及单调性和导数的关系得到 a>0,再由二次函数的 性质可得 f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,即可得证; (2)求出 g(x)的表达式,运用韦达定理,求出|α﹣β|的表达式,配方再由(1)的结论, 即可得到. 2 解答: (1)证明:由题意 f'(x)=ax ﹣2bx+(2﹣b) , f'(x)=0 的根为 x1,x2,且 0<x1<1<x2<2, 且 f(x)在区间(﹣∞,x1) , (x2,+∞)上单调递增,即 f'(x)>0, f(x)在(x1,x2)上单调递减,即 f'(x)<0, 所以 a>0,

所以



又 a>0,所以 0<a<2b<3a; (2)解:函数 g(x)=f'(x)﹣2+a﹣2b.设 g(x)的零点为 α,β, 即有 g(x)=ax ﹣2bx+a﹣3b,α+β=
2





则 由(1)知 ∴ .



点评: 本题考查导数的综合应用: 求单调区间和求极值, 考查函数和方程的转换思想方法, 注意运用二次函数的性质解决,属于中档题. 20. (13 分)f(x)=mx﹣alnx﹣m,g(x)= ,其中 m,a 均为实数.

(1)求 g(x)的极值. x+1 2 (2)设 a=﹣1,若函数 h(x)=f(x)+xe ?g(x)﹣m lnx 是增函数,求 m 的取值范围. (3)设 a=2,若对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在 t1,t2(t1≠t2) ,使得 f (t1)=f(t2)=g(xm) ,求 m 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)对于第一问非常简单,只需按求解极值的定义求解即可. (2)由题意可得 ,对 x∈(0,+∞)恒成

立,讨论二次函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论; (3)通过第三问的条件,你会得到 f(x)在区间(0,e]不是单调函数的结论,并要求 f(x) 的值域需包含 g(x)的值域便可.接下来就是看怎样让 f(x)的值域包含 g(x)的值域, 即能求出 m 的范围. 解答: 解: (1) ,令 g(x)=0,得 x=1 当 x∈(0,1)时,

g'(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,∵g(1)=1 ∴y=g(x)的极大值为 1,无极小值. 2 2 (2)因为 a=﹣1,由题意,h(x)=x +m(x﹣1)+(1﹣m )lnx 是增函数, ,对 x∈(0,+∞)恒成立,
2



时,只需 1﹣m ≥0,即 0≤m≤1,当 综上得, .

时,只需

,即

(3)由(1)知,当 x∈(0,e]时,g(x)∈(0,1], 由题意,当 f(x)取(0,1]的每一个值时,在区间(0,e]上存在 t1,t2(t1≠t2)与该值对 应.

a=2 时, 当 m=0 时, =0,由题意, f(x)在区间(0,e]上不单调,所以, 当 时,f'(x)<0,当 ,

, ,f(x)单调递减,不合题意,当 m≠0 时, 时,f'(x)

时,f'(x)>0 所以, , ②f(e)=m 使 f(x0)>1

当 x∈(0,e]时, 由题意,只需满足以下三个条件:① (e﹣1)﹣2≥1③ ∵

,所以①成立.由②f(x)=m(x﹣1)﹣2lnx→+∞,所以③满足,

所以当 m 满足



时, 符合题意, 故, m 的取值范围为



点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,考查学生的等价转 化思想的运用能力及运算求解能力,属于难题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,﹣1) ,求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间上的最大值; (3)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1,x2,求证:x1x2>e . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)中求出斜率,代入切线方程即可; (2)中需要讨论 m 的范围,m 的取值范围不一样,求出的最值不同; (3)中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决. 解答: 解: (1)因为点 P(1,﹣1)在曲线 y=f(x)上, 所以﹣m=﹣1,解得 m=1. 因为 f′(x)= ﹣1=0, 所以切线的斜率为 0, 所以切线方程为 y=﹣1. (2)因为 f′(x)= ﹣m= .
2

①当 m≤0 时,x∈(1,e) ,f′(x)>0,

所以函数 f (x)在(1,e)上单调递增, 则 f (x)max=f (e)=1﹣me. ②当 ≥e,即 0<m≤ 时,x∈(1,e) ,f′(x)>0, 所以函数 f (x)在(1,e)上单调递增, 则 f (x)max=f (e)=1﹣me. ③当 1< <e,即 <m<1 时, 函数 f (x)在 (1, )上单调递增,在( ,e)上单调递减, 则 f (x)max=f ( )=﹣lnm﹣1. ④当 ≤1,即 m≥1 时,x∈(1,e) ,f′(x)<0, 函数 f (x)在(1,e)上单调递减, 则 f (x)max=f (1)=﹣m. 综上,①当 m≤ 时,f (x)max=1﹣me; ②当 <m<1 时,f (x) max=﹣lnm﹣1; ③当 m≥1 时,f (x)max=﹣m. (3)不妨设 x1>x2>0. 因为 f (x1)=f (x2)=0, 所以 lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0, 可得 lnx1+lnx2=m(x1+x2) ,lnx1﹣lnx2=m(x1﹣x2) . 2 要证明 x1x2>e , 即证明 lnx1+lnx2>2,也就是 m(x1+x2)>2. 因为 m= 所以即证明 即 ln 令 > , > . . ,

=t,则 t>1,于是 lnt> (t>1) , =

令 ?(t)=lnt﹣ 则 ?′(t)= ﹣

>0.

故函数 ?(t)在(1,+∞)上是增函数, 所以 ?(t)>?(1)=0,即 lnt> 所以原不等式成立. 成立.

点评: 本题是关于导数的综合应用, 利用导数求斜率, 求函数的单调区间以及区间上的最 值是最主要的题型之一.



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