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1.6三角函数模型的简单应用



1.6 三角函数模型的简单应用

授课老师:张晴

(一)?对y ? sin( x ? ?), x ? R的图象的影响 .
结论 : y ? si n ( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作 是把正弦曲线上所有的 点向左(当? ? 0时 ) 或向右(当? ? 0时 )平行移动 ? 个单位长度而得到.
<

br /> (二)?(? ? 0)对y ? sin( ?x ? ?)的图象的影响 .

结论 : 函数y ? sin( ?x ? ?)的图象, 可以看作是把 y ? sin( x ? ?)的函数图象上所有点的横坐标 缩短(当? ? 1时 )或伸长(当0 ? ? ? 1时 )到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到的. ?

(三)A( A ? 0)对y ? A sin( ?x ? ?)的图象的影响.

结论 : 函数y ? A sin ( ?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin ( ?x ? ? )上所有点的纵坐标伸长 (当A ? 1时 ) 或缩短(当0 ? A ? 1时 )到原来的A倍(横坐标不变) 最大值是A, 最小值是 ? A. 而得到.从而, 函数y ? A sin ( ?x ? ? )的值域是?? A, A ?,

例1: 如图,某地一天从6~14时的温度变 化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y T/℃

30 20 10
O

6

10

14

x t/h

解:(1)最大温差是20℃ 所求出的函数模型只能近 (2)从6~14时的图象是函数 似刻画这天某个时段温度 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象 变化,因此应当特别注意
1 A ? ? 30 ? 10 ? ? 10 2 1 2? ? ? 14 ? 6 2 ? 1 b ? ? 30 ? 10 ? ? 20 自变量的变化范围 2

??
3? 4

?
8

y T/℃
20 注明定义 域 10

将x=6,y=10代入上式,解得 30
??

所以

3? ?? y ? 10sin ? x ? 4 ?8

? ? ? 20, x ? ?6,14? ?

O

6 10 14

x t/h

变式1 :判断函数y ? tanx 在[?4,?2]的单调性。
y

??

? ? 2

o

? 2

?

x

变式2:判断函数y ? sinx 在R上是否为周期函数。
6

y

4

2

? 2?

-5

??

o
-2

?

5

2?

x

-4

例3: 如图,设地球表面某地正午太阳高度角 为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那 么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏 半年δ取正值,冬半年δ负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢 高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡,两 φ -δ 楼的距离不应小于多少?
θ φ δ

太阳光

太阳光

???
?

?

?

分析:太阳高度角θ,

???

楼高h0与此时楼房在地面的
投影长h之间有如下关系:h0

? δ

θ

太阳光

=h tan θ.
根据地理知识,在北京地区,太阳直射北回归 线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子 最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被 遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.

h0
- 23°26′

{
A
B C

0° 23°26’ M

解:如图,A、B、C分
别为太阳直射北回归线、 赤道、南回归线时楼顶在 地面上的投影点。要使楼 房一层正午的太阳全年不 - 23°26′

h0

{
A B C

0° 23°26’ M

被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的
太阳直射纬度为 - 23°26′。依题意两楼的间距应不小于MC。 根据太阳高度角的定义,有

?C ? 90? ? | 40? ? (?23?26?) |? 26?34?,
h0 h0 所以,MC ? ? ? 2.000h 0 . ? ? tanC tan26 23

即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼 高两倍的间距。

变式题

如果前面的楼房距你家要买的楼房15m,

两幢楼的高都是21m,每层楼高3m,为了使正午的 太阳全年不被遮挡,你应该挑选哪几层的房子? (澄海的纬度是23°28' )

C

h

D

E B

- 23°26′

A

变式题

如果前面的楼房距你家要买的楼房15m,两幢楼

的高都是21m,每层楼高3m,为了使正午的太阳全年不被遮 挡,你应该挑选哪几层的房子?(澄海的纬度是23°28' )

解:设A、B为两幢楼所在的位置,楼顶C与点D的距 离为h。
?B ? 90? ? | 23?28? ? (?23?26?) |? 43?6?

h ?| DE | ? tan43 6? ? 14
?

( 21 – 14 ) / 3 ≈2.333
故应挑选第4层或更高的房子
- 23°26′ h

C

D
A

E B

例4:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫
潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮 时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋。下面是 某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 水深(米) 时刻 0.00 3.00 6.00 5.00 7.50 5.00 9.00 12.00 15.00 水深(米) 时刻 水深(米) 2.50 5.00 7.50 18.00 21.00 24.00 5.00 2.50 5.00

(3 1)若某船的吃水深度为 2 )选用一个函数来近似描述这个港口的水深与 )一条货船的吃水深度(船底与水面的距离) 4米,安全间隙为1.5 米,该船在 时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精 为 4米,安全条例规定至少要有 2:00开始卸货,吃水深度以每小时 1.5米的安全间隙(船底 0.3米 的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将 确到0.001). 与海洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆 船驶向较深的水域? 多久?

解:以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画 ?x ? ?) ? h 出散点图。根据图象,可考虑用函数 y ? A sin( 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:

A ? 2.5, h ? 5, T ? 12, ? ? 0; 2? ? 由T ? ? 12, 得? ? . ? 6
? 故这个港口的水深与时间的关系可用 y ? 2.5 sin x ? 5 6

近似描述.

由上述关系式可得港口在整点时水深的近似值:
时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 0 5.000 12 5.000 1 6.250 13 6.250 2 7.165 14 7.165 3 7.500 15 7.500 4 7.165 16 7.165 5 6.250 17 6.250 6 5.000 18 5.000 7 3.754 19 3.754 8 2.835 20 2.835 9 2.500 21 2.500 10 2.835 22 2.835 11 3.754 23 3.754

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全 条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海洋底的距离), 该船何时能进入港口?在港口能呆多久? 解:(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5米,所以当y≥5.5就 可以进港,令 ? ? 2.5 sin x ? 5 ? 5.5, 得 sin x ? 0.2. 6 6 8 6 由计算器可得, 4
A B C D

sin 0.2 ? 0.20135792 ? 0.2014 .
如图,在区间[0,12]内,函数
y ? 2.5 si n ? x?5 6

?1

2 0
5 10 15

的图象与直线

? ? x ? 0.2014 , 或? ? x ? 0.2014 . y=5.5有两个交点A、B,因此 6 6

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2: 00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船 在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

解:(3)设在时刻 y ? y ? 2.5 s i n x ? 5 6 x船舶的安全水深 8 为y,那么y=5.5- 6 p 0.3(x-2)(x≥2). 4 在同一坐标系内 2 y=5.5-0.3(x-2) 作出这两个函数 2 4 6 8 10 x 0 的图象,可看到在 6时到7时之间两 个函数图象有一个交点(如图).

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2: 00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船 在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
当x ? 6时, y 1 ? 2.5 sin? ? 5 ? 5, y 2 ? 6.1 ? 1.8 ? 4.3
y 8

? y ? 2.5 si n x ? 5 6

6 7? 当x ? 6时, y 1 ? 2.5 sin ? 5 ? 3.75, 4 6 y 2 ? 6.1 ? 2.1 ? 4 2

p y=5.5-0.3(x-2)

通过计算也可以得到 0 2 4 6 8 10 x 这个结果。在6时的水深约 为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深 约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深 约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2: 00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船 在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 通过计算也可以得到这个
结果。在6时的水深约为5米, 此时货船的安全水深约为4.3 米;6.5时的水深约为4.2米,此 时货船的安全水深约为4.1米;7 时的水深约为3.8米,而货船的 安全水深约为4米.因此为了安 全,货船最好在6.5时之前停止
y 8 6 4 2 0
? y ? 2.5 si n x ? 5 6

p
y=5.5-0.3(x-2)
2 4 6 8 10 x

卸货,将货船驶向较深的水域.

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型, 可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来 等方面都发挥十分重要的作用。 具体的,我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散 点图”,通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函 数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。

数据

实际问题

“散点图”
解决

函数拟合

函数模型



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