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函数的单调性与最值教案


函数的单调性与最值
一、函数单调性的定义 增函数 减函数

定义

设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1, x2 当 x1<x2 时,都有________,那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有________,那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右看图象是________ 二、证明函数单调性的一般方法 1.定义法. 2.导数法. 设 f(x)在某个区间(a,b)内有导数,若 f(x)在区间(a,b)内,总有 f′(x)>0[f′(x)<0],则 f(x)在区间 (a,b)上为增函数(减函数);反之,若 f(x)在区间(a,b)内为增函数(减函数),则 f′(x)≥0[f′(x)≤0].请 注意两者的区别所在. 自左向右看图象是________

1.下列函数在其定义域上是增函数的是( A.y=tan x B.y=-3x

) C.y=3x D.y=ln |x|

解析:y=tan x 只在其周期内单调递增,y=-3x 在 R 上单调递减,y=3x 在 R 上单调递增,y=ln |x| 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 答案:C 2.(2013· 海淀区一模)已知 a>0,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是( A.f(x)=ax+b B.f(x)=x2-2ax+1 C.f(x)=ax D.f(x)=logax )

解析:a>0 时,函数 f(x)=ax+b,为增函数;对于函数 f(x)=ax,当 0<a<1 时,在 R 上为减函数, 当 a>1 时,在 R 上为增函数;对于 f(x)=logax,0<a<1 时,在(0,+∞)上为减函数;当 a>1 时在(0, +∞)上为增函数;对于函数 f(x)=x2-2ax+1,图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x=a,所以该函数 在区间(0,a)上一定是减函数,所以选项 B 对. 故选 B. 答案:B 3.若函数 f(x)=x2-2x+m 在[3,+∞)上的最小值为 1,则实数 m 的值为____________.

解析:∵f(x)=(x-1)2+m-1 在[3,+∞)上为单调增函数,且 f(x)在[3,+∞)上的最小值为 1, ∴f(3)=1,即 22+m-1=1,m=-2. 答案:-2

1

1? 4.一个矩形的周长为 l,面积为 S,给出:①(4,1),②(8,6),③(10,8),④? ?3,2?.其中可作为(l,S)取 得的实数对的序号是__________. ?l-2x?x l 解析:设矩形一边长为 x,则 S= =-x2+ x= 2 2 l l l2 x - ?2+ ?0<x< ?, -? 4? 16? 2? ? 检验知,①④满足. 答案:①④

5.y= ?3-a??a+6? (-6≤a≤3)的最大值为( A.9 9 B. 2 C.3

) 3 2 D. 2

解析:因为 y= ?3-a??a+6?= 18-3a-a2= 3?2 81 3 9 -? ?a+2? + 4 ,所以当 a=-2时,y= ?3-a??a+6?的值最大,最大值为2. 答案:B 1 1 ,+∞?是增函数,则 a 的取值范围是( 6.若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ? x ?2 A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] )

D.[3,+∞)

1 1 1 ? ?1 ? 解析: f′(x)=2x+a- 2≥0 在? ?2,+∞?上恒成立,即 a≥x2-2x 在?2 ,+∞?上恒成立,由于 y x 1 1 ? = 2-2x 在? ?2,+∞?上单调递减,所以 y<3,故只要 a≥3. x 答案:D 7.已知函数 f(x)=-x2+4x 在区间[m,n]上的值域是[-5,4],则 m+n 的取值范围是( A.[1,7] B. [1,6] C.[-1,1] D.[0,6] )

解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴f(2)=4. 又由 f(x)=-5,得 x=-1 或 5. 由 f(x)的图象知:-1≤m≤2,2≤n≤5. 因此 1≤m+n≤7. 答案:A 8.已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数,且 f(1)=0,函数 g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞) 上为减函数,且 g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1 或 x≥4}

解析:由题,结合函数性质可得 x>1 时,f(x)>0;x<0 时,f(x)<0;x<0 或 x>4 时,g(x)<0;0
2

<x<4 时,g(x)>0,故 f(x)g(x)≥0 的解集为{x|x≤0 或 1≤x≤4}.故选 A. 答案:A

函数的奇偶性与周期性
一、函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义及简单性质.

2.若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|),反之,也成立. 3.若奇函数 f(x)的定义域包含 0,则 f(0)=0. 4.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式. 在定义域关于原点对称的情况下, f?x? (1)若 f (x)-f(-x)=0 或 =1[f(-x)≠0],则 f(x)为偶函数; f?-x? f?x? (2)若 f (x)+f(-x)=0 或 =-1[f(-x)≠0],则 f(x)为奇函数. f?-x? 5.设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇. 二、函数的周期性 1.周期函数定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任意 x,使得 f(x+T)=f(x)恒成立,则 f(x)叫 做________,T 叫做这个函数的________. 2.周期函数的性质:(1)若 T 是函数 f(x)的一个周期,则 kT(k∈Z,k≠0)也是它的一个周期; T? ? T? (2)f(x+T)= f(x)常写作 f? ?x+2?=f?x-2?; (3)若 f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f(x)的最小正周期; 1.(2013· 肇庆二模)下列函数为奇函数的是( A.y=|sin x| B.y=|x| C.y=x3+x-1
3

)

D.y=ln

1+x 1-x

解析:由|sin(-x)|=|sin x|,得 y=|sin x|为偶函数,排除 A; 由|-x|=|x|,得 y=|x|为偶函数,排除 B; y=x3+x-1 的定义域为 R,但其图象不过原点,故 y=x3+x-1 不为奇函数,排除 C; 由 1+x 1+x >0 得-1<x<1,所以函数 y=ln 的定义域为(-1,1),关于原点对称, 1-x 1-x 1-x ?1+x?-1=-ln 1+x,故 y=ln 1+x为奇函数,故选 D. =ln? ? 1+x 1-x 1-x ?1-x?

且 ln

答案:D

1 2.函数 f(x)= +x 的图象关于( x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

)

1 解析:可判断 f(x)= +x 为奇函数,所以图象关于原点对称.故选 C. x 答案:C

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=( A.1 B.-1 11 C.- 4 11 D. 4

)

答案:B

4.若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则 f(x)在[0,2]上的单调性 是________.

解析:∵T=4,且在[-6,-4]上单调递减, ∴函数在[-2,0]上也单调递减.又 f(x)为偶函数,故 f(x)的图象关于 y 轴对称, 由对称性知 f(x)在[0,2]上单调递增. 答案:单调递增

4

1.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|- g(x)是奇函数

)

解析:因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而 f(x)+|g(x)|是偶函数.故选 A. 答案:A

1 2.(2013· 山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=( x A.-2 B.0 C.1 D.2

)

解析:因为 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.故选 A. 答案:A

3.(2013· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的 解集用区间表示为________

解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x≤0 时,f(x)=-x2-4x 解不等式得到 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 答案: (-5,0)∪(5,+∞)

1.(2013· 增城下学期调研)已知函数 f(x)=x 2,则(


)

A.f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增
5

B.f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增 C.f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递减 D.f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增

1 1 1 解析:f(x)= 2,f(-x)= = 2=f(x)是偶函数,在(0,+∞)单调递减. x ?-x?2 x 答案:C

2.(2013· 温州高三第一次质检)已知 f(x)是定义在 R 上是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=ex+a,若 f(x) 在 R 上是单调函数,则实数 a 的最小值是________.

解析: 依题意得 f(0)=0.当 x>0 时, f(x)>e0+a=a+1.若函数 f(x) 在 R 上是单调函数, 则有 a+1≥0, a≥-1,因此实数 a 的最小值是-1. 答案:-1

第四节

一次函数和二次函数

1.熟练掌握二次函数的图象,并能求给出了某些条件的二次函 数的解析式. 2.掌握二次函数的单调性,会求二次函数的单调区间. 3.会求二次函数的最值. 4.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判 断一元二次方程根的存在性及根的个数.

知识梳理 一、一次函数及其性质 函数 y=ax+b(a≠0)叫做一次函数.当________时,该函数在 R 上
6

是增函数;当________时,该函数在 R 上是减函数.由于一次函数是单 调函数,故其在闭区间上的最大值、最小值一定在端点处取得. 若函数 f(x)=ax+b 在 x∈[p,q]时恒为正(负),则在 p,q 处的函数 值满足________________. 若函数 f(x)=ax+b 在 x∈[p,q]上与 x 轴有交点,则在 p,q 处的函 数值满足________. 二、二次函数定义及其性质 1.二次函数的定义:_______________________________. 2.二次函数的三种表示形式. (1)一般式:________________; (2)顶点式:________________; (3)零点式:________________. 3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的性质. (1)定义域为 R.当 a>0 时,值域为_______________________; 当 a<0 时,值域为________________. (2)图象是抛物线, 其对称轴方程为________, 顶点坐标是________. (3)当 a>0 时,开口向______;当 a<0 时,开口向______. (4)当 a>0 时, 在区间______上是增函数, 在区间______上是减函数; 当 a<0 时,在区间________上是增函数,在区间________上是减函 数. (5)当________时,该函数是偶函数;当________时,该函数是非奇 非偶函数. 4.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在闭区间[p,q](p<q)上的最值问题(以 a>0 的情形为例). b (1)若 q≤-2a, 则该函数的最大值为________, 最小值为________. p+q b (2) 若 2 ≤- 2a <q ,则该函数的最大值为 ________ ,最小值为 ________.
7

b p+q (3) 若 p≤- 2a < 2 ,则该函数的最大值为 ________ ,最小值为 ________. b (4)若 p>-2a,则该函数的最大值为________,最小值为________. 三、一元二次方程根的分布问题 研究一元二次方程的根的分布, 一般情况下需要从以下三个方面考 虑: (1)一元二次方程根的判别式; (2)相应二次函数区间端点函数值的符号; b (3)相应二次函数图象——抛物线的对称轴 x=-2a与端点的位置关 系. 设 x1,x2 是实系数二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,则 x1,x2 分布范围与二次方程系数之间的关系如下表: 根的 分布 x1<x2<k k<x1<x2 x1<k<x2 x1,x2∈(k1, k1<x1<k2< k2) x2<k3 在(k1,k2)内 有且仅有一 个根

图象

等价 条件 f(k)<0

8

二、1.形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数且 a≠0)的函数叫做二次 函数 2 . (1)y= ax2+ bx+ c(a≠0) x1)(x-x2)(a≠0)
?4ac-b2 ? 3.(1)? ,+∞? ? 4a ?

(2)y= a(x- h)2 + k(a≠0)

(3)y= a(x-

? 4ac-b2? ?-∞, ? 4a ? ?

b (2)x=-2a (3)上
?

2 ? b 4ac-b ? ?- , ? 4a ? ? 2a


? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

? ? b (4)?-2a,+∞?

(5)b=0 b≠0 4.(1)f(p) f(q)
? (2)f(p) f? ?-2a? ? ? ?

b?

(3)f(q) f? ?-
?

?

b? ? (4)f(q) 2a? ?

f(p),
基础自测 1.(2012· 柳州模拟)已知函数 y=x2-4ax(1≤x≤3)是单调递增函数, 则实数 a 的取值范围是( )
? 1? A.?-∞,2? ? ? ?1 3? C.?2,2? ? ?

B.(-∞,1]
?3 ? D.?2,+∞? ? ?

解析:对称轴为 x=2a,依题意,对称轴应在区间[1,3]的左侧(包括 1 左端点).所以 2a≤1,得 a≤2.故选 A. 答案:A
9

2. “a<0”是“方程 ax2+1=0 有一个负数根”的( A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 解析:若 a<0,则由 ax2+1=0 得 x2=-a,即 x=±
2

)

1 -a,所以
0

1 方程有一个负根;反之,若方程有一个负根,设为 x0,则 a=-x2<0.所 以“a<0”是“方程 ax +1=0 有一个负数根”的充要条件.故选 B. 答案:B 3.(2013· 揭阳一中段考)若函数 f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1 的 定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围是( ) A.{a|a=-1 或 a=3} B.{-1} C.{a|a>3 或 a<-1} D.{a|-1<a<3}

解析:依题意知函数 f(x)为一次函数,所以 a2-2a-3=0,解得 a =-1 或 a=3.当 a=3 时,f(x)=1,值域不为 R,故舍去.故选 B. 答案:B 4.已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单 调函数,则实数 a 的取值范围是_

解析:函数图象的对称轴为 x=a,当 a≤2 或 a≥3 时,函数在(2,3) 内是单调函数. 答案:(-∞,2]∪[3,+∞)
10

1.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

)

解析:当 a>0 时,由 abc>0 知 b,c 同号,对应的图象应为 C 或 D, b 在 C,D 两图中有 c<0,故 b<0,因此得-2a>0,选项 D 符合,同理可 判断当 a<0 时,选项 A,B 都不符合题意.故选 D. 答案: D 2.(2013· 重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) +(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

解析:由于 a<b<c,所以 f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0,f(b)=(b-c)(b -a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,又因 f(x)是 关于 x 的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数 f(x)的两零 点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选 A. 答案:A

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1.已知函数 y=x2+bx+c,且 f(1+x)=f(-x),则下列命题成立的 是( ) A.f(x)在区间(-∞,1]上是减函数
? 1? B.f(x)在区间?-∞,2?上是减函数 ? ?

C.f(x)在区间(-∞,1]上是增函数
? 1? D.f(x)在区间?-∞,2?上是增函数 ? ?

1 解析: 因为 f(1+x) = f(- x),所以对称轴是 x=2 . 所以 f(x)在区间
? 1? ?-∞, ?上是减函数.故选 2? ?

B.

答案:B 2.函数 f(x)=ax2+ax-1 在 R 上恒满足 f(x)<0,则 a 的取值范围是 ) A.(-∞,0] C.(-4,0) B.(-∞,-4) D.(-4,0]

(

解析:当 a=0 时,f(x)=-1 在 R 上恒有 f(x)<0; 当 a≠0 时,因为 f(x)在 R 上恒有 <a<0. 综上可知:-4<a≤0. 答案:D
? ?a<0, f(x)<0,所以? 2 ?a +4a<0, ?

得-4

12



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