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高中数学必修5 之 正弦定理和余弦定理试题答案



正弦定理和余弦定理试题答案 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 60 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( ) 2 2 2 2 6 6 A.- 3 B. 3 C.- 3 D. 3 a b bsinA 3 6 解析: 依题意得 0° <B<60° 由正弦定理得sinA=sin

B得 sinB= a = 3 , , cosB= 1-sin2B= 3 , 选 D. 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A =( ) A.30° B.60° C.120° D.150° b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 解析:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,由余弦定理得 cosA= = = 2 ,于 2bc 2bc 是 A=30° ,故选 A. 3.(2010· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( ) 16 2 3 3 A.27 B.3 C. 3 D.4 1 2 解 析 : 设 AC = 1 , 则 AE = EF = FB = 3 AB = 3 , 由 余 弦 定 理 得 CE = CF = CE2+CF2-EF2 4 5 2 2 AE +AC -2AC· AEcos45° 3 ,所以 cos∠ECF= = =5, 2CE· CF ?4? 1-?5?2 sin∠ECF ? ? 3 所以 tan∠ECF= = =4. 答案:D 4 cos∠ECF 5 π? ? 4.△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈?0,2?,则△ABC 的形状是( ) ? ? A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 a 2 a 2 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2,∴lgc =lgsinB=lg 2 .∴c =sinB= 2 . a2+c2-b2 3a2-b2 π? π 2 ? ∵B∈?0,2?,∴B=4,由 c= 2a, 得 cosB= = 2 = 2 . 2ac ? ? 2 2a 2 2 ∴a =b ,∴a=b. 答案:D 5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30° , △ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( ) 3+ 3 A.1+ 3 B.3+ 3 C. 3 D.2+ 3 4+2 3 3+ 3 1 1 1 3 解析: 2b=a+c, ac·=2?ac=2, 2+c2=4b2-4, 2=a2+c2-2ac·2 ?b2= 3 ?b= 3 . a b 2 2 答案:C 1 6.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a、b、c 是三角形中各内角的对应边,若 sin2A-cos2A=2, 则( ) A.b+c=2a B.b+c<2? C.b+c≤2a D.b+c≥2a 1 1 解析: sin2A-cos2A=2, cos2A=-2, 又 A 是锐角, 由 得 所以 A=60° 于是 B+C=120° 所 , . B+C B-C 2sin 2 cos 2 b+c sinB+sinC B-C 以 2a = 2sinA = =cos 2 ≤1,b+c≤2a. 答案:C 3

2 ,则 sin A ? cos A ? 3 5 5 15 15 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3 解:由 sin2A=2sinAcosA?0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA?0, 5 又 (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ? ,故选 A 3 8、如果 ?A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则

7、若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

A. ?A1B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A1B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解: ?A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? ? ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ? 故选 D。 ? ? ? ? ? ? 9、? ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为 ? ? ? 2? (A) (B) (C) (D) 3 6 3 2 ? ? ? 2 2 2 【 解 析 】 p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b ? a ? c ? ab , 利 用 余 弦 定 理 可 得 2 cos C ? 1 , 即 1 ? c o s ? ? C ? ,故选择答案 B。 C 2 3 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学 们的运算能力。 10、已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( ) 3 15 15 A. B. 3 C. D. 2 8 7 15 A 2? 2 tan A 15 15 ? 15 ,选 D 2 ? 解:依题意,结合图形可得 tan ? ,故 tan A ? A 7 2 15 15 2 1 ? tan 2 1? ( ) 2 15 11、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ?
1 3 2 B. C. 4 4 4 解: ?ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 b= 2 a,

A.

D.

2 3

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 = cos B ? ? ,选 B. 2ac 4a 2 4
12、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= (A) 1

(B)2 (C) 3 —1 1 解:由正弦定理得 sinB= ,又 a?b,所以 A?B,故 B=30?,所以 C=90?,故 c=2,选 B 2

? ,a= 3 ,b=1,则 c= 3 (D) 3



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