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任意角三角函数基础



§ 4.1

任意角的三角函数

1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90° 的角},那么 A、B、C 关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A? C D.A=B=C 2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是( ) π π A.3 B.-3 π π C.6 D.-6 3.已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 α 的终边( ) A.在 x 轴上 B.在直线 y=x 上 C.在 y 轴上 D.在直线 y=x 或 y=-x 上 π π 4.若4<α<2,则( )

A.sinα>cosα>tanα B.cosα>tanα>sinα C.sinα>tanα>cosα D.tanα>sinα>cosα 5.角 α 的终边上有一点 P(a,a)(a≠0),则 cosα=( ) 2 2 A. 2 B.- 2 2 2 C. 2 或- 2 D.1 2a-3 6. 已知 cosx= , 是第二、 x 三象限的角, a 的取值范围为__________. 则 4-a 3 7.满足 sinx= 2 的 x 的集合为__________. 8. 圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长, 则这段弧所对圆心角的弧度 数是_____.

9.已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,扇形面积 最大?并求出这个最大面积.

10.已知在直角坐标系中,角 α 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴 上. α (1)若 α 角的终边与 168° 角的终边相同,求在 0° ~360° 内终边与3角的终边相 同的角; 1 1 (2)若 α 的终边过函数 y=(2)x 与 y=log2x 的图象的交点,求角 α 的集合.

11.(探究选做) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 3 x 轴的正半轴上,直线 AB 的倾斜角为4π,|OB|=2,设∠AOB= π 3 θ,θ∈(2,4π). 用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|.

参考答案
§ 4.1 任意角的三角函数

1.解析:选 B.B?A,排除 A、D;A 与 C 没有一种确定关系,故选 B. 2π π 2.解析:选 C.把分针逆时针转动12=6. 3.解析:选 A.画单位圆,可知 α 的终边在 x 轴的非正半轴或非负半轴上. 4.解析:选 D.作三角函数线. 5.解析:选 C.∵r= a2+a2= 2|a|, a 2 当 a>0 时,cosα= =2; 2a a 2 当 a<0 时,cosα= =- 2 ,∴选 C. - 2a

?2a-3<0 ? 4-a 2a-3 6.解析:-1<cosx<0,-1< <0,? 4-a 2a-3 ? 4-a >-1 ?
3 答案:(-1,2)

3 ,-1<a<2.

π 2 3 7.解析:∵在(0,2π)内有 sin3=sin3π= 2 , π 2 ∴x=3+2kπ 或3π+2kπ,k∈Z. π 2 答案:{x|x=3+2kπ 或 x=3π+2kπ,k∈Z} 8.解析:设圆半径为 R,则边长为 2 3R. 答案:2 3 9.解:法一:设扇形的圆心角为 α(0<α<2π),半径为 r,面积为 S,弧长为 l, 则有 l=αr. 4 由题意有:αr+2r=4,得 r= (cm), α+2 1 4 2 8α ∴S=2( )· α= 2 α+2 α +4α+4 8 8 = ≤ =1(cm2), 4 4 α+α+4 2 α·+4 α 4 当且仅当 α=α,即 α=2 时取等号, 4 此时 r= =1(cm). 2+2 故当半径 r=1 cm,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大,其最大值为 1 cm2. 法二:设扇形的圆心角为 α(0<α<2π),半径为 r,面积为 S,则扇形的弧长为 4-2r rα,由题意有:2r+rα=4?α= r . 1 1 4-2r ∴S=2αr2=2× r ×r2 =2r-r2=-(r-1)2+1, ∴当 r=1(cm)时,S 有最大值 1(cm2), 4-2r 此时 α= r =2(弧度). 故当半径为 1 cm,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大,其最大值为 1 cm2. α 10.解:(1)α=k· +168° 360° ,k∈Z,3=k· +56° 120° ,k∈Z. 依题意得 0≤k· +56° 120° <360° , 当 k=0,1,2 时,k· +56° 0° 120° 在 ~360° 内, α 所以在 0° ~360° 内与3终边相同的角有 56° ,176° ,296° .

1 (2)∵函数 y=(2)x 与 y=log1x 互为反函数, 故两图象交点在第一象限且在直线
2

y=x 上,故 α 的终边与 45° 角的终边相同,∴角 α 的集合是{α|α=k· +45° 360° ,k ∈Z}. 11.解:设 B(x,y),∵|OB|=2, x 由 cosθ=|OB|, ∴x=2cosθ, y sinθ=|OB|,y=2sinθ. ∴B(2cosθ,2sinθ). 3 又∵kAB=tan4π=-1, ∴AB 的方程为 y-2sinθ=-(x-2cosθ). 令 y=0,∴x=2sinθ+2cosθ, π 3 ∵θ∈(2,4π), ∴sinθ+cosθ>0, ∴|OA|=2sinθ+2cosθ.



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