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第三章函数的应用3.2函数模型及其应用(2)教案新人教A版必修1


函数模型及其应用 【教学目标】 函数模型及其进一步的应用 【重点难点】 恰当选择数学模型解决实际问题 【教学过程】 一、情景设置 二、教学精讲 例 1.课本习题 3.2A 组第 4 题 例 2.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一台,需要增加可变 x 成本(即另增加投入)0. 25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 台, 销售的收入函数为 R(x)=5x? 2 (0≤x≤5)(单位:万元),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). (1) 把利润表示为年产量的函数; (2) 年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3) 年产量是多少时,工厂才不亏本? 解:(1)利润 2 ? ??0.5+4.75x?x 0≤x≤5 2 y=R(x)?C(x)(固定成本+可变成本)=? ? x>5 ?12?0.25x 2 2 x 1 2 1 2 (2)若 0≤x≤5,则 y=?0.5+4.75x? =? (x?4.75) + ?4.75 ?0.5, 2 2 2 ∴当 x=5 时,y 有最大值 10.75; 若 x>5,则 y=12?0.25x 是减函数,∴当 x=6 时,y 有最大值 10.50. 综上可得,年产量为 500 台时,工厂所得利润最大. x (4) 当 0≤x≤5 时,由 y≥0,即?0.5+4.75x? ≥0,解得 0<x≤5,x∈Z; 2 当 x>5 时,y≥0,即 12?0.25x≥0,解得 5<x≤48. 综上可得,当年产量 x 满足 1≤x≤48,x∈Z 时,工厂不亏本. 例 3.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据检测,服药后每毫升血液 中的含药量 y 与时间 t 之间近似值满足如图所示曲线. (1) 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系; (2) 据测定,每毫升血液中的含药量不少于 4 微克时 6 y (微克) 2 o 0.5 8 t (小时) 1 治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为 7:00,第二次应在什么时间服药效果最佳? 解:由题意得,当 0≤t<0.5 时,y=6; 当 0.5≤t≤8 时,函数图象是直线,则可设 y=kx+b(k≠0). 4 k=? ? 5 ?6=0.5k+b 4 32 由图象得? ,解得? ,即此时 y=? t+ . 32 5 5 ?0=8k+b ?b= 5 0≤t<0.5 ? ?6 综上所得,y 与 t 之间的函数关系为 y=? 4 32 . ? t+ 0.5≤t≤8 ? 5 5 ? 4 32 (2)设在第一次服药 t1 小时后第二次服药,则? t1+ =4,解得 t1=3,即第二次服药应在 10:00. 5 5 三、探索研究 四、课堂练习 1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现,如果月初出售,可获利 15%,并可用本和利再投资其它商品,到月末又可获利 10%;如果月末出售,可获利 30%,但要付出 仓储费用 700 元,请根据商场情况,如何购销获利较多? 解 : 设 商 场 投 资 x 元 , 在 月 初 出 售 , 到 月 末 可 获 y1 元 , 在 月 末 出 售 , 可 获 利 y2 元 , 则 y1=15%+10%(x+15%x)=0.265x,y2=0.3x?700. 当 x>20000 时,y2>y1;当 x=20000 时,y2y1;当 x<20000 时,y2<y1. ∴当投资小于 20000 时,月初出售;当投资等于 20000 时,月初、月末出售均可;当投资大于 20000

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