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新高三暑期数学竞赛辅导二



新高三暑期数学竞赛辅导二
例一 自圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA,PB,其切点为 A,B,在劣弧 AB 上任取一点 C,经过点 C 作圆 O 的切线,分别交 PA,PB 于点 D,E。又 AB 与 OD,OE 分别相交于 G,F,DF 与 EG 相交于 H。求 证:O,H,C 三点共线。

P A D

G O

r />
H F

C E B

例二 如图,M,N,P 分别为正 ? ABC, ? DCE, ? BEF 的重心。求证: ? MNP 为正三角形。
D A N E C

M B

P

F

例三 设 M 为 ? ABC 的重心,且 AM=3,BM=4,CM=5,求 ? ABC 的面积。 例四 ? ABC 为锐角三角形,求证:

cos A cos B cos C 3 ? ? ? cos( B ? C ) cos( B ? A) cos( A ? B) 2

例五 在 ? ABC 中, ?B ? 2?C ,P 是形内一点,满足 AP=AB,PB=PC.求证: ?PAC ?

1 ?BAC 3

例六 试证:过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边,以交点为一顶点的三 角形的外心。 例七 圆 A,圆 B 相交于 C,D,且它们都与圆 O 内切,切点为 M,N,射线 CD 交圆 O 于 P,PM 交圆 A 于 E,PN 交圆 B 于 F.证明:EF 是圆 A 和圆 B 的公切线。

例八 如图,在 ? ABC 中,G 为重心,P 为形内一点, 直线 PG 交直线 BC , CA , AB 于 A?, B?, C ? . 求证:
A

A?P B?P C ?P ? ? ? 3. A?G B?G C ?G
G P C

B

例九 如图, AB 是⊙ O 的直径,C , D 是圆上异于 A 、 B ,且在 AB 同侧的两点,分别过 C 、 D 作⊙的 O 切线,它们交于点 E ,线段 AD 与 BC 的交点为 F , 线段 AB 与 EF 的交点为 M ,ED 于 AB 延长线交于 Q,EC 于 BA 延长线交于 P,连结 PD,CQ,交于 G.求证: (1) E 、 C 、 M 、 D 四点共圆。

(2)G、F、E 三点共线。
E
E

C G P A O M D

C F A
B Q

D B

O

M

例十.已知: ?ABC 中, ?A ? 90? , AD 切⊙ ABC , AD 交 BC 延长线于 D , E 是 A 关于 BC 的对称 点, AY ? BE 于 Y , X 是 AY 中点,延长 BX 交⊙ ABC 于 J ,求证: BD 切 ?AJD 外接圆。

A

J B X O Y E F C D