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【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三上学期9月月考数学(文)试题



哈师大附中2014级高三上学期第一次月考考试

数学文科试题
一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 I ? R ,集合 A ? { y | y ? x2 ? 2} , B ? {x | y ? log2 (3 ? x)} ,则 A ? B 等于 A

. {x | ?2 ? x ? 3} B. {x | x ? ?2} C. {x | x ? 3} D. {x | x ? ?2} 2.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 (??, ??) 是单调函数,则实数 a 的取值范围是 A. (??, ? 3] ? [ 3, ??) B. [? 3, 3] C. (??, ? 3) ? ( 3, ??) D. (? 3, 3)

3.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| 的图像大致是

4.若 ? ABC 的三个内角满足 tan A tan B tan C ? 0 ,则 ? ABC 是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 5.已知 ? ? (

?
2

, ? ),sin ? ?
C. ?

3 ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4

1 A. B.7 7

1 D. ?7 7

AD ? b ,那么向量 MN = 6.已知在平行四边形 ABCD 中,点 M、N 分别是 BC、CD 的中点,如果 AB =a,
1? 1? 1? 1? ? 1? 1? 1? a ? b B. ? a ? b C. a ? b D. ? a ? b 2 2 2 2 2 2 2 2? 0.5 7.若 a ? 2 , b ? log? 3, c ? log 2 sin ,则 5 A. c ? a ? b B. a ? c ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c
A. 8.已知函数 f ( x ) 为奇函数,且 x ? 0 时 f ( x) ? 2 ? 2 ,则不等式 f ( x ? 1) ? 0 的解集为
x

??? ? ? ????

?

???? ?

A. C.

? x x ? 0或1 ? x ? 2? B. ? x -2 ? x ? ?1或x ? 0? ? x x ? ?2或-1 ? x ? 0? D. ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?
?

9.要得到函数 g ( x) ? 2 cos(2 x ?

) 的图像,只需将 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图像 3 3 ? 1 A.向右平移 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 2 2
B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移

?

?

? ?

2 4 4

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的

1 (横坐标不变) 2

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)

10.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得 旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6m (如图),则旗杆的高度为 A. 10m B. 30m C. 10 3m D. 10 6m

11.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2, 当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x2 , 那么函数 y ? f ( x) 与函数 y ?| lg x | 的图像的交点共 有 A.1 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 12.在钝角 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b2 ? c2 ? a 2 ? bc , a ? 是 A. (1, ) B. (

3 ,则 b ? c 的取值范围 2

3 2

1 3 1 3 3 3 , ) C. ( , ) D. ( , ] 2 2 2 2 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos(

? x) 的最大值是. 2 ) 14.若曲线 y ? 1 ? loga x (a ? 0且a ? 1) 在点 (1,1 处的切线经过坐标原点,则 a ? .

?

?a, a ? b ,例如: 1 ? 2 ? 1,3 ? 2 ? 2 ,则函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的值域为. ?b, a ? b ? 16.关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? ), ( x ? R) ,有下列命题 6 ①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍;
15.规定一种运算: a ? b ? ? ②函数 y ? f ( x) 在 ? ?

? ? ?? 单调递增; , ? 6 3? ?

③函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ?

?

6

, 0) 对称

④函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 . 所有正确命题的序号是. 3
x ?1 2 2 的定义域集合是 A,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2a ? 1) x ? a ? a] 的定义 x?2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 域集合是 B . (1)求集合 A、B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a 的最大值为 2 .

(1)求 a 的值,并求函数 f ( x ) 图像的对称轴方程; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 域.

? ? ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [ , ] 上的值 12 6 3

.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)画出函数 f ( x) 在区间 [?

? ? ? ) ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) . 3 4 4

? 5? , ] 上的图象. 6 6

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) x . (1)若 a ? ?4 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2) 上单调递减,求实数 a 的取值范围 .

21.(本小题满分 12 分)已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (1) 若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b 的值; (2) 若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值.

?
3



22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m,(m ? R) , x ? [0, (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若函数 f ( x) ? 0 对任意 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 m 值; (3)在(2)的条件下,若 0 ? a ? b ,证明:

?
2

].

f (b) ? f (a ) ? 1? a . ln b ? ln a

哈师大附中2014级高三上学期第一次月考考试

数学文科答案
一、 题号 答案 二、 13.514. 选择题 1 A 填空题 2 B 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 B 11 D 12 B

e

15. ? ?1,

? ?

2? ? 2 ?

16.②④

三、解答题、 17. (本题满分 10 分) (1)

x ?1 ? 0 ? x ? ?1或x ? 2 ? A ? ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? x?2

( x ? a)( x ? a ?1) ? 0 ? x ? a或x ? a ?1 ? B ? ? ??, a ? ? ? a ?1, ??? ??5 分
(2)A∪B=B ? A ? B ? ? 18.(本小题满分 12 分)
2 (1) f ? x ? ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? a ? 2sin(2 x ?

?a ? ?1 ? ?1 ? a ? 1 ??????10 分 ?a ? 1 ? 2

?
6

) ? a ?1

ymax ? 2 ? a ? 1 ? 2 ? a ? ?1

? k? ? f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) ,对称轴: x ? ? (k ? Z ) ??????6 分 6 2 6
(2) g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? 2sin 2 x

? ? ? 2? 3 x ? [ , ] ? 2 x ? [ , ] ? sin 2 x ?[ ,1] ? 2sin 2 x ?[ 3,2] 6 3 3 3 2
函数 g ( x) 在区间 [ , ] 上的值域为 . [ 3,2] ??????12 分

? ?

6 3

19. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? cos(2 x ?

T ??
2 k? ?

? ? ? ? ) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) ? sin(2 x ? ) 3 4 4 6
?
6 ? 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
2

? k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? ?? ? ?增区间为: ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) ??????6 分 6 3? ?
(2)

x
2x ?
y

?

? ?
6 2

?
6

?

? 12 0
0

? 3 ? 2
1

?
0

7? 12

5? 6 3? 2
-1

-1

??????9 分

??????12 分
20.(本小题满分 12 分) (1) f ?( x) ?

(5 x ? 2)( x ? 2) 2 x 2 2 2 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 或x ? 2 ; f ?( x) ? 0 ? ? x ? 2 , f ?( x) ? 0 ? x ? 或x ? 2 5 5 5 x (2, ??) 2 2 2 2 (0, ) ( , 2) 5 5 5 ? + 0 + f ( x) 0 y 递增 极大值 递减 极小值 -递增

??????4 分 2 64 10 f ( x)极大值 =f ( ) ? ; f ( x)极小值 =f (2) ? 0. ??????6 分 5 125 5 x 2 +3ax ? a (2) f ?( x) ? 2 x
f ( x) 在区间 (1, 2) 上单调递减 ? f ?( x) ? 0 在区间 (1, 2) 上恒成立 ??????8 分 ? f ?(1) ? 0 ?5 ? 2a ? 0 ?? ?? ? a ? 4 ??????12 分 ? f ?(2) ? 0 ?20 ? 5a ? 0
21.(本小题满分 12 分) (1) S?ABC ? ab sin C ? ab sin

1 2

1 2

?
3

? 3 ? ab ? 4 ①

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ? 2ab 2 ? ? a ? b ? 4② ? ab ? 4 ? 由①②得 a ? b ? 2

(2) sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ? sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

? sin B cos A ? 2sin A cos A ? 若 cos A ? 0 ,则 A ? ; 2 若 cos A ? 0 ,则 sin B ? 2sin A ? 2? 3 3 3 ? ? A? . 已知 C ? ,上式化为 sin( ? A) ? 2sin A ? cos A ? sin A ? tan A ? 6 3 3 2 2 3 ? ? 综上 A ? 或 A ? . 2 6
22.(本小题满分 12 分)

1 ?m x 若 m ? 0, 则 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 )恒成立; 1 1 若 m ? 0, 则 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ; f ?( x) ? 0 ? x ? m m
(1) f ?( x ) ?

综上 m ? 0, f ( x ) 在 (0, ??) 递增;

1 1 ) 递增,则 ( , ?? ) 递减. m m (2)由(1)知 m ? 0, f ( x ) 在 (0, ??) 递增,又 f (1) ? 0,? x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,不符合题意,舍去; 1 若 m ? 0, 只需 f ( x) max ? f ( ) ? m ? 1 ? ln m ? 0 , m 1 设 h(m) ? m ? 1 ? ln m, 则 h(m) ? 1 ? , h?(m) ? 0 ? m ? 1; h?(m) ? 0 ? 0 ? m ? 1 m h(m) 在 (0,1) 递减,在 (1, ??) 递增, ? h(m)min ? h(1) ? 0 . m ? 0且m ? 1? 时, h(m) ? 0 . 当且仅当 m ? 1 时 h(m) ? (?)0 ,综上 m ? 1 . (3) m ? 1, f ( x) ? ln x ? x ? 1 b ?1 f (b) ? f (a) , 0 ? a ? b, ? 1? a ? a b ln b ? ln a ln a b 设 ? t , t ? 1 .由(2)知 x ? 1时 t ? 1 ? ln t ? 0 恒成立,所以 t ? 1 ? ln t ? 0 , a b b ?1 ?1 t ?1 f (b) ? f (a ) a a ? 1 ,即 ? 1? a 所以 ? 1 ,因为 a ? 0 ,所以 1 ? a ? ? 1 ? a ,即 b b ln t ln b ? ln a ln ln a a
m ? 0, f ( x) 在 (0,



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