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(北师大版)数学必修五:1.2《等差数列(第3课时)》ppt课件



成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5

第一章
数 列

第一章

数列

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·必修5

第一章
§2 第3课时 等差数列

等差数列的前n项和

第一章

数列

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1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

第一章

§2

第3课时

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课前自主预习

第一章

§2

第3课时

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小飞在上高一时参加迎新生的场面,负责迎新的老师为了让 同班新同学互相认识,要求出席的 40 位 同学互相握手为礼,并同时彼此介绍自 己.热闹一番后,同学们已完成这项使 命. 老师随即提出了一个问题: 有谁知道, 全体同学共握手多少次?同学们你能回答吗?让我们来学习这 节解决这个问题吧!

第一章

§2

第3课时

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1.等差数列的前 n 项和公式 n?n-1? n?a1+an? na1+ 2 d 公式 1:Sn=________ ,公式 2:Sn=________. 2 2.等差数列的前 n 项和公式的函数意义 d 2 d n?n-1? 2n +(a1-2)n d d 由 Sn=na1+ 2 d=________,若令2=A,a1-2=B,

(n,Sn) 在常数项为 0 的 则 Sn=An2+Bn,可知当 d≠0 时,点________
二次函数的图像上,可由二次函数的知识解决 Sn 的最值问题.

第一章

§2

第3课时

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3.等差数列的前 n 项和的性质 (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B∈R),则数列

等差数列 ; {an}一定是__________
Sn Sn 等差数列 (2)由 Sn=An +Bn,可知数列{ n }是________,点(n, n )
2

在直线上;

S3k-S2k (3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sk, S2k-Sk, ________
三个数成等差数列.

第一章

§2

第3课时

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1.在等差数列{an}中,已知a2=2,a8=10,则前9项和S9=
( ) A.45 B.52

C.108
[答案] D
[ 解析 ] 12,

D.54
∵ {an} 是等差数列,∴ a2 + a8 = a1 +a9 = 2+ 10 =

9×?a1+a9? 9×12 ∴S9= = 2 =54. 2
第一章 §2 第3课时

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2.等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是(

)

A.12
C.36 [答案] B

B.24
D.48

10?a1+a10? [解析] S10= =120,∴a1+a10=24. 2

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1 3.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=2,S4=20,则 S6=( ) B.24 D.48

A.16 C.36

[答案] D [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,
1 1 4×3 ∵a1=2,S4=4×2+ 2 d=2+6d=20, 1 6×5 ∴d=3,故 S6=6×2+ 2 ×3=48,故选 D.
第一章 §2 第3课时

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4.等差数列{an}中, a1=1,a3 +a5=14,其前n项和Sn= 100,则n=________.

[答案] 10 [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+2d+a1+4d=14 由题意,得? ? ?a1=1

,解得 d=2.

n?n-1? 又 Sn=na1+ 2 ×d, n?n-1? ∴100=n+ 2 ×2 解得 n=10.
第一章 §2 第3课时

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5.等差数列{an}中,S11=2013,则a6=________.

[答案] 183

11?a1+a11? 11×2a6 [解析] ∴S11= = 2 =11a6=2013, 2 ∴a6=183.

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课堂典例讲练

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用等差数列前n项和公式求和
在等差数列{an}中, (1)a1=105,an=994,d=7,求 Sn; (2)已知 a14=10,求 S27; (3)已知前 3 项和为 13, 末 3 项和为 32, 前 n 项和 Sn=105, 求项数 n; (4)若 S12=84,S20=460,求 S28.

第一章

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[分析]

n?a1+an? (1)(2)(3)化为 求和.(4)先求 a1,d,再由 2

n?n-1? Sn=na1+ 2 d 求和,或由 Sn=an2+bn,先求 a,b,再求 和.[解析] (1)由 an=a1+(n-1)d,

得 994=105+(n-1)×7,解得 n=128. n?a1+an? 128×?105+994? 所以 Sn= = =70 336. 2 2 (2)因为 a14=10,a1+a27=2a14, 27×?a1+a27? 所以 S27= =27a14=270. 2
第一章 §2 第3课时

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(3)由已知,得 a1+a2+a3=13, an+an-1+an-2=32. 而 a1+an=a2+an-1=a3+an-2, 所以 3(a1+an)=45,a1+an=15. n?a1+an? 由 Sn= =105,解得 n=14. 2

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(4)方法 1:因为{an}是等差数列 n?n-1? 所以 Sn=na1+ 2 d ? ?12a +12×11d=84 1 2 ? 由已知,得? 20×19 ? 20a1+ 2 d=460 ? ?
? ?a1=-15 解得? ? ?d=4

28×27 28×27 所以 S28 = 28a1 + 2 d = 28×( - 15) + 2 ×4 = 1 092.
第一章 §2 第3课时

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方法 2:设此等差数列的前 n 项和为 Sn=an2+bn, 因为 S12=84,S20=460
2 ? ?a×12 +b×12=84, 所以? 2 ? ?a×20 +b×20=460.

? ?a=2, 解得? ? ?b=-17,

所以 Sn=2n2-17n,所以 S28=2×282-17×28=1 092.

第一章

§2

第3课时

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[方法总结] 注意哪些技巧:

等差数列前 n 项和公式有何特点,应用时应

(1)由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知, 若已知 a1、 d、n、an、Sn 中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”, “知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解. (2)在运用等差数列的前 n 项和公式来求和时,一般地若已 n?a1+an? 知首项 a1 及末项 an 用公式 Sn= 较简便;若已知首项 2 n?n-1? a1 及公差 d 用公式 Sn=na1+ 2 d 较好.
第一章 §2 第3课时

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n?a1+an? (3)在运用公式 Sn= 求和时,要注意性质“m、n、 2 p、q∈N+且 m+n=p+q?am+an=ap+aq”的运用. (4)第(4)题若根据等差数列前 n 项和 Sn 的特点, 利用待定系 数法,把 Sn 设出,则显得比较简捷.

第一章

§2

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在等差数列{an}中, (1)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8; (2)已知 a3+a15=40,求 S17.

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[解析] (1)∵a6=10,S5=5,
? ?a1+5d=10 ∴? ? ?5a1+10d=5 ? ?a1=-5 ,解得? ? ?d=3

.

8?a1+a8? ∴a8=a6+2d=16,S8= =44. 2 (2)∵a1+a17=a3+a15, 17?a1+a17? 17?a3+a15? 17×40 ∴S17= = = 2 =340. 2 2

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等差数列前n项和性质的应用

一个等差数列{an}的前 n 项和为 25,前 2n 项和 为 100,求该数列的前 3n 项的和.

[分析]

可利用等差数列的基本公式求解,也可以利用等

差数列前 n 项和性质求解.

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§2

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[解析] 解法一: 设数列的首项为 a1, 公差为 d, 则由已知, ? ?na +n?n-1?d=25 2 ? 1 得? 2n?2n-1? ? 2na + d=100 ? 2 ? 1

,解得 n2d=50.

? 3n?3n-1? n?n-1? ? ? ? 2 ∴S3n=3na1+ d = 3 + 3 n d=3×25 na + d ? 1 ? 2 2 ? ?

+3×50=225.

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解法二:∵数列{an}为等差数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等差数列, 即 Sn+S3n-S2n=2(S2n-Sn). ∴S3n=3(S2n-Sn)=3×(100-25)=225.

第一章

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第3课时

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[方法总结]

n?a1+an? (1)等差数列前 n 项和 Sn= 与等差数 2

列性质“若 m+n=p+q,m、n、p、q∈N+,则 am+an=ap+ aq”经常结合起来使用,使这类问题的解决更具灵活性. (2)若等差数列的前 n 项和为 Sn, 则 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, ? 仍成等差数列. (3)数列{an}、{bn}为等差数列,Sn、Tn 分别是其前 n 项和, am S2m-1 则有结论b = . T2m-1 m

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Sn 两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若T = n 2n an ,求b . 3n+1 n

[分析] 既可利用 Sn,Tn 列方程组,建立首项与公差的关 S2n-1 an 系进行求解,也可利用 = 来求解. T2n-1 bn

第一章

§2

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[解析] 解法一:设 an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e. a1 S1 1 取 n=1,则b =T =2,∴b1=2a1. 1 1 n?n-1? n-1 n d na1+ 2 d a1+ 2 d a1+2d-2 2n Sn ∴T = = = = , n e n?n-1? n-1 3n+1 n 2 a + e - nb1+ 2 e b1+ 2 e 1 2 2 3 2 3 d d 故 en +(4a1-e)n=2dn +(3a1-2d+2)n+a1-2.
2

第一章

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? 3 ?e=2d, ? 从而?4a1-e=3a1-d, ? d ?a1- =0. 2 ?

? ?d=2a1, 即? ? ?e=3a1.

an 2n-1 ∴b = . 3 n - 1 n

a1+a2n-1 n?a1+a2n-1? 2 2 an 解法二:b = = b1+b2n-1 n?b1+b2n-1? n 2 2 S2n-1 2?2n-1? 2n-1 = = = . T2n-1 3?2n-1?+1 3n-1
第一章 §2 第3课时

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等差数列前n项和的最值问题

3 21 已知在等差数列{an}中,an=2n- 2 ,问:当 n 为何值时,Sn 取得最小值?
[分析] 根据数列的特点,可利用 an 的符号变化,也可利 用二次函数的性质求 Sn 的最小值.

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3 21 3 [解析] 解法 1:因为 an=2n- 2 ,所以 d=2>0. 因此{an}为单调递增数列,
? ?an≤0, 因此当? ? ?an+1≥0

时,Sn 取得最小值.

21 ?3 ?2n- 2 ≤0, 由? ?3?n+1?-21≥0, 2 ?2 解得 6≤n≤7,∵n∈N+ 所以当 n=6 或 7 时,Sn 取得最小值.
第一章 §2 第3课时

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3 21 解法 2:因为 an=2n- 2 , 3 所以 d=2>0,a1=-9. n?n-1? 3 2 所以 Sn=na1+ 2 d=4(n -13n) 3 13 2 169 =4[(n- 2 ) - 4 ]. 又因为 n 为正整数, 所以当 n=6 或 7 时,Sn 取得最小值.

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[ 方法总结 ] 法:

解决求等差数列的前 n 项和的最值问题的方

(1) 在等差数列中,若 a1>0 , d<0 ,则 Sn 必有最大值;若 a1<0,d>0,则Sn必有最小值.

(2)Sn的最值的求法
①用等差数列前n项和的函数表达式Sn=An2+Bn,通过配 方或求二次函数最值的方法求得,但要注意求其正整数解.

第一章

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②在等差数列中有关 Sn 的最值问题除了借助二次函数图像 求解,还常用邻项变量来求解. 当 a1>0, d<0
? ?an≥0 时, 满足? ? ?an+1≤0 ? ?an≤0 时, 满足? ? ?an+1≥0

的项数 n, 使 Sn 取最大值.

当 a1<0, d>0

的项数 n, 使 Sn 取最小值.

注意两个不等式都有等号.

第一章

§2

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在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn 的最大值.
[解析] 解法一:利用前 n 项和公式和二次函数性质,由 S17=S9 得 17 9 25×17+ 2 (17-1)d=25×9+2(9-1)d,解得 d=-2, n ∴Sn=25n+2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169, ∴由二次函数性质,当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

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解法二:同解法一先求出 d=-2.因为 a1=25>0, 1 ? n≤132 ? ? a = 25 - 2 ? n - 1 ? ≥ 0 ? n 由? ,得? ? ?an+1=25-2n≤0 ?n≥121 2 ? 所以当 n=13 时,Sn 有最大值 169.



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解法三: 同解法一先求出 d=-2.由 S17=S9, 得 a10+a11+? +a17=0, 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14 =0.因为 d=-2<0,a1>0,所以 a13>0,a14<0,故 n=13 时, Sn 有最大值 169. 解法四:同解法一先求出 d=-2.由 d= -2,得 Sn 的图像如图所示(图像上一些孤 9+17 立点), 由 S17=S9 知图像对称轴为 n= 2 =13,所以当 n=13 时,Sn 取得最大值 169.
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易混易错点睛

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已知两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 a11 Sn 7n+1 Sn、Tn,且T = (n∈N+),求b . 4 n + 27 n 11 Sn 7n+1 [误解] 由T = , 4n+27 n

设 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0. 则 a11=S11-S10=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k, b11=T11-T10=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k. a11 7k 7 ∴b =4k=4. 11
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[辨析] 错误的原因是“设 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k, Sn 7n+1 k≠0”.这种设法虽然可以使T = 成立,但是相对于变 4 n + 27 n 量 n 来说,k 是常数,故 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k 是 n 的 一次函数,与公差不为零的等差数列的前 n 项和为 n 的二次函 数不符合.

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[正解] 方法一:由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+ b bn=a· n(n+a), 设 Sn=(7n+1)· kn,Tn=(4n+27)· kn, ∴a11=S11-S10=(7×11+1)· 11k-(7×10+1)· 10k=148k, b11=T11-T10=(4×11+27)· 11k-(4×10+27)· 10k=111k. a11 148k 4 ∴b = 111k =3. 11

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a11 2a11 a1+a21 方法二:b =2b = b1+b21 11 11 21 2 ?a1+a21? S21 =21 =T . 21 2 ?b1+b21? S21 7×21+1 148 4 又T = = = . 4×21+27 111 3 21

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本节思维导图

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等差数列的? ?数列的前n项和 ? 前n项和 ? ?等差数列的前n项和公式、推导与应用 等差数列前n项 ? ?等差数列前n项和的性质 ? 和的性质及应用? ?等差数列前n项和比值问题

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