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数列经典题型总结


1 一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 . 1、等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
例1 ( 07 高考山东文 18) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, 已 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. ( 1)求数列 {an } 的等差数列. ( 2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ?,

练习:设 Sn= 1+2+3+… +n, n∈ N ,求 f (n) ?
*

Sn 的最大值 . (n ? 32) S n ?1

二、错位相减法 设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解,均 可用错位相减法。 其中 ? ? 0 . 例2 ( 07 高考天津理 21) 在数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;

2

例 3( 07 高考全国Ⅱ文 21)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且

a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . b ? n?

三、逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 例4 ( 07 豫南五市二联理 22.) 设函数 f ( x) ?

2x 的图象上有两点 P1(x1, y1)、 P 2 ( x2 , 2x ? 2 1 1 y2),若 OP ? (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2
1 n 2 n 3 n n n

( I)求证: P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
* ( II)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? N , 求S n ;

3

四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的 . 通项分解 (裂项) 如: ( 1) a n ? ( 2) an ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ] 等。 ( 3) an ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 , ,? ? ?, ,? ? ? 的前 n 项和 . 例 5 求数列 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1

例 6( 06 高考湖北卷理 17)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为

f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n ,S n ) (n ? N ) ? 均在函数 y ? f ( x) 的图
像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

m 1 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成 20 an an ?1

立的最小正整数 m;

五、分组求和法

4 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这 类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例 7 数 列 {an} 的 前 n 项 和 S n ? 2an ? 1 , 数 列 {bn} 满

b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) .

例 8 求 S ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1)n?1 n2 ( n ? N? )

六、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列 的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法 . 例9 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

例 10

已知数列 {an}: a n ?

? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值 . (n ? 1)(n ? 3) n ?1

类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

5 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法 (逐差相加法 )求解。 例 11:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

类型 2

an?1 ? f (n)an

an?1 ? f (n) ,利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。 an 2 n a n ,求 an 。 例 12:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1
解法:把原递推公式转化为

类型 3

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 利用换元法转化为等比数列求解。 例 13:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

q ,再 1? p

类型 4

。 an?1 ? pan ? q n ( 其 中 p , q 均 为 常 数 , ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) r 均为常数) 。

( an?1 ? pan ? rqn ,其中 p, q,

6 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n ?1 ,得: 数列 ?bn ? (其中 bn ?

a n?1 p a n 1 ? ? ? 引入辅助 q n?1 q q n q

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q 5 1 1 n ?1 例 14:已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

类型 5 递推公式为 S n 与 an 的关系式。 (或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 1 例 15:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? n ? 2 .( 1)求 a n ?1 与 an 的关系; ( 2)求 2
通项公 式 an .

、 0,a ? 0) 类型 6 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x , y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。 例 16:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

7

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 1 解: ( 1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3a2 . ? ? 2 2 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ? ,a3 ? 2q . q 2 又 S3 ? 7 ,可知 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0, q 1 解得 q1 ? 2,q2 ? .由题意得 q ? 1 , ?q ? 2 . 2 ?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .
( 2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 由( 1)得 a3n?1 ? 23n , 2, ?,

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 , ?{bn } 是等差数列.

又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn n(b1 ? bn ) ? 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2 3n( n ? 1) ln 2 . 故 Tn ? 2
解:由等差数列求和公式得 S n ? 公式) ∴ f ( n) ?

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用

∴ 当

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64 1 1 1 ? = = 64 8 2 50 n ? 34 ? ( n? ) ? 50 n n 1 8 n? ,即 n= 8 时, f ( n) max ? 50 8

2(Ⅰ)解:由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , ? ? 0 , 可得

?2? ?? ? n ?1 ? ??? an?1

n ?1

?2? ? n ? ? ? ?1, ? ??? an

n

8
n ? an ? 2 ?n ? ? an ? 2 ? ? 所以 ? n ? ? ? ? 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 ? ? ? ? n ? 1 ,所以数 ? ? ? ? ? ??? ? ? n ? ? n n 列 ?an ? 的通项公式为 an ? (n ?1)? ? 2 .

(Ⅱ)解:设 Tn ? ? 2 ? 2? 3 ? 3? 4 ? ?? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ,
3 4 5 n n?1



② ?Tn ? ? ? 2? ? 3? ??? (n ? 2)? ? (n ?1)? 当 ? ? 1 时,①式减去②式, ? 2 ? ? n?1 2 3 n n ?1 ? (n ? 1)? n ?1 , 得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)? ? 1? ? 2 n ?1 n ?1 n?2 n ?1 ? ?? (n ? 1)? (n ? 1)? ? n? ? ? 2 . Tn ? ? ? (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2 (n ? 1)? n? 2 ? n? n?1 ? ? 2 这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ? 2n?1 ? 2 . 2 (1 ? ? ) 当 ? ? 1 时, Tn ?

n( n ? 1) n(n ? 1) n ?1 ?2 ?2. .这时数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 2

3 解: ( Ⅰ) 设 ?an ? 的公差为 d , 则依题意有 q ? 0 且 ? ?bn ? 的公比为 q , 解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1,

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

bn ? qn?1 ? 2n?1 . a 2n ? 1 (Ⅱ) n ? n ?1 . bn 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ,① 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 . 2

9
4.( I)∵ OP ?

1 1 (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2

∴P 是

PP
1

2

的中点,且

x ?x
1

2

y ?y
1

2

?

2x ?
1

2x

1

2

?

2x

2x
2 2

2

? 2
1

x x ? 2 2 ?
1

?1

2

? 2 ? 2x2

?2x ?
2

?

?2x ? 2 ? 2?
1

?

4? 2 4 ? 2 2 x 2 ? 2 x1

?

?

?2x ? 2x ? ? 1
? x ? ? f ? x ? ? 1, 且f ?1? ? 2 ?
1 2

? y ?1
p

由( I)知,

x ?x
1

2

?1 f

2

?1? ?2? ? n ?1 ? ?n? 又S n ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ?1? ?n? ?n? ? n ? ?n? , ( 1) +( 2)得: ?n? ? n ?1 ? ?2? ?1? ?? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? 2? Sn ? f ? ?n? ? n ? ?n? ?n? ? ?1? ? ?n? ? n ? 1 ?? ? ? 2 ? ? n ? 2 ?? 2S n ? f ?1? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? ? ? f ? ? ? ? n ?? ? ? n ? ? n ?? ? ?n? ? ?n?
? 2 f ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? 3 ? 2 2 ?S n ? n ?3? 2 2 2

? 1 ?? f ? ? ? ? f ?1? ? n ??

5 解:设 a n ?

? n ?1 ? n (裂项) n ? n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? 则 Sn ? (裂项求和) 1? 2 2? 3 n ? n ?1 = ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )
= n ? 1 ?1

1

6.解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)= ax +bx (a≠ 0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x- 2,得 2 a=3 , b= - 2, 所以 f(x)= 3x - 2x. 2 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn = 3n - 2n. 当 n≥ 2 时, an= Sn- Sn- 1 =( 3n - 2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

2

?

2

?

当 n= 1 时, a1= S1= 3×1 - 2= 6×1- 5,所以, an = 6n- 5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

3 1 1 1 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

10

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 = ( 1 - ). ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ? 2 i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 ( 1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m 2 6n ? 1 20 2 20
故 Tn=

?b = 2
i

n

≥ 10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.
7.(Ⅰ)证明数列 {an}为等比数列;(Ⅱ)求数列 {bn}的前 n 项和 Tn。 解析: (Ⅰ)由 S n ? 2an ? 1, n ? N ? ,? S n?1 ? 2an?1 ? 1, 两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an , ? an?1 ? 2an , n ? N ? .同a1 ? 1知an ? 0 ,

an?1 ? 2, 同定义知 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列 . an (Ⅱ) an ? 2 n?1 , bn?1 ? 2 n?1 ? bn bn?1 ? bn ? 2 n?1 , ?

b2 ? b1 ? 2 0 , b3 ? b2 ? 21 , b4 ? b3 ? 2 2 , ?

bn ? bn?1 ? 2 n?2 , 等式左、右两边分别相加得:
bn ? b1 ? 2 0 ? 21 ? ? ? 2 n?2 ? 3 ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n?1 ? 2, 1? 2

?Tn ? (20 ? 2) ? (21 ? 2) ? (22 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n
1 ? 2n ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1. 1? 2 8.解:⑴ 当 n 为偶数时,
=

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 1)2 ? n2 ] ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ?
⑵ 当 n 为奇数时,

n(1 ? n) ; 2
n(n ? 1) 1 ? n2 ? (n2 ? n) 2 2

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 2)2 ? (n ? 1)2 ] ? n2 ? ?[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n2 ? ?

综上所述, S ? (?1)n?1 n(n ? 1) . 9.解: 由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 2

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ? = (分组求和) = =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1

1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9 1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) = 81

11 10 解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[ 及特征)

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

(找通项

1 1 (设制分组) ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4) 1 1 1 1 = 4?( (裂项) ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4 ? ? ? 1 1 1 1 ∴ ? (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 4? ( ? ) ? 8? ( ? ) (分组、裂项求 n?4 n?4 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 3
= 8 ?[ 和) = 4?( ? ) ? 8? =

1 3

1 4

1 4

13 3
2

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? , ? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
11.解:由条件知: a n ?1 ? a n ? 12. 解:由条件知 式累乘之,即

an?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等 an n ?1

a a a 2 a3 a 4 2 1 2 3 n ?1 1 ? n ? 又 ? a1 ? , ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? 3 2 3 4 n a1 n a1 a2 a3 an?1 2 ? an ? 3n 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 例 :已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2 3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 an ? ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2 3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。
13. 解 : 设 递 推 公 式 an?1 ? 2an ? 3 可 以 转 化 为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即

an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故 递 推 公 式 为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 , 则

12

b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且 bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项, 2 为公比的等比数列,则 bn an ? 3

bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 . 变式 :递推式: an?1 ? pan ? f ?n? 。解法:只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异. 1 1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 14.解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) 所以 3 3 b 1 1 an ? n ? 3( ) n ? 2( ) n n 2 3 2 1 1 15.解: ( 1)由 S n ? 4 ? a n ? n ? 2 得: S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ? n ?1 于是 2 2 1 1 S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( n ? 2 ? n ?1 ) 2 2 1 1 1 所以 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ? n ?1 ? a n ?1 ? a n ? n . 2 2 2 n ( 2)应用类型 4( an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )
的方法,上式两边同乘以 2
n ?1

得: 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 由

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ?1) ? B? ? 2n ?1 ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1) ? ?A ? 1 ? A ? 3A ? 2 ?? ?? ? ? B ? 3B ? 3 A ? 1 ? B ? 1 ? 取bn ? an ? n ? 1 …(1)则 bn ? 3bn?1 ,又 b1 ? 6 ,故

1 ? a1 ? 1 .于是数列 2 n an 是以 2 为首项, 2 为公差的等差数列, 2 n 所以 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2 16.解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 a n , a n ?1 代入递推式,得 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2

?

?

bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n 代入(1)得 an ? 2 ? 3n ? n ? 1 说明: ( 1)若 f ( n) 为 n 的二次式,则可设 bn ? an ? An2 ? Bn ? C ;(2)本题也可由 an ? 3an?1 ? 2n ? 1 , an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1 ( n ? 3 ) 两 式 相 减 得 an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2 转化为 bn?2 ? pbn?1 ? qbn 求之.


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