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向量讨论平行与垂直练习



用向量讨论平行与垂直同步练习题
一、选择题 1.直线 l 的方向向量,平面 α 的法向量分别是 a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),则 l 与 α 的位置关系是( A.l⊥α B.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 D.l∥α 或 l? α 2.若两个不同平面 α ,β 的法向量分别为 u=(2,1,-1),v=(3,2,8),则( ) A.α ∥β B.α

⊥β C.α ,β 相交不垂直 D.以上均不正确 3. 平面 α 的一个法向量为(1,2,0), 平面 β 的一个法向量为(2, -1,0), 则平面 α 与平面 β 的位置关系是( A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 4.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量,若 l1∥l2,则( ) A.x=6,y=15 15 B.x=3,y= 2 C.x=3,y=15 15 D.x=6,y= 2 )

)

5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C. α D.l 与 α 斜交 6.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的可能是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,-2,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,-1) 7.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β ,则 k 等于( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 8.已知直线 l1 的方向向量 a=(2,4,x),直线 l2 的方向向量 b=(2,y,2),若|a|=6,且 a⊥b,则 x+y 的值是 ( ) A.-3 或 1 B.3 或-1 C.-3 D.1 9.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C(3,7,λ ) ,若 AB⊥AC,则λ 等于( ). A.28 B.-28 C.14 D.-14

10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 二、填空题 11.设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断直线 l1,l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),l1 与 l2__ (2)a=(-2,1,4),b=(6,0,3),l1 与 l2________. 12.平面 α ,β 的法向量分别为 m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若 α ⊥β ,则 k 等于________. 13.已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面 ABC 的一个法向量为__________. → → 14.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0), → → → → AP=(-1,2, -1). 对于结论: ①AP⊥AB; ②AP⊥AD; ③AP是平面 ABCD 的法向量; ④AP∥BD.其中正确的是________. 19? ? 5? ? 5? ? 15.若 A?0,2, ?,B?1,-1, ?,C?-2,1, ?是平面 α 内三点,设平面 α 的法向量为 a=(x,y,z),则 8? ? 8? ? 8? ? x∶y∶z=________. 16.已知 A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线 AB 的模为 1 的方向向量是_____________. 2 2? ?1 2 2? ? 1 答案 ? , , ?或?- ,- ,- ?解析, 3 3 3 3 3 3? ? ? ? __;

AB =(1,2,2) ,| AB | = 3 . 模为 1 的方向向量是±

AB , | AB |

三、解答题 17.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.

1

18.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:(1)AD1∥平面 BDC1;(2)A1C⊥平面 BDC1.

19.

已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PD⊥底面 ABCD,且 PD=DA=CD=2AB=2, M 点为 PC 的中点. (1)求证:BM∥平面 PAD;(2)在平面 PAD 内找一点 N,使 MN⊥平面 PBD.

20.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是 B1 D1 的中点,求证: B1C // 面ODC1 .

2

21.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是棱 AB, BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M ,使得 D1 M ⊥平 面 EFB1 .

.

22.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE;(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

23.在棱长为 1 的正方体 AC1 中,O1 为 B1D1 的中点.

求证:(1)B1D⊥平面 ACD1;(2)BO1∥平面 A CD1.

3

24.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD;(2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论. [解析]

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