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函数的单调性与最值(含例题详解)



函数的单调性与最值
一、知识梳理 1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈ D,且 x1<x2,则 有:(1)f(x)在区间 D 上是增函数? f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数? f(x1)>f(x2). 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ① 对于任意 x∈ I, 都有 f(x)≤M; ① 对于任意 x∈ I,都有 f(x)≥M;② 存在 ② 存在 x0∈ I,使得 f(x0)=M M 为最大值 x0∈ I,使得 f(x0)=M M 为最小值

注意: 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间 只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集 符号“∪ ”联结,也不能用“或”联结. 2.两函数 f(x),g(x)在 x∈ (a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) C. y ? ? ? )

1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f ? x?

B.y=- x+1 1 D.y=x+ x

?1? ?2?

x

解析:选 A 选项 A 的函数 y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定 是增函数. 2.函数 f(x)=x2-2x(x∈ [-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________. 解析:函数 f(x)的对称轴 x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案:[1,4] 8

二、方法归纳

1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性 判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. [练一练] 1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( 1 A.y= x C.y=-x2+1 答案:C 1 2.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1 1 1 答案: 5 10 B.y=e
-x

)

D. y=lg|x|

三、考点精练
考点一 求函数的单调区间 1、函数 f ? x ? ? log5 ?2x ?1? 的单调增区间是________. 解析: 要使 y ? log5 ? 2 x ? 1? 有意义, 则 2x ?1 ? 0 , 即x ? ? 上的增函数,当 x ? ?

1 , 而 y ?o l g 2

5

u 为 ? 0, ?? ?

1 时,u=2x+1 也为 R 上的增函数,故原函数的单调增区间是 2

? 1 ? ? ? , ?? ? . ? 2 ?
答案: ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

2.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________. 解析:y=x-|1-x|= ?

x ?1 ?1, ?2 x ?1, x ? 1

作出该函数的图像如图所示.

由图像可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 3.设 函 数 y = f(x) 在 ? ??, ??? 内 有 定 义 . 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数

? 1 ? f ? x?, f ? x? ? k ?x 取函数 f ? x ? ? 2 ,当 k= 时,函数 f k ? x ? 的单调递增区间为 fk ? x ? ? ? 2 ? ?k , f ? x ? ? k
( ) A.(-∞,0) C.(-∞,-1) 1 解析:选 C 由 f(x)> ,得-1<x<1. 2 1 由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 B.(0,+∞) D.(1,+∞)

?2? x , x ? 1 ? ?1 所以 f 1 ? x ? ? ? , ?1 ? x ? 1 ,故 f 1 ? x ? 的单调递增区间为(-∞,-1). 2 2 ?2 x ? 2 , x ? ? 1 ?
[解题通法] 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即: (1)定义法;(2)复合法;(3)图像法;(4)导数法.

考点二

函数单调性的判断

[典例] 试讨论函数 f ? x ? ? x ?

k ? k ? 0 ? 的单调性. x

[解] 法一: 由解析式可知, 函数的定义域是 ? ??,0? ? ? 0, ??? . 在(0, +∞)内任取 x1 ,

x2 ,令 x1 ? x2 ,那么

? ?1 1? x x ?k k ? ? k? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? x1 ? ? k ? ? ? ? ? x2 ? x1 ? 1 2 x2 ? ? x1 ? x1 x2 ? ? x2 x1 ?
因为 0 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 . 故当 x1 , x2 ?

?

k , ?? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,即函数在

?

?

k , ?? 上单调递增.

?

当 x1 , x2 ? 0, k 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,即函数在 0, k 上单调递减. 考虑到函数 f ? x ? ? x ?

?

?

?

?

k ? k ? 0 ? 是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调 x

性,故在 ??, ? k 单调递增,在 ? k , 0 上单调递减. 综上,函数 f(x)在 ??, ? k 和 递减. [解题通法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后要注意差式的分解变形彻底. 2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确. [针对训练] -2x 判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈ (1,+∞),且 x1<x2, 则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?

?

?

?

?

?

? ?

k , ?? 上单调递增,在 ? k , 0 和 0, k 上单调

?

?

? ?

?

2 ? x1 ? x2 ? ?2 x1 ?2 x2 , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

由于 1<x1<x2,所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数. 考点三 角度一 函数单调性的应用 求函数的值域或最值

1.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈ R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, 2 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:∵ 函数 f(x)对于任意 x,y∈ R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y),∴ 令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x).

在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵ 当 x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴ f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. (2)∵ f(x)在 R 上是减函数,∴ f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴ f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴ f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 )

1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈ (1,2),x2∈ (2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

1 解析:选 B ∵ 函数 f(x)=log2x+ 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,∴ 当 x1∈ (1,2) 1-x 时,f(x1)<f(2)=0,当 x2∈ (2,+∞) 时,f(x2)>f(2)=0,即 f(x1)<0,f(x2)>0. 角度三 解函数不等式
2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 则不等式 f(a2-4)>f(3a)的解集为( 2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

3.已知函数 f ? x ? ? ? A.(2,6) C.(1,4)

)

B.(-1,4) D.(-3,5)

解析:选 B 作出函数 f(x)的图像,如图所示,则函数 f(x)在 R 上是单调递减的.由 f(a2 -4)>f(3a),可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0,即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4,所以

不等式的解集为(-1,4). 角度四 求参数的取值范围或值

?? a ? 2 ? x, x ? 2 ? 4.已 知 函 数 f ? x ? ? ?? 1 ? x 满 足 对 任 意 的 实 数 x1 ? x2 , 都 有 ?? ? ? 1 , x ? 2 ?? 2 ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 成立,则实数 a 的取值范围为(

)

A.(-∞,2)

B. ? ??, D. ?

? ?

13 ? ? 8?

C.(-∞,2] 解析:选 B 函数 f(x)是 R 上的减函数,

?13 ? , 2? ?8 ?

?a ? 2 ? 0 13 ? 2 于是有 ? ,由此解得 a≤ , ?1? 8 ?? a ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 1 ?2? ?
即实数 a 的取值范围是 ? ??, [解题通法] 1.含“f”不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式, 然后根据函数的单调性去掉 “f ” ,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内. 2.比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化 到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解. 巩固练习 一、选择题 1.“a=1”是“函数 f(x)=x2-2ax+3 在区间[1,+∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:f(x)对称轴 x=a,当 a≤1 时 f(x)在[1,+∞)上单调递增.∴ “a=1”为 )

? ?

13 ? ? . 8?

f(x)在[1,+∞)上递增的充分不必要条件. 2. 已知函数 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 , 若 f(2-a2)>f(a), 则实数 a 的取值范围是( 2 4 x ? x , x ? 0 ? ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

答案:C 解析:由题知 f(x)在 R 上是增函数,由题得 2-a2>a,解得-2<a<1. 3. 用 min{a, b, c}表示 a, b, c 三个数中的最小值. 设 f(x)=min{2x, x+2,10-x}(x≥0), 则 f(x)的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 ( )

答案:C

解析:由题意知函数 f(x)是三个函数 y1=2x,y2=x+2,y3=10-x 中的较小者,作出三 个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为 f(x)的图象)可知 A(4,6)为函数 f(x)图 象的最高点. 4. 若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪ (0,1) C.(0,1) a 在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是( x+1 B.(-1,0)∪ (0,1] D.(0,1] )

答案:D 解析:f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于 g(x),只有当 a>0 时,它有两个减区 间为(-∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可,则 a 的取值范围是 0<a≤1. 5.已知定义在 R 上的增函数 f(x),满足 f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈ R,且 x1+x2>0, x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A.一定大于 0 C.等于 0 B.一定小于 0 D.正负都有可能 ( )

答案:A 解析:∵ f(-x)+f(x)=0,∴ f(-x)=-f(x). 又∵ x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,∴ x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1. 又∵ f(x1)>f(-x2)=-f(x2),f(x2)>f(-x3)=-f(x3),f(x3)>f(-x1)=-f(x1), ∴ f(x1)+f(x2)+f(x3)>-f(x2)-f(x3)-f(x1). ∴ f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.] 二、填空题 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 7.设 f(x)是增函数,则下列结论一定正确的是________(填序号). ①y=[f(x)]2 是增函数;②y= 3 答案:[0, ] 2 1 是减函数;③y=-f(x)是减函数;④y=|f(x)|是增函数. f?x?

解析: y ? ?

?? 3 ? ? x ? 3? x ? x ? 0 ? 画图象如图所示:可知递增区间为[0, ]. 2 ? ?? x ? 3? x ? x ? 0 ?

1 1 8.设 0<x<1,则函数 y= + 的最小值是________. x 1-x 答案:4 1 1 1 1 1 1 解析 y= + = ,当 0<x<1 时,x(1-x)=-(x- )2+ ≤ ,∴y≥4. x 1-x x?1-x? 2 4 4 三、解答题 1 9.已知函数 f(x)=a- . |x| (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 (1)证明:当 x∈ (0,+∞)时,f(x)=a- , x 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0. 1 1 1 1 x1-x2 f(x1)-f(x2)=(a- )-(a- )= - = <0. x1 x2 x2 x1 x1x2 ∴ f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 (2)解:由题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立, x 1 设 h(x)=2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. x 1 1 ∵ h′(x)=2- 2,x∈ (1,+∞),∴ 2- 2>0, x x ∴ h(x)在(1,+∞)上单调递增.故 a≤h(1),即 a≤3. ∴ a 的取值范围为(-∞,3]. 10.已知 f(x)=x2+ax+3-a,若 x∈[-2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 解:设 f(x)的最小值为 g(a),则只需 g(a)≥0, a 由题意知,f(x)的对称轴为- . 2 a 7 (1)当- <-2,即 a>4 时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得 a≤ . 2 3 又 a>4,故此时的 a 不存在. a a a2 (2)当- ∈ [-2,2],即-4≤a≤4 时,g(a)=f(- )=3-a- ≥0 得-6≤a≤2. 2 2 4 又-4≤a≤4,故-4≤a≤2. a (3)当- >2,即 a<-4 时,g(a)=f(2)=7+a≥0 得 a≥-7. 2 又 a<-4,故-7≤a<-4.

综上得所求 a 的取值范围是-7≤a≤2.

11.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈ [-1,1],a+b≠0 时, 有

f ? a ? ? f ?b ? a?b

? 0 成立.

(1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x-1 (3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈ [-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)任取 x1,x2∈ [-1,1],且 x1<x2, 则-x2∈ [-1,1],∵ f(x)为奇函数, ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ?

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? x1 ? ? ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

由已知得

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? x1 ? ? ? x2 ?

? 0 ,x1-x2<0,

∴ f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴ f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵ f(x)在[-1,1]上单调递增,

1 1 ? ?x ? 2 ? x ?1 ? 1 ? ∴??1 ? x ? ? 1 2 ? 1 ? ??1 ? x ? 1 ? 1 ?

3 ∴ - ≤x<-1. 2

(3)∵ f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增. ∴ 在[-1,1]上,f(x)≤1. 问题转化为 m2-2am+1≥1, 即 m2-2am≥0,对 a∈ [-1,1]成立. 下面来求 m 的取值范围. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. ① 若 m=0,则 g(a)=0≥0,自然对 a∈ [-1,1]恒成立. ② 若 m≠0,则 g(a)为 a 的一次函数,若 g(a)≥0,对 a∈ [-1,1]恒成立,必须 g(-1)≥0, 且 g(1)≥0, ∴ m≤-2,或 m≥2. ∴ m 的取值范围是 m=0 或|m|≥2.



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