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2.3《等差数列的前n项和》课件



第二章 数列
2.3 等差数列前n项和公式

本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子,研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公 式。问题探究一:用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加 以巩固。问题探究二:公式的灵活应用,知三求二,用变式 2 、 3加

以巩固。
本节教学讲练

结合,例1 和变式 1 是针对求和公式的基础运用的训 练。例2实际问题体现数列在生活中的应用,例3和变式3强化求和公 式的运用。通过典题讲解和针对性训练让学生深化理解等差数列前 n 项和公式。

泰姬陵坐落于印度古都阿格, 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮 观,纯白大理石砌建而成的主体 建筑叫人心醉神迷,成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案, 以相同大小的圆宝石镶饰而成, 共有 100 层(见左图),奢靡之 程度,可见一斑。你知道这个图 案一共花了多少宝石吗?

问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?

这是求和的问题,你能不能快 速的求出呢?

问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?

3

1 2

21 20 19

获得算法:

S 21
21 1

(1 ? 21) ? 21 ? 2

1+2+3+· · · +100=?

高斯,(1777—1855) 德国著名数学家。

等差数列的前n项和公式

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题:

S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ?1 ? an

Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1
如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? ? ? (a1 ? an ).

2Sn ? n(a1 ? an )

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2

2Sn ? n(a1 ? an )

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2

思考:若已知a1及公差d,结果会怎样呢?

an ? a1 ? (n ?1)d

n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

比较两个公式的异同

例1. 根据下列条件,求相应的等差数列

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10 10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

?an ? 的Sn

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;

(4)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.

50 (50 ? 1) S50 ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2 2 3 Sn (3) a1 ? , an ? ? , n ? 14; 3 2 14 ? [2 / 3 ? (?3 / 2)] 35 ? S14 ? ?? . 2 6

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

n(a1 ? an ) ? 2

26 ? (14 .5 ? 32 ) 32 ? 14.5 ? 604 .5. n? ? 1 ? 26,? S 26 ? 2 0.7

an ? a1 ? (n ?1)d

等差数列的前n项和公式 在等差数列 {an} 中,如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意 三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

an ? a 1 ? ( n ? 1)d
结论:知 三 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求解

变式 1:(I)已知等差数列{an}中, 1 (1)a1=2,S4=20,求 S6; 3 1 (2)a1=2,d=-2,Sn=-15,求 n 及 an;
4?4-1? 解析:(1)S4=4a1+ 2 d=4a1+6d=2+6d=20,∴d=3. 6?6-1? 故 S6=6a1+ 2 d=6a1+15d=3+15d=48. 3 n?n-1? 1 (2)∵Sn=n· 2+ 2 (-2)=-15,

整理得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 ∴a12=2+(12-1)×(-2)=-4.

(II)在等差数列 ?an ?中,已知: d ? 4 , n ? 20 , sn ? 460 求 a1 及 a 20 .

n(n ? 1) 解: 利用 公式2 Sn ? na1 ? d 2

a=
1

-15

再根据 公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2

a20=

61

例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校

通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目
标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校 通”工程中的总投入是多少?

解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以,可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金,其中 a1 ? 500 , d ? 50. 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
10 ? (10 ? 1) S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 (万元 ). 2

答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。

变式2 (I)根据下列各题中的条件,求相应的等差 数列{an}的Sn: (1)a =5,
1

a =95,n=20;
n

S10=1000
(2)a1=100, d=-2,n=50;

S50=2550
(II)在等差数列中S10=120,求

a +a 的值。
3 8

由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24

(III)等差数列-10,-6,-2,2,〃〃〃前多少项的和是54? 解: 设题中的等差数列为{an},前n项和是Sn,则a1=-10,

d=-6-(-10)=4令Sn=54,根据等差数列前项和公式,得:

n ( n1) Sn=-10n + ×4 =54
2
整理得:n 解得:

-6n2-27=0

n1=9, n2=-3 (舍去)

答: 等差数列-10,-6,-2,2,〃〃〃前9项的和是54。

解:由题意可知 S10 ? 310 S20 ? 1220 将它们代入公式 Sn ? na1 ? 得到:
n(n ? 1) d 2

10a1 ? 45d ? 310, 20a1 ? 190d ? 1220

解这个关于 a1与d的方程组,得到:

d ?6 n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 所以: S n ? 4n ? 2
a1 ? 4

c

(2)一个等差数列的前10项和为50,后10项和为60,则其前n 项和为

.

n(a1 ? an ) 1.等差数列的前项和公式1:S n ? 2

n(n ? 1) d 2.等差数列的前项和公式2: S n ? na1 ? 2
3.判断一个数列是否为等差数列的方法。
4.(1)倒序相加法求和 (2)方程思想在教学过程中的渗透

课后练习

课后习题



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