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福建省尤溪一中2011-2012学年高三上学期期末练习卷(2)数学(理)试卷



2011-2012 学年尤溪一中高三上学期期末练习卷(2)

数学(理科)试题
命题:姜志茂 一、选择题 1.已知集合 P ? ?? 1,0,1?,集合 Q={ y | y ? cos x, x ? R },则 P ? Q ? ( A.P B.Q C.{-1,1} D. ?0,1? ) ) 审核:理科备课组 2011-12-30

2. 已知数列 ? an ? ,则“数列 ?an ? 为等比数列”是“数列 ?lg an ? 为等差数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 若 a、b 是两条异面直线,则总存在唯一确定的平面 ? ,满足( A. a // ? , b // a C. a ? ? , b ? ? B. a ? ? ,b // ? D. a ? ? , b ? ?

4. 为了解某协会 400 名会员的年龄情况, 从中随机抽查了 100 名会员, 得出频率分布表 (左 图) ,据此可知,下列结论中不正确的是( )

A.频率分布表中的①、②位置应填入的数据为 20 和 0.350; B.可以得出频率分布直方图(右图) ; C.可以估计该协会年龄分组属于 [30,35) 的会员共有 140 人; D.可以估计该协会所有会员的平均年龄为 32.5 岁

5.O 为空间任意一点,若 OP ?

3 1 1 OA ? OB ? OC ,则 A,B,C,P 四点( 4 8 8



A.一定不共面

B.一定共面

C.不一定共面

D.无法判断 ) D.

6.根据下面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A.

13 21

B.

21 13

C.

8 13

13 8

7. 设函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? A.

1 ,右上图是函数 F ( x) 图象的一部分,则 F ( x) 是( x
C. f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? g ( x)



f ( x) g ( x)

B. f ( x) g ( x)

8.

?

1

?1

( 1 ? x 2 ? x)dx ? (
B.



A. ?

? 2
) C.

C. ? ? 1

D. ? ? 1

9. 设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为 ( A. 2 B. 3

3 ?1 2
n

D.

5 ?1 2
n

10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数 a,b∈R,满足: f(2 ) f(2 ) * * f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an= (n∈N ),bn= n (n∈N )。 n 2 考察下列结论: ①f(0)=f(1); ②f(x)为偶函数;

③数列{an}为等比数列; ④数列{bn}为等差数列, 其中正确的结论共有( A.1 个 二、填空题 11. i 是虚数单位,若 ) C.3 个 D.4 个

B.2 个

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R) ,则 a ? b 的值是___ 2?i



12.若一条回归直线的斜率的估计值是 2.5,且样本点的中心为(4,5) ,则该回归直线的 方程是 。 __

13.已知数列 {a n }的通项公式a n ? n 3 ? 48n ? 5, 若a m?1 ? a m , a m?1 ? a m , 则m =_

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 14. x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by,(a ? 0, b ? 0) 的最大值 设 ? x ? 0, y ? 0 ?
为 12,则

15.如图,已知命题:若矩形 ABCD 的对角线 BD 与边 AB 和 BC 所成角分别为 ?、 ? ,则

1 3 的最小值为___ ? a 2b



cos2 ? ? cos2 ? ? 1, 若把它推广到长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,试写出相应命题形式:
__________________________
D1 C1

D

C

A1 B1 D C A

A

B

B

三、解答题 16. (本题 13 分)等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n , {bn } 为等比数 列, b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 . (1)求 an 与 bn ; (2)若 cn ? ?

? an ( n为正奇数) ?bn (n为正偶数)

,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn .

17. (本题 13 分)已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) ,

?? ?

??

? ? n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x), 其中? ? 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于 . 2
(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, a ?

3, b ? c ? 3, 当?最大时,

f ( A) ? 1, 求?ABC 的面积.

18. (本题 13 分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动. 活动规则如下: 消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券. (假 定指针等可能地停在任一位置, 指针落在区域的边界时,重 新转一次)指针所在的区域及对应的返劵金额见下表.例如: 消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金
C A
60° 120°

B
指针位置
返劵金额(单位:元)

A区域 60

B区域 30

C区域 0

额之和.

(1) 已知顾客甲消费后获得 n 次转动转盘的机会, 已知他每转一次转盘指针落在区域边 界的概率为 p ,每次转动转盘的结果相互独立,设 ? 为顾客甲转动转盘指针落在 区域边界的次数, ? 的数学期望 E? ?

3 11 1 ,标准差 ?? ? ,求 n 、 p 的值; 50 25

(2)顾客乙消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为? (元).求随 机变量? 的分布列和数学期望.

19. (本题 13 分)如图 (甲) 在直角梯形 ABED 中, , AB//DE, ? BE, ? CD,且 BC=CD,AB=2,F、 AB AB H、G 分别为 AC ,AD ,DE 的中点,现将△ACD 沿 CD 折起,使平面 ACD ? 平面 CBED,如图 (乙) . (1)求证:平面 FHG//平面 ABE; (2)记 BC ? x, V ( x) 表示三棱锥 B-ACE 的体积,求 V ( x) 的最大值; (3)当 V ( x) 取得最大值时,求二面角 D-AB-C 的余弦值.
A

F

H

A

C

D

H F C D

20. (本题 14 分)已知椭圆 C 的对称中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 , F2 , 且 | F1 F2 | =2 5 ,点 ( 5, ) 在该椭圆上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 上的一点 P 在第一象限, 且满足 PF1 ? PF2 ,圆 O 的方程为 x ? y ? 4 . 求
2 2

4 3

点 P 坐标,并判断直线 PF2 与圆 O 的位置关系; (3) 设点 A 为椭圆的左顶点, 是否存在不同于点 A 的定点 B ,对于圆 O 上任意一点 M ,

都有

MB 为常数,若存在,求所有满足条件的点 B 的坐标;若不存在,说明理由. MA

21.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? )e ,其中 a ? 0
x

a x

(1)求函数 f ( x) 的零点; (2)讨论 y ? f ( x) 在区间 (??,0) 上的单调性; (3)在区间 (??, ? ] 上, f ( x) 是否存在最小值?若存在,求出最小值; 若不存在,请说明理由.

a 2

尤溪一中 2011-2012 学年高三上学期期末练习卷

数学(理科)试题(2)参考答案
一、选择题 1-5.ABBDB 6-10.DCBDC 第 10 题解析:∵f(0)=f(0·0)=0,f(1)=f(1·1)=2f(1),∴f(1)=0,①正确; 又 f(1)=f[(-1) ·(-1)]=-2f(-1), ∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2), 故 f(x)不是偶函数,故②错; ∵f(2 )=f(2·2
n n-1

)=2f(2

n-1

)+2

n-1

f(2)=2f(2

n-1

f(2 ) f(2 ) n )+2 ,∴ n = n-1 +1, 2 2

n

n-1

即 bn=bn-1+1,∴{bn}是等差数列,④正确;

f(2) f(2 ) n n n n b1= =1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2 )=2 bn=n2 ,an= =2 , 2 n 故数列{an}是等比数列,③正确。答案①③④,共 3 个正确,选 C。 二、填空题 11.2

n

? 12. y ? 2.5 x ? 5

13.4

14.

25 12

? 1 BB BC 15 . 长 方 体 A B C D A B1C1D1 中 , 对 角 线 BD1 与 棱 AB、 1 、 所 成 的 角 分 别 为

? 、 、 ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,或是 sin2 ? ? sin2 ? ? sin2 ? ? 2 。 ? ?
三、解答题 16 解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正数, 则 an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q 依题意有 ?
n ?1



? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 ? S 2b2 ? (6 ? d ) q ? 64



????????????2 分

6 ? ?d ? ? 5 ?d ? 2 ? ,或 ? 解得 ? (舍去) ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ?
故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8 (2)当 n 为奇数时,a1 , a3 , ?, an 共

????????????4 分

n ?1

????????????6 分

b2 , b4 ,?, bn?1 共

n ?1 2 项,构成等比数列,首项为 b2 ? 8 ,公比为 q ? 64 , 2

n ?1 项,构成等差数列,首项为 a1 ? 3 ,公差为 2d ? 4 , 2

所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? (a1 ? a3 ? ? ? an ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn ?1 )

n ?1 n ?1 n ?1 ( ? 1) n ?1 8(1 ? 64 2 ) n2 ? 3n ? 2 8n ? 8 2 2 ??10 分 ? a1 ? ? 2d ? ? ? 2 2 1 ? 64 2 63 n 当 n 为偶数时, a1 , a3 , ?, an ?1 共 项,构成等差数列,首项为 a1 ? 3 ,公差为 2d ? 4 , 2 n b2 , b4 ,?, bn 共 项,构成等比数列,首项为 b2 ? 8 ,公比为 q 2 ? 64 , 2
所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? (a1 ? a3 ? ? ? an ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

n n n ( ? 1) n 8(1 ? 64 2 ) n2 ? n 8n?1 ? 8 2 2 ? a1 ? ? 2d ? ? ? 2 2 1 ? 64 2 63
17 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos ?x ? sin ?x ? 2 3 cos?x ? sin ?x
2 2

??13 分

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
6

) ??????3 分

?? ? 0 ?函数f ( x)的周期T ?
由题意可知

T ? ? ? ? ,即 ? , 2 2 2? 2

2? ? ? , ?????4 分 2? ?

解得 0 ? ? ? 1,即?的取值范围是 ? | 0 ? ? ? 1} ????????6 分 { (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,

? f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

6 6 13 ? 5 ? 而 ? 2 A ? ? ? ? 2 A ? ? ? ? A ? ??????8 分 3 6 6 6 6 6

) ? f ( A) ? 1? sin(2 A ?

?

)?

?

?

1 ?????7 分 2

由余弦定理知 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2 2 ? b ? c ? bc ? 3, 又b ? c ? 3 2bc
???10 分

联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? ?c ? 1 ?c ? 2

? S ?ABC ?

1 3 bc sin A ? 2 2

??13 分

18.解: (1)依题意知, ? 服从二项分布 ? ~ B(n, p) ,∴ E? ? np ? 又 D? ? (?? ) ? np(1 ? p) ?
2

1 ----①---2 分 25

99 -------------②-----------4 分 2500

1 ------------------------------------6 分 100 1 1 1 (2)设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P( A) ? , P( B) ? , P(C ) ? . 6 3 2
由①②联立解得: n ? 4, p ? 由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量? 的可能值为 0,30,60,90,120. -------------------------8 分

1 1 1 1 1 1 P(? ? 0) ? ? ? ; P(? ? 30) ? ? ? 2 ? ; 2 2 4 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 5 P(? ? 90) ? ? ? 2 ? ; P(? ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? ; 3 6 9 2 6 3 3 18

1 1 1 P(? ? 120) ? ? ? . ------------------------------------------10 分 6 6 36
所以,随机变量? 的分布列为:

P

0

30

60

90

120

1 5 1 1 3 9 18 36 1 1 5 1 1 其数学期望 E? ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 -------13 分 4 3 18 9 36 1 4
19 解: (1)证明:由图(甲)结合已知条件知四边形 CBED 为正方形 如图(乙)∵F、H、G 分别为 AC , AD,DE 的中点 A ∴FH//CD, HG//AE-----------------------------1 分 ∵CD//BE ∴FH//BE F ∵ BE ? 面 ABE , FH ? 面 ABE ∴ FH // 面 ABE ------------------------------3 分 C 同理可得 HG // 面 ABE 又∵ FH ? HG ? H ∴平面 FHG//平面 ABE----4 分 B (2)∵平面 ACD ? 平面 CBED 且 AC ? CD ∴ AC ? 平面 CBED------------------------------5 分

?

H

D G E

1 S?BCE ? AC 3 ∵ BC ? x ∴ AC ? 2 ? x ( 0 ? x ? 2 ) 1 1 2 1 2 1 ∴ V ( x) = ? x (2 ? x) ? x (2 ? x) = x ? x ? (4 ? 2 x) ----------7 分 3 2 6 12 x ? x ? 4 ? 2 x 3 64 解法 1:∵ x ? x ? (4 ? 2 x) ? ( ) ? 3 27 1 64 16 ∴ V ( x) ? ? ? 12 27 81 4 当且仅当 x ? 4 ? 2x 即 x ? 时取“=” 3 16 ∴ V ( x) 的最大值为 -----------------------------------------9 分 81 1 4 2 [解法 2:∵ V '( x) ? (4 x ? 3 x ) ,令 V '( x) ? 0 得 x ? 0 (不合舍去)或 x ? 3 6 4 4 当 x ? 时 V '( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时 V '( x) ? 0 3 3 4 4 16 ∴当 x ? 时 V ( x) 有最大值, V ( x) max ? V ( ) ? ] 3 3 81
∴ V ( x) = VA? BCE = (3)解法 1:以点 C 为坐标原点,CB 为 x 轴建立空间直角坐标系 如右图示:由(2)知当 V ( x) 取得最大值时 x ?
z A H D o E G

4 4 ,即 BC= 3 3
F C B x

y

2 4 4 2 ,∴ B ( , 0, 0) , D(0, , 0) , A(0, 0, ) -----10 分 3 3 3 3 ??? ? 4 ∴平面 ACB 的法向量 CD ? (0, , 0) 3 ?? 设平面 ABD 的法向量为 m ? (a, b, c)
这时 AC=

设二面角 D-AB-C 为 ? ,

? 4 2 ??? 4 4 -------------11 分 3 3 3 3 ?? ??? ?? ??? ? ? 4 4 4 2 由 m ? AB , m ? BD 得 ? a ? b ? 0 , a ? c ? 0 3 3 3 3 ?? 1 1 令 c ? 1 得 m ? ( , ,1) ----------------------------------------12 分 2 2
∵ AB ? ( , 0, ? ) , BD ? (? , , 0)

??? ?

2 ?? ??? ? m ? CD 6 3 ? 则 cos ? ? ?? ???? ? -----13 分 ? 6 | m | ? | CD | 4 1 1 ? ? ?1 3 4 4

[解法 2:由(2)知当 V ( x) 取得最大值时 x ?

4 ,即 3

A

BC=

2 5 4 2 2 2 这时 AC= ,从而 AB ? AC ? BC ? 3 3 3

M F C

H

过点 C 作 CM ? AB 于 M,连结 MD ∵ CD ? AC, CD ? BC AC ? BC ? C ∴ CD ? 面 ABC
B

G E

∵ CM ? 面 ABC ∴ CM ? CD ∴ AB ? 面 MCD ∵ MD ? 面 MCD ∴ AB ? MD ∴ ?CMD 是二面角 D-AB-C 的平面角

2 4 ? AC ? BC 3 3?4 5 由 AB ? CM ? AC ? BC 得 CM ? = 15 AB 2 5 3
F

A H

∴ MD ?

MC 2 ? CD 2 ?

4 6 3 5
B

C o E G

D

4 5 6 MC 在 Rt△MCD 中 cos ?CMD ? ] ? 15 ? 6 MD 4 6 3 5
[解法 3:设二面角 D-AB-C 为 ? ∵ CD ? AC, CD ? BC 且 AC ? BC ? C ∴ CD ? 面 ABC ∴△ABC 为△ABD 在面 ABC 上的投影 ∵ ?ACB ≌ ?ACD ∴ AB ? AD , 又∵O 为 BD 的中点 ∴ S?ABD ? ∴ AO ? BD ∵ AO ?

AC 2 ? CO 2

1 4 2 2 3 4 6 1 ? ? BD ? AO = ? 2 3 3 9 2

∵ S?ABC ?

1 4 AC ? BC ? , 9 2

∴ cos ? ?

S ?ABC S ?DAB

4 6 = 9 ? . 6 4 6 9

20 解: (1)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得: a 2 b2
----------------------1 分

椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 ( ? 5, 0) , F2 ( 5, 0) 由点 ( 5, ) 在该椭圆上,? 2a ?

4 3

4 4 (2 5) 2 ? ( ) 2 ? ( 5 ? 5) 2 ? ( ) 2 ? 6 . 3 3
---------------------------3 分

? a ? 3, 又 c ? 5 得 b2 ? 9 ? 5 ? 4 ,
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 4

-----------------------------------4 分

x2 y 2 ? ? 1 -----------① (2)解法 1:设点 P 的坐标为 ( x, y)( x ? 0, y ? 0) ,则 9 4
由 PF1 ? PF2 得 F1 P ? F2 P ? 0 , ∴ ( x ? 5)( x ? 5) ? y ? 0 ,即 x ? y ? 5 -------②
2

???? ???? ?

2

2

---------------5 分

? 3 5 ?x ? 3 5 4 5 ? 5 由①②联立结合 x ? 0, y ? 0 解得: ? ,即点 P 的坐标为 ( , ) ---7 分 5 5 4 5 ?y ? ? 5 ?
∴直线 PF2 的方程为 2 x ? y ? 2 5 ? 0 ∵圆 x ? y ? 4 的圆心 O 到直线 PF2 的距离 d ?
2 2

2 5 ?2 5

∴直线 PF2 与 ? O 相切-------------------------------------------9 分 [解法 2:设点 P 的坐标为 ( x, y)( x ? 0, y ? 0) ∵ PF1 ? PF2 , c ? 5 又∵ | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 6 ∵ 2cy ?| PF1 | ? | PF2 | ∴y? ∴ | PF1 | ? | PF2 | ? 4c =20
2 2 2

∴ | PF1 | ? | PF2 |? 8

∴ 2 5y ? 8

4 5 3 5 3 5 4 5 , ) ,下同解法 1.] ,x? ,即点 P 的坐标为 ( 5 5 5 5
2 2

(3)设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 x ? y ? 4 假设存在点 B(m, n) ,对于 ? O 上任意一点 M ,都有

MB 为常数,则 MA

| MB |2 ? ( x ? m)2 ? ( y ? n) 2 , | MA |2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2


( x ? m) 2 ? ( y ? n ) 2 ? ? (常数)恒成立-----------------------------11 分 ( x ? 3) 2 ? y 2
2 2

可得 (6? ? 2m) x ? 2ny ? 13? ? m ? n ? 4 ? 0

4 ? ?? ? 9 ?3? ? m ? 0 ?? ? 1 ? 4 ? ? ? ∴ ? 2n ? 0 ∴ ? m ? ? 或 ? m ? ?3 (不合舍去)--------13 分 3 ? ?13? ? m2 ? n2 ? 4 ? 0 ? ?n ? 0 ? ?n ? 0 ? ?

4 , 0) .------------------------14 分 3 a 21 解: (1)函数 f ( x) 的零点即方程 f ( x) ? (1 ? )e x =0 的解 x a x 由 (1 ? )e ? 0 得 x ? ?a x
∴存在满足条件的点 B,它的坐标为 ( ? ∴函数 f ( x) 的零点为 x ? ?a -----------------2 分 (2)函数 f ( x) 在区间 (??,0) 上有意义, f '( x) ?

x 2 ? ax ? a x e x2

令 f '( x) ? 0 得 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? -------------------4 分 2 2

∵ a ? 0 ∴ x1 ? 0, x2 ? 0 当 x 在定义域上变化时, f '( x) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)
∴在区间 (??,

(??, x1 )
+ ↗

( x1 , 0)
- ↘

? a ? a 2 ? 4a ) 上 f ( x) 是增函数------------------------7 分 2

? a ? a 2 ? 4a , 0) 上 f ( x) 是减函数----------------------------8 分 在区间 ( 2
(3)在区间 (??, ? ]

a 2

上 f ( x) 存在最小值 f (? ) ------------------------9 分

a 2

∵由(1)知 ?a 是函数 f ( x) 的零点, ?a ? x1 ? ?a ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ? ?0 2 2

∴ x1 ? ?a ? 0 ---------------------------------------------------------10 分 由 f ( x) ? (1 ? )e 知,当 x ? ?a 时, f ( x) ? 0
x

a x

又函数在 ( x1 , 0) 上是减函数,且 x1 ? ?a ? ?

a ? 0 ,------------------------12 分 2

∴函数 f ( x) 在区间 ( x1 , ? ] 上的最小值为 f (? ) ,且 f (? ) ? 0
? a a ∴函数 f ( x) 在区间 (??, ? ] 上的最小值为 f (? ) = ? e 2 .-----------------14 分 2 2 a

a 2

a 2

a 2



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