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北师大版数学必修二1.3.1 (27)



第 2 课时
明目标、知重点

两平面垂直的判定

1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角

的平面角;2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角;3.掌握两个平 面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.

1.二面角的概念 一条直线和由这条直

线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的 棱,每个半平面叫做二面角的面. 2.二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的射线, 这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. 3.直二面角及两平面垂直的概念 平面角是直角的二面角叫做直二面角,这时我们说这两个平面互相垂直,记作 α⊥β. 4.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

[情境导学] 在学习了异面直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出:两 个平面所成的角该怎么定义?如何衡量它的大小?为此, 我们需要引入二面角的概念, 研究 两个平面所成的角. 探究点一 二面角的概念 思考 1 平面几何中“角”是怎样定义的? 答 从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形. 思考 2 在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义

的?它们有什么共同的特征? 答 已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a、b′∥b,我们把 a′与 b′ 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角;平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.它们的共同特征都是平面角,都是由两条直线 组成的图形,角的范围不超过 90° . 思考 3 在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个

问题的一些例子吗? 答 修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地 球卫星时,也要根据需要,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度;教室的门在打开 的过程中与墙面成一定的角度;书本翻开的过程中,两张纸面呈一定的角度等等. 小结 二面角的概念: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫 做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 思考 4 如何用字母来记作二面角? 答 如图,

棱为 AB,面分别为 α,β 的二面角记作二面角 α—AB—β.有时为了方便,也可在 α,β 内(棱 以外的半平面部分)分别取点 P,Q,将这个二面角记作二面角 P—AB—Q.如果棱记作 l,那 么这个二面角记作二面角 α—l—β 或 P—l—Q. 思考 5 呢? 答 如图,在二面角 α—l—β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别 作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系,那我们应如何度量二面角的大小

二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角是多少 度. 小结 关于二面角的平面角有以下几点要引起重视: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥l”,“OB⊥l”; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 l 上的位置无关; (3)二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,平面角是直角时叫直二面角. (4)二面角的平面角的范围是:[0° ,180° ]. 例 1 如图,在正方体 ABCD—A′B′C′D′中:

(1)求二面角 D′—AB—D 的大小;

(2)求二面角 A′—AB—D 的大小. 解 (1)在正方体 ABCD—A′B′C′D′中,AB⊥平面 AD′,所以 AB⊥AD′,又因为

AB⊥AD. 因此,∠D′AD 为二面角 D′—AB—D 的平面角. 在 Rt△D′AD 中,∠D′AD=45° , 所以二面角 D′—AB—D 的大小为 45° . (2)同理,∠A′AD 为二面角 A′—AB—D 的平面角,二面角 A′—AB—D 的大小为 90° . 反思与感悟 1.求二面角的步骤

简称为“一作二证三求”. 2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图 ①,则∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条 交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线,垂足为 B,由点 B 向二面角的棱作垂线,垂足为 O,连结 AO,则∠AOB 为二面角的平面角或其补角.如图③, ∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角.

跟踪训练

已知 Rt△ABC, 斜边 BC?α, 点 A?α, AO⊥α, O 为垂足, ∠ABO=30° , ∠ACO

=45° ,求二面角 A-BC-O 的大小. 解 如图所示,在平面 α 内,过 O 作 OD⊥BC,垂足为 D,连结 AD.

∵AO⊥α,BC?α,∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面 AOD. 而 AD?平面 AOD,∴AD⊥BC. ∴∠ADO 是二面角 A-BC-O 的平面角.

由 AO⊥α,OB?α,OC?α,知 AO⊥OB,AO⊥OC. 又∠ABO=30° ,∠ACO=45° , ∴设 AO=a,则 AC= 2a,AB=2a. 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° , ∴BC= AC2+AB2= 6a, AB· AC 2a· 2a 2 3 ∴AD= = = a. BC 3 6a AO a 3 在 Rt△AOD 中,sin∠ADO= = = . AD 2 3 2 a 3 ∴∠ADO=60° .即二面角 A-BC-O 的大小是 60° . 探究点二 两个平面垂直的概念 思考 1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些

二面角各是多少度? 答 可以构成三个二面角; 分别是两相邻墙面构成的二面角, 一个墙面与地面构成的二面角, 另一个墙面与地面构成的二面角;这三个二面角都为 90° . 思考 2 如何定义两个平面互相垂直? 答 一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 思考 3 如何画两个相互垂直的平面?平面 α 与平面 β 垂直,记作什么? 答 两个互相垂直的平面通常画成下图中的两种样子, 此时, 把直立平面的竖边画成与水平 平面的横边垂直.平面 α 与平面 β 垂直,记作 α⊥β.



如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点.求证: 平面 C1BD⊥平面 BDE.

证明 设 AC∩BD=O,则 O 为 BD 的中点,连结 C1O,EO,C1E.

因为 EB=ED,点 O 是 BD 的中点, 所以 BD⊥EO. 因为 C1B=C1D,点 O 是 BD 的中点, 所以 BD⊥C1O, 所以∠C1OE 即为二面角 C1-BD-E 的平面角. 因为 E 为 AA1 中点,设正方体的棱长为 a, 则 C1O= EO= C1E= a2+? 2 2 6 a? = a, 2 2

a 2 3 ? ?2+? a?2= a, 2 2 2 1 3 ? 2a?2+? a?2= a, 2 2

所以 C1O2+EO2=C1E2, 所以 C1O⊥OE,所以⊥C1OE=90° . 所以平面 C1BD⊥平面 BDE. 反思与感悟 面面垂直定义的两个作用 (1)证明面面垂直. 首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角,然后证明此平面角是直角. (2)证明线线垂直. 首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角, 然后根据面面垂直推出该直二面角的平面 角是直角. 跟踪训练 2 如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90° ,AB=AC=1,将△ABC 沿斜 边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD⊥平面 ACD,则折叠后 BC=________.

答案 1 解析 因为 AD⊥BC, 所以 AD⊥BD,AD⊥CD, 所以∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角. 因为平面 ABD⊥平面 ACD,所以∠BDC=90° . 在△BCD 中∠BDC=90° , BD=CD= 2 ,所以 BC= 2 ? 22 2 ? +? ?2=1. 2 2

探究点三 平面与平面垂直的判定

思考 1 判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有其它的判定定理吗? 答 面面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相 垂直.这个定理简称“线面垂直,则面面垂直”. 思考 2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理? 答 例3
? 直线AB⊥平面β? ??平面 α⊥平面 β. 直线AB?平面α? ?

如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任

意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC.

证明 设⊙O 所在平面为 α,由已知条件,PA⊥α,BC 在 α 内,所以 PA⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A、 B 的任意一点, AB 是⊙O 的直径, 所以∠BCA 是直角, 即 BC⊥AC. 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线. 所以 BC⊥平面 PAC.又因为 BC 在平 面 PBC 内,所以,平面 PAC⊥平面 PBC. 反思与感悟 证明面面垂直的方法有: 面面垂直的定义和面面垂直的判定定理, 而本题二面 角 A—PC—B 的平面角不好找, 故用判定定理, 而用判定定理证面面垂直的关键是在其中一 个平面内找(作)一条直线与另一个平面垂直. 跟踪训练 3 如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中 点.

求证:(1)EF∥面 ACD; (2)面 EFC⊥面 BCD. 证明 (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF?面 ACD,AD?面 ACD,∴EF∥面 ACD. (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD?面 BCD, ∴面 EFC⊥面 BCD.

1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角,可能为钝角的 有________个. 答案 1 解析 异面直线所成角的范围为(0° ,90° ],直线和平面所成角的范围为[0° ,90° ],二面角的 平面角的范围为[0° ,180° ],只有二面角的平面角可能为钝角. 2. 直线 l⊥平面 α, l?平面 β, 则 α 与 β 的位置关系是__________________________________. 答案 垂直 解析 由面面垂直的判定定理,得 α 与 β 垂直. 3.下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; ②异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直,则 a、b 组成的角与这个二面角的平面角 相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是________. 答案 ②④ 解析 ①不符合二面角定义,③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是最小角. 4.如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,△SBC,△ABC 都是等边三角形,且 BC=1,SA= 则二面角 S-BC-A 的大小为________. 3 , 2

答案 60° 解析 取 BC 的中点 O,连结 SO,AO,因为 AB=AC,O 是 BC 的中点, 所以 AO⊥BC,同理可证 SO⊥BC, 所以∠SOA 是二面角 S-BC-A 的平面角. 在△AOB 中,∠AOB=90° ,∠ABO=60° ,AB=1,

所以 AO=1×sin 60° = 同理可求 SO= 又 SA= 3 . 2

3 . 2

3 ,所以△SOA 是等边三角形, 2

所以∠SOA=60° , 所以二面角 S-BC-A 的大小为 60° . [呈重点、现规律] 1.二面角的大小是通过二面角的平面角的大小来确定的,二面角的平面角是多少度,就说 这个二面角是多少度. 两个相交平面的相对位置是两个平面所成的二面角来确定的, 而二面 角的大小是用二面角的平面角来度量的,这充分体现了空间问题向平面问题转化的化归思 想. 由二面角的平面角的定义可知二面角的平面角必须具备三个条件: ①角的顶点在二面角 的棱上; ②角的两边分别在二面角的两个面(半平面)内; ③角的两边分别与二面角的棱垂直. 2.平面与平面垂直的证明方法 (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角; (2)利用“面面垂直”的判定定理.

一、基础过关 1.过两点与一个已知平面垂直的平面有________个. 答案 一或无数 解析 当两点连线与平面垂直时, 有无数个平面与已知平面垂直, 当两点连线与平面不垂直 时,有且只有一个平面与已知平面垂直. 2.下列命题中正确的是________. ①平面 α 和 β 分别过两条互相垂直的直线,则 α⊥β; ②若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的两条平行直线,则 α⊥β; ③若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的两条相交直线,则 α⊥β;

④若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线,则 α⊥β. 答案 ③ 解析 当平面 α 和 β 分别过两条互相垂直且异面的直线时, 平面 α 和 β 有可能平行, 故①错; 由直线与平面垂直的判定定理知,②、④错,③正确. 3.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面,下列结论中正确的是________. ①若 l∥α,l∥β,则 α∥β; ②若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β; ③若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β; ④若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β. 答案 ② 解析 利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法. 设 α∩β=a,若直线 l∥a,且 l?α,l?β,则 l∥α,l∥β, 因此 α 不一定平行于 β,故①错误; 由于 l∥α,故在 α 内存在直线 l′∥l,又因为 l⊥β, 所以 l′⊥β,故 α⊥β,所以②正确; 若 α⊥β,在 β 内作交线的垂线 l,则 l⊥α,此时 l 在平面 β 内,因此③错误; 已知 α⊥β,若 α∩β=a,l∥a,且 l 不在平面 α,β 内, 则 l∥α 且 l∥β,因此④错误. 4. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD, 且 AP=AB, 则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的度数是________. 答案 45° 解析 可将图形补成以 AB、AP 为棱的正方体,不难求出二面角的大小为 45° .

5.如图,已知点 O 在二面角 α-AB-β 的棱上,点 P 在 α 内,且∠POB=45° ,若对于 β 内异于 O 的任意一点 Q,都有∠POQ≥45° ,则二面角 α-AB-β 的大小是________. 答案 90° 解析 由∠POB=45° , ∠POQ≥45° 知 PO 与平面 β 成 45° 角. 若作 PQ⊥β 于 Q 点, 则∠POQ =45° ,∴Q∈AB.又 PQ?α,∴α⊥β. 6.

如图,平面角为锐角的二面角 α—EF—β,A∈EF,AG?α,∠GAE=45° ,若 AG 与 β 所成 角为 30° ,求二面角 α—EF—β 的平面角.

解 作 GH⊥β 于 H,作 HB⊥EF 于 B,连结 GB,则 GB⊥EF,∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是 AG 与 β 所成的角,设 AG=a, 则 GB= 2 1 GH 2 a,GH= a,sin∠GBH= = . 2 2 GB 2

所以∠GBH=45° , 故二面角 α-EF-β 的平面角为 45° . 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求二面角 A-B1C-B 的正弦值.

解 过 B 作 BF⊥B1C,垂足为 F,连结 AF.因为 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,所以 AB⊥平 面 BB1C1C.又 B1C?平面 BB1C1C, 所以 B1C⊥AB.又 B1C⊥BF,AB∩BF=B,

所以 B1C⊥平面 ABF, 又 AF?平面 ABF, 所以 B1C⊥AF, 所以∠AFB 是二面角 A-B1C-B 的平面角. 设正方体的棱长为 a, 在 Rt△B1BC 中,∠B1BC=90° ,BB1=BC=a, 所以 F 是 B1C 的中点,所以 BF= 2 a. 2 2 a, 2

在 Rt△ABF 中,∠ABF=90° ,AB=a,BF= 所以 AF= AB2+BF2



a2+?

2 2 6 a? = a. 2 2

AB a 6 所以 sin∠AFB= = = , AF 3 6 a 2 所以二面角 A-B1C-B 的正弦值为 二、能力提升 8.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是________. ①若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n; ②若 α∥β,m?α,n?β, ,则 m∥n; ③若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β; ④若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β. 答案 ④ 解析 ①中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;②中 m 与 n 可平行、可异面;③中若 α∥β, 仍然满足 m⊥n,m?α,n?β,故③错误;④正确. 9.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立 的是________. ①BC∥面 PDF; ②DF⊥面 PAE; ③面 PDF⊥面 ABC; ④面 PAE⊥面 ABC. 答案 ③ 6 . 3

解析 如图所示,∵BC∥DF, ∴BC∥平面 PDF.∴①正确. 由 BC⊥PE,BC⊥AE, ∴BC⊥平面 PAE. ∴DF⊥平面 PAE.∴②正确. ∴平面 ABC⊥平面 PAE(BC⊥平面 PAE).∴④正确. 10.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,把菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD= 3 ,则二面角 B-AC-D 的大小为________. 2

答案 60°

解析 如图所示,由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角. ∵DO=OB=BD= ∴∠BOD=60° . 3 , 2

11.如图所示,四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB. (1)求二面角 A-PD-C 的平面角的度数; (2)求二面角 B-PA-D 的平面角的度数; (3)求二面角 B-PA-C 的平面角的度数; (4)求二面角 B-PC-D 的平面角的度数. 解 (1)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴CD⊥AD, ∵PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, 又 CD?平面 PCD, ∴平面 PAD⊥平面 PCD. ∴二面角 A-PD-C 的平面角的度数为 90° . (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角. 由题意知∠BAD=90° , ∴二面角 B-PA-D 的平面角的度数为 90° . (3)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角.

∵四边形 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45° . 即二面角 B-PA-C 的平面角的度数为 45° .

(4)作 BE⊥PC 于 E,连结 DE,BD,且 BD 与 AC 交于点 O,连结 EO,如图所示,由题意 知△PBC≌△PDC, 则∠BPE=∠DPE, 从而△PBE≌△PDE. ∴∠DEP=∠BEP=90° , 且 BE=DE. ∴∠BED 为二面角 B-PC-D 的平面角. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC. 又 AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥PB. 设 AB=a, PB· BC 6 则 BE= = a,BD= 2a. PC 3 BO 3 ∴sin∠BEO= = .∴∠BEO=60° , BE 2 ∴∠BED=120° . ∴二面角 B-PC-D 的平面角的度数为 120° .

如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60° ,E 是 CD 的中 点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 A—BE—P 的大小. (1)证明 如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60° 知,△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD.

又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE?平面 ABCD, 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A, 因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE?平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB?平面 PAB, 所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角. 在 Rt△PAB 中,tan∠PBA= 则∠PBA=60° . 故二面角 A—BE—P 的大小是 60° . 三、探究与拓展 PA = 3, AB

如图所示,三棱锥 P—ABC 中,D 是 AC 的中点,PA=PB=PC= 5,AC=2 2,AB= 2,BC= 6. (1)求证:PD⊥平面 ABC; (2)求二面角 P—AB—C 的正切值.

(1)证明 连结 BD,∵D 是 AC 的中点,PA=PC= 5,∴PD⊥AC. ∵AC=2 2,AB= 2,BC= 6, ∴AB2+BC2=AC2.

∴∠ABC=90° ,即 AB⊥BC. 1 ∴BD= AC= 2=AD. 2 ∵PD2=PA2-AD2=3,PB= 5, ∴PD2+BD2=PB2.∴PD⊥BD. ∵AC∩BD=D,∴PD⊥平面 ABC. (2)解 取 AB 的中点 E,连结 DE、PE,由 E 为 AB 的中点知 DE∥BC, ∵AB⊥BC,∴AB⊥DE. ∵PD⊥平面 ABC,∴PD⊥AB. 又 AB⊥DE,DE∩PD=D, ∴AB⊥平面 PDE,∴PE⊥AB. ∴∠PED 是二面角 P—AB—C 的平面角. 1 6 在△PED 中,DE= BC= ,PD= 3,∠PDE=90° , 2 2 PD ∴tan∠PED= = 2. DE ∴二面角 P—AB—C 的正切值为 2.



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