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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A选修2-1)



第三章

空间向量与立体几何

好好学习 天天向上

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第三章

空间向量与立体几何

共线向量定理

对空间任意两个向量a、 ( b b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数?,使a=? b.
共面向量定理



如果两个向量a, b不共线,则向 量 p与向量a, b共面的充要条件是 存在实数对x, y使 p =xa +yb .
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空间向量与立体几何

如果e1,是同一平面内的两个不共线向量, e2 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e2。 (e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)

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空间向量与立体几何

如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一 向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, 使p=xa+yb+zc. 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底

a、b、c都叫做基向量
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空间向量与立体几何

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐 标表示

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空间向量与立体几何

新知初探思维启动
1.空间向量基本定理 不共面 ,那么对空 如果三个向量 a、 b、 c__________ 间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使 xa+yb+zc 得p= _____________ ,其中{a,b,c}叫做空间 基底 ,a,b,c都叫做__________ 基向量 . 的一个________

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空间向量与立体几何

想一想

1.空间向量的基底是惟一的吗?
提示:不惟一. 2.0能是基向量吗? 提示:不能.

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空间向量与立体几何

2.空间向量的正交分解及其坐标表示 两两垂直 的 三个有公共起点O的__________ 单位正 单位向量e1,e2,e3称为单位正交 交基底 基底. 共起点O 为原点, 以e1,e2,e3的__________ 空间直 e1 , e2 , e 分别以____________ 的方向为 x轴, 3 角坐标 y轴,z轴的正方向建立空间直角坐 系 标系Oxyz.

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空间向量与立体几何

对于空间任意一个向量 p, 一定可以把 平移 ,使它的_______ 起点 与原点 O 它_______ → 重合,得到向量 OP =p,由空间向量 空间向 量的坐 基本定理可知, 存在有序实数组{x, y, xe1+ye2+ze3 .把 标表示 z},使得 p=________________ x,y,z 称作向量 p 在单位正交基 __________ 底 e1,e2,e3 下的坐标,记作 p= ( x, y, z) . __________

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空间向量与立体几何

做一做

设 {i , j , k} 是空间向量的一个单位正交基底 ,
且 m= 2i+3j- 4k, n=-i+2j-5k,则 m 、 n 的坐标分别为__________. 答案:(2,3,-4)、(-1,2,-5)

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空间向量与立体几何

典题例证技法归纳
题型探究

基底的判断
例1
若 {a , b , c} 是空间一个基底,试判 断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个

基底.
【解】 假设a+b,b+c,c+a共面,

则存在实数λ、μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),

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空间向量与立体几何

∴ a+ b= λb+ μa+ (λ+ μ)c. ∵ {a,b, c}为基底, ∴ a, b, c 不共面. 1 =μ ? ? ∴?1=λ . ? ?0=λ + μ 此方程组无解. ∴ a+ b, b+ c, c+ a 不共面. ∴ {a+b,b+ c,c+a}可以作为空间的一个基底.

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空间向量与立体几何

互动探究 1.若本例条件不变,试判断向量a+b,a-b, c能否作为空间的一个基底. 解:假设a+b,a-b,c共面,

则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),
即c=(x+y)a+(x-y)b, 从而由共面向量知c与a,b共面,

这与a,b,c不共面矛盾.
∴a+b,a-b,c不共面, 即可以作为空间的一个基底.
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空间向量与立体几何

用基底表示向量
例2
如图所示,已知平行六面体 ABCD

→ → → - A1B1C1D1,设AB= a,AD = b,AA1 = c,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点. 用基底 {a, b, c}表示以下向量: → → (1)AP; (2)AM.

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空间向量与立体几何

【解】 连接 AC、 AD1, → 1 → → (1)AP= (AC+AA1 ) 2 1 → → → = (AB+AD + AA1 ) 2 1 = (a+b+ c); 2

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空间向量与立体几何

→ 1 → → (2)AM= (AC+AD1) 2 1 → → → = (AB+ 2 AD + AA1 ) 2 1 1 = a+ b+ c. 2 2

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空间向量与立体几何

空间向量的坐标表示
例3
在直三棱柱 ABO- A1B1O1 中,∠

π AOB= , AO= 4, BO= 2, AA1= 2, D 为 2 A1B1 的中点,在如图所示的空间直角坐标系 → → 中,求DO、A1B的坐标.

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空间向量与立体几何

【思路点拨】

→ → 求DO 、A1B 的坐标就是要用

→ → 单位正交基底表示 DO 、A1B ,找到相应的有 序实数组.
【解】 设 {e1, e2, e3}是单位正交基底, → → → → ∵DO=-OD=- (OO1+O1D) → 1 → → =-[OO1+ (OA+ OB)] 2 → 1→ 1→ =-OO1- OA- OB.(3 分 ) 2 2
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→ → 又∵ |OO1|= 2, |OA|= 4, → |OB|= 2, (5 分 ) → ∴DO=-2e1- e2- 2e3, → ∴DO= (-2,-1,-2). (6 分 ) → → → → → → ∵A1B= OB-OA1=OB- (OA+AA1 )

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空间向量与立体几何

→ → → =OB- OA-AA1 .(9 分 ) → → → 又∵ |OB|= 2, |OA|= 4, |AA1 |= 2, (11 分 ) → ∴A1B=-4e1+ 2e2-2e3, → ∴A1B= (-4, 2,-2). (12 分)

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空间向量与立体几何

变式训练 2.如图所示, PA 垂直于正方形 ABCD 所在的 平面, M、 N 分别是 AB、 PC 的中点,并且 PA= AB= 1.试建立适当的空间直角坐标系, → 求向量MN的坐标.

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空间向量与立体几何

解:∵PA= AB= AD= 1, PA⊥平面 ABCD, AB⊥ AD, → → → ∴AB、 AD 、AP是两两垂直的单位向量. → → → 设AB= e1,AD = e2,AP= e3,以 {e1, e2, e3}为 基底建立空间直角坐标系 Axyz.连接 AC.

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空间向量与立体几何

→ → → → ∵MN= MA+AP+PN 1 → → 1→ =- AB+AP+ PC 2 2 1→ → 1 → → =- AB+AP+ (PA+AC) 2 2 1→ → 1 → → → =- AB+AP+ (PA+AB+AD ) 2 2 1 → 1→ 1 1 = AD + AP= e2+ e3, 2 2 2 2 1 1 → ∴MN= (0, , ). 2 2
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空间向量与立体几何

备选例题
→ → 如图,设四面体 O- ABC 中,OA= a,OB → = b,OC= c,G 为△ BCD 的重心,以 {a,b, → → c}为空间基底表示向量BE,OG.

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空间向量与立体几何

解: 由 G 为△ BCD 的重心易知 E 为 BC 的中点, → 1 → → ∴BE= (BA+ BC) 2 1 → → → → = [(OA-OB)+ (OC-OB)] 2 1 1 = [(a-b)+ (c- b)]= (a+ c- 2b), 2 2 2→ 1 1 → → → OG= OB + BG = b+ BE = b+ (a+ c- 2b)= 3 3 3 (a+b+ c).

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空间向量与立体几何

失误防范

(1)基底和基向量是两个不同概念,基底是
指一个向量组,基向量是指空间中的某基底 中的一个向量. (2)同一几何图形中,由于建立的空间直角 坐标系不同,从而各点的坐标在不同的坐标 系中也不一定相同,但实质是一样的.

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空间向量与立体几何

归纳小结
1.空间向量的基本定理

2.单位正交基底

3.如何建立空间直角坐标系

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空间向量与立体几何

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