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无棱二面角的探讨



关于“无棱”二面角问题的探讨
二面角问题是历年高考考查的热点,也是难点.求二面角的基本步骤是:作,证,算.即 先作出一个平面角,再证明这个角就是所求二面角的平面角,最后将这个平面角放在一个三角 形中计算求解.其中根据二面角的含义作出二面角的平面角是一个关键,但有时题目中并没有 给出二面角的棱,直接作角便遇到了困难.本文就这类无棱二面角问题做一些探讨. 一、由“无棱”向“

有棱”转化 将二面角的两个面延展,通过添线、补体的方式寻找二面角两半平面的公共点,由公理 1 和公理 2 确定两个面的交线;或平移面,根据同位二面角相等得到新二面角的棱,从而将“无 棱”二面角问题转化为“有棱”二面角问题.

将二面角的一个或两个面平移至适当位置,使其相交,组成一个易求的二面角. (2)将“无棱”问题转化为“有棱”问题,实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角 问题.

2 .平移法
例2 如图 2 , 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 所有棱长都为 2, 侧面 A1 AC ? 底面 ABC , 侧棱 AA 1

与底面 ABC 所成的角为 60? ,求平面 A1 B1C 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值. 解析:由平面 ABC // 平面 A1 B1C1 知,平面 ABC 与平面 A1 B1C 所成的锐 二面角大小等于二面角 C1 ? A1B1 ? C 的大小. 过点 C 作 CO ? A1C1 于 O , 因 为 侧 面 A1 AC ? 底 面 ABC , 所 以 CO ? 平 面 A1 B1C1 , 则
A1 N
M

O

C1

B1

1 .补体法
例1 如图 1 ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 、 F 分别是棱 AB 、 C1 D1 的中点,求平面
G

C
A B

?CC1 A1 ? 60? ,于是 C1O ? CC1 ? cos60? ? 2 ?

1 ? 1 ,则 O 为 A1C1 的中 2

图2

ADD1 A1 与平面 DEB1 F 所成的二面角(锐角)的余弦值.
解析:延长 A D1 , B1F ,设两延长线交于点 G ,连结 1

D1

F
H

A1
D A

C1

点.过 C1 作 C1M ? A1B1 于 M ,作 ON ? A1B1 于 N ,连结 CN ,则

B1
C

ON // C1M ,由三垂线定理有 A1B1 ? CN ,则 ?ONC 为二面角 C1 ? A1B1 ? C 的平面角.由

DG ,则 DG 为平面 ADD1 A1 与平面 DEB1F 的交线,显然
GF ? B1F ? DF , D1G ? D1D ,取 DG 的中点 H ,连结

E
图1

B

3 1 3 1 CO CC1 ? sin 60? ? ? A1B1 ? ? ,得 tan ?ONC ? ON ? C1M ? 2. 2 2 2 ON ON 2
点评:寻求面面平行是关键,而面面平行常由线线平行得到. 二、避开找棱问题 常从以下四个方面入手:

D1 H , FH ,则 D1H ? DG , FH ? DG,从而 ?D1HF 为平面 ADD1 A1 与平面 DEB1 F 所成
二面角的平面角. D1 F ? 平面 ADD1 A1 知 D1F ? D1H , 由 令正方体的棱长为 1, 在Rt△ FD1 H

1 2 2 1 D1F 1 D1D ? 中 , D1H ? , D1F ? , 则 t a ?D1HF ? , 从 而 n ? 2 ? 2 2 D1H 2 2 2 2
6 c o ?D H F s ? . 3
点评: (1)两个平行平面与第三个平面相交,所成的两个同位(即同向)二面角相等,即
1

1 .垂面法
作出二面角 ? ? l ? ? 两半平面的垂面 ? ,或证明平面 ? 是 ? 、 ? 的公垂面,可由垂面 ? 与二面 角两半平面 ? 、 ? 交线的夹角求得二面角的大小. 例3 如图 3 , 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, SD ? 平面 ABCD , 且

SA ? 2 ,求平面 SAD 与平面 SBC 所成的锐二面角大小.

解析:因为 SD ? 平面 ABCD, AD ? 平面 ABCD,所以 SD ? DC , 又 DC ? AD ,则 DC ? 平面 SAD,由于 DC ? 平面 SDC ,所以平面

S

大小为 45? . 点评:寻找两半平面的垂线是关键.

SDC ? 平面 SAD.同理有 BC ? 平面 SDC ,因 BC ? 平面 SBC ,所以
平面 SBC ? 平面 SDC , 即平面 SDC 为平面 SAD与平面 SBC 的公垂面, 而 SD 与 SC 分别为交线,则 ?CSD 为平面 SAD与平面 SBC 所成锐二面 角 的 平 面 角 . 由 SD ? 平 面 ABCD有 SD ? AD , 在 R t △ SAD 中 ,
A
图3

3 .面积射影法
D B
C

依据:设锐二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,在一个半平面 ? 内有一个面积为 S 的封闭图形,该图 形在另一个半平面 ? 内的射影的面积为 S ' ,则 cos? ?

S' .此原理称为面积射影定理. S
?

SD ? SA2 ? AD2 ? 22 ?12 ? 3 ,则 tan ?C ? SD
面 SBC 所成的锐二面角大小为 30? . 点评:证面面垂直是关键.

DC 1 3 ,从而平面 SAD 与平 ? ? SD 3 3

例5

如图 5 ,AC 是圆 O 的直径, B 圆 O 上,EA ? 平面 ABC ,FC // EA , ?BAC ? 30 , 点 且

AC ? 4 , EA ? 3 , FC ? 1 ,求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角大小.
解 析 : 因 为 AC 是 圆 O 的 直 径 , 所 以 △ ABC 为 直 角 三 角 形 ,

E F

2 .垂线法
从空间一点 P 向二面角 ? ? l ? ? 的两个面分别引垂线 a 、 b ,由这两条垂线的夹角推断二面角 的大小. 例4 如图 4 ,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD是矩形, PA ? 平面 ABCD, PA ?

AB ? AC ? cos ?BAC ? 4?

3 ? 2 3 , BC ? AC ? sin ?BAC 2

G
A

O?
B

C

1 ? 4 ? ? 2 .因 EA ? 平面 ABC , FC // EA ,则 EA? AB , FC ? 平 2
面 ABC , FC ? BC . 则 在Rt△ FBC 中,BF ? 中, BE ?

在Rt△ EAB FC2 ? BC2 ? 12 ? 22 ? 5 .

BA ? 2 , BC ? 2 2 , E 、 F 分别是 AD 、 PC 的中点,求平面 BEF 与平面 PBA 夹角(锐
角)的大小. 解析: 因为 PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD,BA ? 平面 ABCD, 所以 PA ? BC ,PA? BA ,又 BC ? AB ,BA ? PA ? A , 所以 BC ? 平 面 PBA . 在 R t △ PBA 中 , PB ?
P

EA2 ? AB2 ? 32 ? (2 3 ) 2 ? 21 .过点 F 作 FG ? EA 于点 G ,易证四边形

ACFG 为矩形,从而 FG ? AC ? 4 , EG ? EA ? AG ? 2 ,则 EF ? EG2 ? GF 2 ? 2 5 ,
F
E
C

A
B

D

BF 2 ? EF 2 ? BE 2 ( 5 )2 ? (2 5 )2 ? ( 21) 1 在△ BEF 中, 由余弦定理有 cos ?BFE ? ? , ? 2 BF ? EF 5 2? 5 ? 2 5
由于 sin ?BFE ?

2

2 PA ? 2 ? 2 ? 2 2 . 又

图4

1 ? cos2 ?BFE ?

BC ? 2 2 , F 为 PC 中点,则 PC ? BF .连结 PE 、 CE ,易证△ PAE ≌ △ CDE ,则
PE ? CE ,因为点 F 为 PC 中点,所以 PC ? EF ,又 BF ? EF ? F ,则 PC ? 平面 ABE ,
即 PC 、 BC 分别是平面 BEF 、平面 PBA的垂线,所以 ?PCB 等于平面 BEF 与平面 PBA 所 成的锐二面角的大小.在等腰Rt△ PBC 中, ?PCB ? 45 ,即平面 BEF 与平面 PBA 夹角的
?

2 6 . S△C 又 B A 5

?

1 1 ? AB ? BC ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 . 设 2 2

平 面 BEF 与 平面 ABC 所 成 的锐 二面 角大 小为 ? , 则 co s ? ?

S△ ABC 2 3 2 .所以 ? ? S△BEF 2 6 2

? ? 45? ,即平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角大小为 45? .
2

点评:常找(或作)出一个半平面内的三角形(或四边形)在另一个半平面内的射影,再 利用面积射影定理求解.关键是找射影及求面积.

, z ? 1,即 n1 ? (?1, 3,1) .显然, n2 ? (0,1,0) 是平面 PAD 的一个法向量,则 cos ? n1, n2 ?

4 .向量坐标法
借助向量工具,将二面角问题转化为两半平面法向量的夹角问题. 理论依据:如图 6 ,在二面角 ? ? l ? ? 内任取一点 O ,过 O 作 OA ? ? 于点 A ,作 OB ? ? 于点 B ,设 OA 与 OB 确定平面 ? ,且 ? ? l ? C , 连结 AC 、 BC ,则 OA? l , OB ? l ,故 l ? ? ,从而 l ? AC ,且

?
? n2
?

n1 ? n2 n1 n2

?

(?1, 3,1) ? (0,1,0) (?1) ? ( 3 ) ? 1 ? 1
2 2 2

?

15 ,即平面 PAD 与平面 PBQ 所成锐二面角的余弦值 5

? A

O n1

?



l C

B

?

15 . 5
点评: (1)利用向量坐标法求解时,首先应根据几何体的特点,选择三个两两垂直的方向,

图6

建立空间直角坐标系,利用已知数据进行计算; (2)找两半平面的法向量是关键.有时可直接观察出某个半平面的法向量,这样可省去一

l ? BC ,知 ?ACB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角,由 ?A ? ?B ? 90? 知 ?AOB 与 ?ACB 互
补. n1 、 2 分别为 ? 、? 的法向量, 设 则夹角 ? n1 , n2 ? 或其补角是二面角 ? ? l ? ? 的平面角. 显 n 然, ? n1 , n2 ? 的大小与棱无关紧要,所以不需考虑棱的位置. 例6 如图 7 ,点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD所在平面外一点,点

些计算; (3)常根据原几何体中二面角两半平面的张开程度,或者两法向量在坐标系中的大致指向 来确定所求二面角与两半平面法向量夹角的关系; (4)坐标法是将严密的逻辑推理转化为坐标计算,一般很少添加其他辅助线,但计算繁琐,

?

?

? ?

? ?

z
Q 为 CD 中点, PA ? 平面 ABCD,且 PA ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

且易出错. 小结:无棱二面角问题的求解有很多不同的策略,在求解过程中应根据题目的特点选择适 当的方法.综合本文可知,求解无棱二面角问题时,可按如下步骤进行:先通过补形或平移面

P

求平面 PAD 与平面 PBQ 所成锐二面角的余弦值. 解析: 如图, A 为原点,DA 、AP 所在直线方向分别为 x 、z 轴, 以
A

D
x

Q
C

的方式寻找二面角的棱,再利用二面角的定义或三垂线定理(或其逆定理)作二面角的平面角, 从而求得二面角的大小.若作棱有难度,可考虑面积射影法、空间向量坐标法等.值得注意的 是,利用三垂线定理或面积射影定理都只能求锐二面角,所以要清楚所求的是锐二面角还是钝 二面角,以及得到的角的大小与所求二面角的大小的关系(相等或互补) ,这样才能准确地求出 问题中的二面角大小.

在平面 ABCD 内,过点 A 且垂直于 DA 的直线为 y 轴,建立空间

B
y
图7

直角坐标系,则 P(0,0, 3) , B(? ,

1 3 5 3 ,0) , Q(? , ,0) ,得 2 2 4 4

3 3 1 3 QB ? ( , ,0) , PB ? (? , ,?2) . 设 n1 ? ( x, y, z) 是 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量 , 则 由 4 4 2 2

?3 3 y?0 ?n1 ? QB ? 0 ? x? ? ?4 4 ? ,从而 ? .令 x ? ?1 ,得 y ? 3 n1 ? QB ,且 n1 ? PB ,得 ?n2 ? PB ? 0 ? ?? 1 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? 2 2 ?
3



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