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近年高考试卷中的N型函数零点个数问题赏析



近年高考试卷中的 N 型函数零点个数问题赏析
芦 志 新 乌鲁木齐高级中学 邮编:830001 近些年来,有不少的 N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中, 这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么 是 N 型函数零点个数问题呢, 就是含参函数 y ? f ( x) 在其定义域内连续可导, 有两个极值点 x1 、x2 并将其定义域分成三个单调区间, 通常是 “增减增” “减增减” 在此条件的基础上, 或 , 方程 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? m 的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意:函数 y ? f ( x) 在其靠近定义域两 端点时,函数值会很大或很小(即一端足够大,大于极大值;一端足够小,小于极小值) 。 N 型函数有哪些呢?一可能是三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,二可能是函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? ln( x ? t ) (a ? 0) ,它们在定义域内都必须有两个极值点。
例 1、 (2006 年福建高考卷)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x , g ( x) ? 6ln x ? m 。 (Ⅰ)求 f(x)在区间 [t , t ? 1] 上的最大值 h(t ) ; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解析: (Ⅰ)略; (Ⅱ)构作函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 8x ? 6ln x ? m , x ? 0 ; 求导得: ? '( x) ?

2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? , x ? 0 ,函数单调性与极值列表如下: x x
1

x

(0,1)

? '( x )

?
Z

0

(1,3) ?
]

3

(3, ??)

0

?
Z

? ( x)

?极大 ? m ? 7

?极小 ? m ? 6ln3 ?15

依题意,转化为函数 ? ( x) 图象与 x 轴的交点为 3 时情形,当 x 充分接近 0 时,? ( x) ? 0 ,当 x 充分大时, ? ( x) ? 0 ,为此有: ?

?

?极大 ? m ? 7 ? 0

??极小 ? m ? 6ln 3 ? 15 ? 0

? 7 ? m ? 15 ? 6ln 3 。

( 15 故 m 的取值范围为 7, ? 6 ln 3) 。
例 2、 (2008 年四川高考卷)已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ?10 x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
1

(Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围。 解析: (Ⅰ) (Ⅱ)略; (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? ? 16ln ?1 ? x ? ? x ?10x, x ? ? ?1, ??? ,
2

f ?? x? ?

2 ? x2 ? 4 x ? 3? 1? x
(?1,1)

?

2( x ? 1)( x ? 3) , x ? ? ?1, ?? ? ,故函数单调性与极值情况如下表: 1? x
1

x
f '( x) f ( x)

?
Z
2

0

(1,3) ?
]

3

(3, ??)

0

?
Z

f极大 ? 16ln 2 ? 9

f极小 ? 32ln 2 ? 21

?2 因此, f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1? , f e ? 1 ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f ? 3? ,

?

?

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 上,直线 y ? b 与 y ? f ? x ? 的图象有三个交点, 当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? ;因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。 例 3、 (2009 年陕西高考卷·文)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围。
2 解析: (Ⅰ)略; (Ⅱ)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值,所以 f ? ? ?1? ? 3? (?1) ? 3a ? 0 ,

得: a ? 1 ,继而 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1, f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。如下表

x
f ?( x )

(??, ?1)

?1

?
Z

0

(?1,1) ?

1

(1, ??)

0

?
Z

f ( x)

f极大 ? 1

]

f极小 ? ?3

3 因 为 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (? 3 ) ? ? 1 9 ? ? ,
( f (3) ? 17 ? 1 ,结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 ? 3,1) 。
评述:以上三例为两个函数图象(或一条直线与一个函数图象)有三个不同交点的问题,都可 以转化为一个 N 型函数 f ( x ) 有三个零点问题, 即方程 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? m 有三个根的问题, 列相 应不等式组, ?

? f 极大 ? 0 或 f极小 ? m ? f极大 ,解出参数范围,如下图。 ? f 极小 ? 0

2

f极大 ? 0
x1 x2 x1 x2

x
y ? f ( x)

y ? f ( x)

f极小 ? 0
图一(1) 例 4、 (2007 年全国高考Ⅱ卷)已知函数 f ( x) ? x3 ? x 。 (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (Ⅱ)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) 。 解析: (Ⅰ)切线方程为: y ? (3t 2 ?1) x ? 2t 3 。 (Ⅱ) 如果有一条切线过点 (a,b) , 则存在 t , b ? (3t 2 ?1)a ? 2t 3 , 2t ? 3at ? a ? b ? 0 。 使 即
3 2

图一(2)

于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程 2t ? 3at ? a ? b ? 0 有三个相异
3 2

的实数根。 记 g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ,则 g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at ? 6t (t ? a) 。 当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t )

(??, 0)

0 0 极大值 a ? b

(0,a)

a
0 极小值 b ? f (a)

(a, ?) ?

?
Z

?
]

?
Z

由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有一个实数 根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ?

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根; 2

当 b ? f (a) ? 0 时, 解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a , 即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则

a 2

?a ? b ? 0 ,即 ?a ? b ? f (a) 。 ? ?b ? f (a) ? 0
例 5、 (2010 年湖北高考卷· 设函数 f ( x) ? 文)
3

1 2 a 2 x ? x ? bx ? c , 其中 a ? 0 , 曲线 y ? f ( x) 3 2

在点 p(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 。 (Ⅰ)确定 b, c 的值; (Ⅱ) 设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x1 , f ( x1 ))及( x2 , f ( x2 )) 处的切线都过点 (0,2) .证明: x1 ? x2 时, 当

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ;
(Ⅲ)若过点 (0, 2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线,求 a 的取值范围。 解析: (Ⅰ) (Ⅱ)略; (Ⅲ) f ( x) ?

1 3 a 2 x ? x ? 1 , f '( x) ? x2 ? ax 。 3 2

由 于 点 (t , f (t )) 的 切 线 方 程 为 y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) , 而 点 ( 0, 2 ) 在 切 线 上 , 所 以 处

2 a 2 a 2 ? f (t ) ? f ?(t )(0 ? t ) ,化简得 t 3 ? t 2 ? 1 ? 0 ,即 t 满足的方程为 t 3 ? t 2 ? 1 ? 0 。 3 2 3 2
过点( 0, 2 )可作 y ? f ( x) 的三条切线,等价于方程 2 ? f (t ) ? f ?(t )(0 ? t ) 有三个相异的实根,即 等价于方程

2 3 a 2 t ? t ? 1 ? 0 有三个相异的实根。 3 2 2 3 a 2 a 设 g (t ) ? t ? t ? 1 ,则 g ?(t ) ? 2t 2 ? at 。令 g ?(t ) ? 2t 2 ? at =0 得 x1 ? 0, x2 ? (a ? 0) 3 2 2

列表如下:

t
g ?(t ) g (t )
由 g (t ) ? 当1 ? 0 ,1 ?

(??.0)


0 0

a (0, ) 2


a 2
0 极小值 1 ?

a ( , ??) 2




极大值 1



a3 24



2 3 a 2 2 a t ? t ? 1 的单调性知,要使 g (t ) ? t 3 ? t 2 ? 1 =0 有三个相异的实根,当且仅 3 2 3 2

a3 ? 0 ,即 a ? 2 3 3 。故 a 的取值范围是 2 3 3, ?) ( ? 。 24
1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。 4 2

例 6、 (2008 年湖南高考卷·文)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)证明: ?27 ? c ? 5 ;

(Ⅱ)若存在 c ,使函数 f ( x ) 在区间 ? a,a ? 2? 上单调递减,求 a 的取值范围。 解析: (I)证明:因为函数 f ( x) ?

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点,也即 4 2

f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ? 0 有三个互异的实根。
设 g ( x) ? x ? 3x ? 9x ? c , g ?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1) , 则 其单调性与极值如下表:
3 2 2

4

x
g '( x ) g ( x)

(??, ?3)

?3

?
Z

0

(?3,1) ?
]

1

(1, ??)

0

?
Z

g极大 ? 27 ? c

g极小 ? ?5 ? c

由于 g ( x ) ? 0 有三个不同实根,所以 g (? 3) ? 0 且 g (1) ? 0 。即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且

1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 ,解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 。
(II)略。 评述:例 4、例 5 为过某定点可作曲线(或函数图像)的三条切线的条件问题,此问题可以转 化为一个 N 型函数有三个零点问题,即方程 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? m 有三个根的问题。而例 6 则是原 函数 f ( x ) 有三个极值点的问题,它等同于其导函数 f ?( x )(是 N 型函数)有三个零点问题,即可转 化为方程 f ?( x) ? 0 有三个根的问题。 例 7、 (2005 年全国高考Ⅱ卷·文)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 解析:(I) f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1,令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? ? 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 变化情况如下表:

1 , x2 ? 1 。 3
1 0 极小值 a ? 1 (1,+∞) + ↗

x
f ?( x )

(-∞,- + ↗

1 ) 3



1 3

(-

1 ,1) 3
- ↘

0 极大值

f ( x)

5 ?a 27

1 5 ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27 3 2 1) (II) 函 数 f ( x) ? x ? x ? x ? a ?( x ? 2 ( x ? 1) ? a ? 1 由 此 可 知 , 取 足 够 大 的 正 数 时 , 有 ,
∴ f ( x ) 的极大值是 f ( ? ) ?

f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一个交点。
结合 f ( x ) 的单调性可知: 当 f ( x ) 的极大值

5 5 ? a <0,即 a ? (??, ? ) 时,它的极小值也小于 0,因此曲线 y = f ( x) 与 27 27

x 轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;当 f ( x) 的极小值 a -1>0 即 a ? (1,+∞)时,它的极大值也大
于 0,因此曲线 y = f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点,它在(-∞,-

1 )上。 3

5

5 ) ∪ (1, ??) 时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27 9 2 3 例 8、 (2009 年江西高考·文)设函数 f ( x) ? x ? x ? 6 x ? a 。 2
综上所述,当 a ? ( ??, ? (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围。 解析: 求导得: f ?( x) ? 3( x 2 ? 3 x ? 2) ? 3( x ? ) 2 ? (1) 恒成立等价于 m ? [ f ?( x)]min ? ?

3 2

3 3 对于任意实数 x , f ?( x) ? m ?? , 4 4

3 3 ,故 m 的最大值为 ? 。 4 4 ?( x) ? 3( x 2 ? 3x ? 2) ? 3( x ?1)( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? 1 , x2 ? 2 。 (2)因 f 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 变化情况如下表: x (-∞, 1 ) (1 , 2 ) ( 2 ,+∞) 1 2 f ?( x ) + 0 0 + - 5 f ( x) 极大值 ? a ↗ ↘ ↗ 极小值 2 ? a 2 5 ∴ f ( x ) 的极大值是 f (1) ? ? a ,极小值是 f (2) ? 2 ? a 且函数 f ( x ) 定义域为 (??, ??) ,依 2 5 5 题意知, f (1) ? ? a ? 0 或 f (2) ? 2 ? a ? 0 ,故 a 的取值范围为 ( ??, 2) U ( , ??) 。 2 2
评述:N 型函数零点问题的核心就是找出零点个数的相关条件,即 f ( x) ? 0 有三个根,须满足

? f 极大 ? 0 ; f ( x) ? 0 有两个根, 须满足 f极大 ? 0 或 f极小 ? 0 ; f ( x) ? 0 有一个根, 须满足 f极大 ? 0 ? f 极小 ? 0 ?
或 f极小 ? 0 (如下图二所示) 。若 f ( x) ? m(m ? 0) ,则可以转化为: g ( x) ? f ( x) ? m ? 0 。 1根 2根 3根 2根 1根

f极大
x1 x2
y ? f ( x)

x1

x2

y ? f ( x)

f极小

图二(2) 图二(1) N 型函数零点个数问题的题型是在函数定义域优先情况下把函数单调性、极值与函数零点个数

条件很好结合并求参数范围的题型。作用:⑴考查函数单调性;⑵考查函数极值;⑶考查函数零点 的个数条件;⑷考查曲线或函数图象中过定点切线个数等;难度:在掌握解题模式下应属于中等偏 易题,适合考查文科生,此题型是高考命题者比较青睐的题型,是高考文科类导数命题的一个方向, 因此也是高三学生(含理科生)科学备考必须掌握的典型题。 N 型函数零点个数问题的解题模式与套路:求含参函数的定义域→求导函数→列表(写出函数单 调区间、单调性、极值点、极值)→转化为 N 型函数零点个数问题(即方程 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? m 的

6

根的个数问题)→列相应不等式或不等式组,求出参数的取值范围。

7



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