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7-3第三节 基本不等式



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第七章
不等式

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第三节

基本不等式

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第三节

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考 纲 解 读

1.了解均值不等式的证明过程. 2.会用均值不等式解决简单的最大?小?值问题.

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考情剖析

1.以选择题或填空题的形式考查均值不等式的应用, 如比较大小、求最值等,如2012年福建T5,湖南T8等. 2.在实际问题中和函数建模综合起来,考查均值不等 式在求函数最值中的应用,如2013年安徽T 1 7 等.

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自主回顾· 打基础

易错警示· 提素能

突破考点· 速通关

课时作业

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自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发

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1.均 值 定 理 如 果 a,b∈R , 那 么 a_ _ _ _ _ _ b时 等 号 成 立 .


a+ b _ _ _ _ _ _ _ _ 2

a b , 当 且 仅 当

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答案 1.≥ =

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[探 究] 义 ?

1 .如 何 理 解 均 值 不 等 式 中

“当 且 仅 当

”的 含

a+b 提 示 : ①当a=b时 , ≥ a b取 等 号 , 即 2 = a b a+b ②仅 当 a=b时 , 2 ≥ a b 取 等 号 , 即 =b.

a+b a=b? 2

a+b b ?a 2 = a

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2.几 个 重 要 的 不 等 式 a +b ≥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ≥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( a+ b 2 ( 2 )_ _ _ _ _ _ _ _
2 2

a,b∈R); a+b 2

b a



a b

a,b同 号 );a b ≤( a2+b2 2 (a,b∈R).

)2(a,b∈R);

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答案 2.2a b 2 ≤

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3.算 术 平 均 数 与 几 何 平 均 数 设a>0,b>0, 则 a,b的 算 术 平 均 数 为 平 均 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ , 均 值 不 等 式 可 叙 述 为 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 几 何 _ _

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答案 a+b 3 . 2 几 何 平 均 数 a b 两 个 正 实 数 的 算 术 平 均 数 不 小 于 它 们 的

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4.利 用 均 值 不 等 式 求 最 值 问 题 1 ( ) 两 个 正 数 的 积 为 常 数 时 , 它 们 的 值 ; 两 个 正 数 的 和 为 常 数 时 , 它 们 的 2 ( ) 已 知 x>0,y>0, 则 ①如 果 积 xy是 定 值 P, 那 么 当 且 仅 当 有 最 小 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 简 记 : 积 定 和 最 小 _ _ _ _ _ _ _ _ ). _ _ _ _ _ _ _ _ ). 时 , xy 时 , x+y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 有 最 小 有 最 大 值 .

②如 果 和 x+y是 定 值 P, 那 么 当 且 仅 当 有 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 简 记 : 和 定 积 最 大

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答案 4.1 ( ) 和 积 2 ( ) x=y 2 P x=y P2 4

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[探 究]

2 .当 利 用 均 值 不 等 式 求 最 大

(小)值 时 , 等 号 取

不 到 时 , 如 何 处 理 ? 提 示 : 当 等 号 取 不 到 时 , 可 利 用 函 数 的 单 调 性 等 知 识 来 求 解 . 例 如 , 易 知 x=2时yn m i 1 y=x+ x 在x≥2时 的 最 小 值 , 利 用 单 调 性 , 5 = . 2

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1 1.若a>0,b>0, 且 a+b=1, 则a b+ a b ( ) A.2 1 7 C. 4 B.4 D.2 2

的 最 小 值 为

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解 析 : 由a+b=1,a>0,b>0得2 a b ≤a+b=1, 1 1 ∴ a b ≤2,∴a b ≤4. 1 令a b =t , 则0 < t≤4, 1 1 则a b +a 结 合 函 数 的 图 像 可 知 b =t+ t , 单 调 递 减 , 故 当 1 1 t= 时 , t+ 有 最 小 值 为 4 t 1 1 t+ t 在(0, 4 ]上 1 1 7 +4= . 4 4

答案:C

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2. 若 x+2y=4, 则 2x+4y的 最 小 值 是 A.4 C.2 2 B.8 D.4 2

(

)

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解 析 : ∵2x+4y≥2 · 2x · 22 y =2 · 2x+2y=2 · 24=8, 当 且 仅 当 2x=22y, 即 x=2y=2时 取 等 号 , 8 .

∴2x+4y的 最 小 值 为

答案:B

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3.下 列 函 数 最 小 值 为 4 A.y=x+ x C.y=3x+4 3 ·
-x

4的 是(

) 4

B.y=n s i x+n s i x(0<x<π) D.y=lgx+4 o lg 0 x1

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解 析 : A中 没 有 强 调

x>0不 能 直 接 运 用 基 本 不 等 式 , 故

不 对 . B中 虽 然 x∈(0,π),n s i x>0, 但 运 用 基 本 不 等 式 后 , 等 号 成 立 的 条 件 是 号 取 不 到 , 故 不 对 . 3 +4 3 ·
x
-x

n s i x=

4 n s i x

即n s i x=± 2矛 盾 , 所 以 等 式
3 2时

C中3x>0,∴可 直 接 运 用 基 本 不 等 4 3 = x, 即 3x=2,x=o l g 3
x

≥2 4 =4, 当 且 仅 当

取 等 号 , 故 正 确 . 定 大 于 0, 故 不 对 .

D中 由 于 没 有 给 出

x的 范 围 , 所 以

lgx不 一

答案:C
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1 1 4. 若 lgx+lgy=2, 则 x +y 的 最 小 值 是 1 A.2 0 1 C.2 1 B.5 D.2

(

)

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解 析 : ∵lgx+lgy=g l ( xy)=2,∴xy=1 0 0 , 1 1 ∴ x+ y≥2 1 1 xy=5.

答案:B

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5.2 ( 0 1 4 · _ _ _ _ _ _ _ _ .

合 肥 模 拟

4 )若x>-3, 则 x+ 的 最 小 值 为 x+3

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解 析 : ∵x>-3,∴x+3 > 0 , 4 4 ∴x+ =(x+3 )+ -3≥2 x+3 x+3 当 且 仅 当 x= - 1时 取 等 号 . 4 ?x+3?· -3=1 . x+3

答案:1

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突破考点·速通关02
互动探究·各个击破

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利 用 基 本 不 等 式 求 最 值

x y [例1] 1 ( ) 已知x,y∈R+,且满足 + =1,则xy的 3 4 最大值为________. 1 2 ( ) 若函数f(x)=x+ (x> 2 ) 在x=a处 取 最 小 值 , 则 x-2 a=________. 1 ( ) 直接利用基本不等式求解; 2 ( ) 先变形再利用基本不等式.
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x y [解 析] 1 ( ) 因 为 1=3+4 ≥2 以xy≤3, 当 且 仅 当 最 大 值 为 3 .

xy 3· 4 =2

xy 1 2=

xy 所 3, xy的

x y 3 即 x= 2 ,y=2时 取 等 号 , 故 3=4,

2 ( ) 当x>2时 , x-2 > 0 ,f(x)=(x-2 )+ 2≥2 1 ?x-2?× +2=4, 当 且 仅 当 x-2 f(x)取 得 最 小 值 时 ,

1 x-2



1 x-2= (x> 2 ) , x-2 x=3, 即 a=3 .

即x=3时 取 等 号 , 即 当

[答案] 1 ( 3 )
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2 ( 3 )
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方法探究
? ?1?若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等 式. ?2?若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对 式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等. ?3?若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用 函数单调性求解.

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1 ( 2 ( ) 0 1 4 · 小 值 为 ( A.2 C.4 2 ( 2 ( ) 0 1 4 · )

郑 州 模 拟

)若a>b>0, 则 代 数 式

a2+

1 的 最 b?a-b?

B.3 D.5 南 通 模 拟 )若 实 数 a,b满 足a b -4a-b+1= _ _ _ _ _ _ _ _ .

0 ( a> 1 ) , 则 (a+1 ( ) b+ 2 )的 最 小 值 为

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解 析 : 1 ( ) 依 题 意 得
2

a-b>0, 所 以 代 数 式 4 a· a2=4,
2

a+

2

1 b?a-b?

1 4 2 ≥a + =a +a2≥2 b+?a-b? 2 [ ] 2 当 且 仅 当 b=a-b>0, ? ? ? 2 4 a =a2, ? ?

2 即a= 2 ,b= 时 取 等 号 , 因 此 2 是4, 选 C.
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1 a+ 的 最 小 值 b?a-b?
2

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4a-1 2 ( ) ∵a b -4a-b+1=0,∴b= . a-1 ∵a>1,∴b> 0 . ∵a b =4a+b-1, ∴(a+1 ( ) b+2 ) =a b +2a+b+2 4a-1 =6a+2b+1=6a+ · 2+1 a-1 [4?a-1?+3 ] ×2 =6a+ +1 a-1

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6 =6a+8+ +1 a-1 6 =6 ( a-1 )+ +1 5 . a-1 ∵a-1 > 0 , ∴原 式 = 6 ( a-1 )+ 6 +1 5 ≥2 6×6 +1 5 =2 7, 当 且 a-1 ∴最 小 值 为 2 7 .

仅 当 (a-1 ) 2 =1 ( a> 1 ) ,即a=2时 成 立 .

答案:1 ( C )

2 ( 2 ) 7

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利 用 基 本 不 等 式 证 明 不 等 式

[例2] +b+c.

bc ca ab 已知a>0,b>0,c>0,求证: a + b + c ≥a

先局部运用基本不等式,再利用不等式的 性质相加得到.

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【证明】

∵a>0,b>0,c>0, bc ca a· b =2c; bc ab a· c =2b; ca ab · =2a. b c

bc ca ∴ a + b ≥2 bc ab a + c ≥2 ca ab + ≥2 b c

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bc ca ab bc 以上三式相加得:2( a + b + c )≥2(a+b+c),即 a + ca ab + ≥a+b+c, b c 当且仅当a=b=c时,取等号.

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方法探究
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出 发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理 最后转化为需证问题.

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已 知 a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1 . 1 1 1 求 证 : + + ≥9 . a b c

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证 明 : ∵a>0,b>0,c>0, 且 a+b+c=1 . 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+ c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+ c+ c b a c a c b =3+(a+b)+(a+ c)+(b+ c) ≥3+2+2+2=9, 当 且 仅 当 1 a=b=c= 时 , 取 等 号 . 3

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基 本 不 等 式 的 实 际 应 用

[例3] 2 ( 0 1 4 ·

太原模拟)如图,一个铝合金窗分为

上、下两栏,四周框架和中间隔挡的材料为铝合金,宽 均为6 c m 比为 ,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的 ,此铝合金窗占用的墙面面积为2 88 0 0c m
2



设该铝合金窗的宽和高分别为a c m ,b c m , 铝 合 金 窗 的 透光部分的面积为Sc m
2



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1 ( ) 试 用 a,b表 示 S; 2 ( ) 若 要 使 S最 大 , 则 铝 合 金 窗 的 宽 和 高 分 别 为 多 少 ? 由 题 意 建 立 面 积 式 的 定 义 域 .
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S与a,b的 关 系 式 , 确 定 函 数

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[解] 1 ( ) ∵铝 合 金 窗 宽 为 ∴a b =2 8 0 0 ,①

ac m , 高 为 bc m ,a>0,b> 0 .

又 设 上 栏 框 内 高 度 为

hc m , 则 下 栏 框 内 高 度 为

2h c m ,

b-1 8 则3h+1 8 =b,∴h= 3 . ∴透 光 部 分 的 面 积 ?b-1 8? 1 2 ) × 3 =(a-1 6 ( ) =2 8 0 0 S=(a-1 8 ) × 2?b-1 8? 3 +(a-

b-1 8 ) =a b -2 9 ( a+8b)+2 8 8 -2 9 ( a+8b).
第七章 第三节

-2 9 ( a+8b)+2 8 8 =2 9 0 8 8
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2 ( ) ∵9a+8b≥2 9a· 8b =2 9×8×2 8 0 0 当 且 仅 当 =2 8 8 0 . 9 b=8a,

9a=8b时 等 号 成 立 , 此 时

代 入 ①式 得 a=1 6 0 , 从 而 b=1 8 0 , 即 当 a=1 6 0 ,b=1 8 0 时 , S取 得 最 大 值 . ∴铝 合 金 窗 的 宽 为 部 分 的 面 积 最 大 . 1 6 0c m , 高 为 1 8 0c m 时 , 可 使 透 光

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方法探究
在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四 点: 1 ( ) 设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函 数; 2 ( ) 建立相应的函数关系式,确定函数的定义域; 3 ( ) 在定义域内只需再利用基本不等式,求出函数的最 值; (4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.
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2 ( 0 1 2 · 平 面 上 ,

江 苏 )如 图 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 y轴 垂 直 于 地 平 面 , 单 位 长 度 为

x O y ,x轴 在 地 1千 米 , 某 炮 位 于 y=kx- 1 2 0 (1+

坐 标 原 点 . 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程 k2)x2(k> 0 ) 表 示 的 曲 线 上 , 其 中 是 指 炮 弹 落 地 点 的 横 坐 标 .

k与 发 射 方 向 有 关 , 炮 的 射 程

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1 ( ) 求 炮 的 最 大 射 程 ; 2 ( ) 设 在 第 一 象 限 有 一 飞 行 物 度 为3 2 . 千 米 , 试 问 它 的 横 坐 标 击 中 它 ? 请 说 明 理 由 . (忽 略 其 大 小 ), 其 飞 行 高

a不 超 过 多 少 时 , 炮 弹 可 以

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1 解 :1 () 令y=0, 得 kx- (1+k2)x2=0, 由 实 际 意 义 和 2 0 题 设 条 件 知 x>0,k>0, k=1时 取 等 号 .

2 0k 2 0 2 0 故x= = 1≤ 2 =1 0, 当 且 仅 当 1+k2 k+k 所 以 炮 的 最 大 射 程 为 1 0千 米 .

2 () 因 为 a>0, 所 以 炮 弹 可 击 中 目 标 1 ka- (1+k2)a2成 立 2 0

?存 在 k>0, 使3 2 . =

?关 于 k的 方 程 a2k2-2 0a k +a2+6 4 =0有 正 根
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?判 别 式 Δ=(-2 0 a)2-4a2(a2+6 4 ) ≥0 ?a≤6 . 所 以 当 a不 超 过 6千 米 时 , 可 击 中 目 标 .

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1.公 式 的 逆 用 运 用 公 式 解 题 时 , 既 要 掌 握 公 式 的 正 用 , 也 要 注 意 公 式 的 逆 用 , 例 如 a2+b2≥2a b逆 用 就 是 a2+b2 a+b a b≤ ; 2 2

≥ a b (a,b> 0 ) 逆 用 就 是 “添 、 拆 项

a+b 2 a b ≤( 2 ) (a,b> 0 ) 等 , 还 要 注 意 .

”技 巧 和 公 式 等 号 成 立 的 条 件 等

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2.均 值 不 等 式 的 变 形 a2+b2 a+b 2 1 ( ) b (a,b∈R, 当 且 仅 当 2 ≥( 2 ) ≥a 等 号 ); 2 ( ) a2+b2 a+b 2 b ≥ 1 1 (a>0,b>0, 当 且 仅 当 2 ≥ 2 ≥ a + a b ). a=b时 取

a=b时 取 等 号

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3.利 用 均 值 不 等 式 求 最 值 应 注 意 的 问 题 1 ( ) 使 用 均 值 不 等 式 求 最 值 , 其 失 误 的 真 正 原 因 是 对 其 存 在 前 提 “一 正 、 二 定 、 三 相 等 ”的 忽 视 . 要 利 用 均 值 不

等 式 求 最 值 , 这 三 个 条 件 缺 一 不 可 . 2 ( ) 在 运 用 均 值 不 等 式 时 , 要 特 别 注 意 “拆” “ 拼” “ 凑”等 技 巧 , 使 其 满 足 均 值 不 等 式 中 “正” “ 定” “ 等”的 条 件 . 3 ( ) 连 续 使 用 公 式 时 取 等 号 的 条 件 很 严 格 , 要 求 同 时 满 足 任 何 一 次 的 字 母 取 值 存 在 且 一 致 .

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