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平面向量数量积 OK



1.向量的夹角? ?
b

一、复习引入

? ??? ? ??? ? ? ? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b ,
B

? b
O
?

?

a

则 ?AOB ? ? (0 ? ? ?

180 )
?

? a

注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的
A

O

? b

? a

? ? 叫做向量 a 和b
? a
B A
?

的夹角.

B

A
?

B

? b

O

? b
O

? ?

a
A

? ? a 与 b 同向

? ?0

? ? a 与 b 反向

? ? 180

? ? ? 记作 a ? b a 与 b 垂直,

? ? 90? ?

一、复习引入

F
2. 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,那么力F 所做的功应当怎样计算? θ

F?

s

? F s cos? W ? F ?s
'

? 其中力F 和位移s 是向量, 是F 与s 的夹角,而功是数量.

思考:功是一个标量,它由力和位移两个向量所确 定,数学上,我们把“功”称为向量F与s“数量积”. 一般地,对于非零向量a与b的数量积是指什么?

F

功:

W=|F||s|cos?

? s



B
b O ? a A

思考:由功的计算 如何类比概括出向 量数量积的定义?

二、平面向量的数量积
1.平面向量的数量积的定义:

? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为? ,我们把数量 ? ? ? ? ? ? | a || b | cos? 叫做 a 与b 的数量积(或内积),记作 a ? b ,


? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

b ?

B

O a A ? ? 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 a ? 0 ? 0.
注:(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定.

(2)a ? b 不能写成 a ? b, ,而 a ? b 表示向量的另一种运算(外积) ab

??

? ? ??

? ?

? ? 例1.已知| a |=5,| b

例题讲解

? ? ? ? 解:a ? b ? a b cos? ? 5 ? 4 ? cos120?? 5 ? 4 ? (? 1 )
2 ? ?10

? ? ? ? ? a |=4, 与 b 的夹角 ? ? 120 ,求 a ? b

.

例2.已知正三角形ABC的边长为1,求 ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? (1) ? AC ;(2) ? BC ;(3)BC ? AC AB AB

A
60
?

1 ? 解:) AB ? AC ? AB AC cos 60 ? (1 2 1 (2) AB ? BC ? AB BC cos120 ? ? 2 1 ?? (3) BC ? AC ? BC AC cos 60 2
?

B

C

进行向量数量积计算时, 既要考虑向量的模,又 要根据两个向量方向 确定其夹角。

2.平面向量的数量积的几何意义: (1)投影的概念 如图:OA ? a, OB 为 B1 , 则 OB1 ?

? b, ?AOB ? ?

b cos? , ? ? b cos? 叫做向量 b在 a 方向上的投影 ? ? a cos? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影
B b B b B b

过B作 BB1垂直OA,垂足 B

b
?
O

a

B1

A

?
O

?
O a B1 θ为钝角时, | b | cosθ<0

a B A 1 θ为锐角时, | b | cosθ>0

A

? O( B1 )

投影是一定 是正数吗?

A a θ为直角时, | b | cosθ=0

2.平面向量的数量积的几何意义: (2)数量积的几何意义

? ? ? ? 思考:根据投影的概念,数量积 a ? b ?| a || b | cos?
的几何意义如何?

a ? b 的几何意义是: 数量积 a ? b 等于a 的模
方向上的投影 b

? a

与b 在 a

cos? 的乘积
?

? 例3、b ? 6 ,a ? 3 , a
方向上的投影为

? 与b


? 的夹角为 45 ,则 b

在a

?

3 2

? ? ? ? 设 a 与 b 都是非零向量, 为 a 与b 的夹角,则 ?
? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
讨论 总结 数量 积性 质:

三、平面向量数量积的性质

(1)a ? b ? a ? b ? 0 (判断两向量垂直的依据)

(2)a , b同向 ? a ? b ?| a || b |

? ?

? ?

? ?

a , b反向 ? a ? b ? ? | a || b |
(3) ? a a

? ?

? ?

? ?

a ?b (4)cos? ? ? ? | a || b |
(5)a ? b

?| a | 或| a |? a ? a ? ?
2

可用来求向量的模

? ab

三、平面向量数量积的性质 例4.判断下列命题是否正确:

1.若a=0,则对任意向量b,有a · b=0.
2.若a≠0,则对任意非零向量b,有a · b≠0.

(

)

(×)

3.若a≠0,且a · b=0,则b=0.
4.若a· b=0,则a=0或b=0. 5.对任意的向量a,有a2=│a│2. 6.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c.

(×)
(×) ( )

(×)

已知向量

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? (2)(?a ) ? b ? = a ? (?b ) 。(与数乘的结合律) ? ? ? ? ? ? ? a ? c ? b ? c (分配律) ( (3) a ? b ) ? c ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 思考:(1)对于非零向量 a 、 、 ,(a ? b ) ? c 与a ? (b ? c ) b c
相等吗? (2)对于非零向量

? ? (1)a ? b ?

?四、平面向量数量积的运算律 ? ? a ,b , 和实数? ,则 ?c

? b ?a

。(交换律)

? ? ? ? ? ? ? ? ? a 、 b 、 c , a ? b ? a ? c ,则b ? c 吗? 若

? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (3)对于向量a、b , ? b ) ? a ? 2a ? b ? b 是否成立? (a ? ? ? ? ?2 ?2 (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b 是否成立?

例题讲解

? ? ? ? ? 例5:已知向量 a 与 b 的夹角为120 ,且 a ? 4, b ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 求:(1) a ? b (2) 3a ? 4b (3) ? a ? b ? ? ? a ? 2b ?
? ? ?? ?2 ? ?? ?2 2 (1) a?? b? ? (? ? b ) ? ? 2 ? ? a ? b ? b2 a a 2

(3) (a ? b ) ? (a ? 2b ) ? a ? a ? b ? 2b

?2 ?2 ? ? ? ? a ? 2 a ? b cos120 ? b ? 12 ? 2 3 ?2 ?2 ? ? ? ? a ? a ? b cos120 ? 2 b ? 12 ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ? ? (2) 3a ? 4b ? (3a ? 4b ) ? 9a ? 24a ? b ? 16b

? 304 ? 4 19

五、巩固与练习

? ? ? ? 1、若a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角? 的取值范围是( C )
? ?? A、0, ? ? 2? ?
?? ? B、? , ? ? ?2 ? ?? ? C、? , ? ? ?2 ?

?? ? D、 , ? ? ? ?2 ?

2、下列等式中正确的个数是(
① ④

? 2 ?2 a ?a
2



a?b a
2
2

?

B) b ③

a

(a ? b) ? a ? b
2
2

2

2

(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b
B、2个 C、3个

A、1个

D、4个

五、巩固与练习
3.在?ABC中, ? BC ? 0,则?ABC的形状是 AB

D
D.不能确定

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

4.在?ABC中, ? BC ? 0,则?ABC的形状是 AB

C
D.不能确定

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

5、若 m ? 4, n ? 6 , 与 n 的夹角为135? ,则 m ? n m
= ? 12 2 。

? 与 ? 的夹角为 ? 6、 ? 4 , a b 30 a


? ,则 a

? 在 b 方向上的投影

2 3



? ? ? ? ? b 7、已知 a ? 4 , ? 3 ,当(1) a // b ;(2) ? b 时,求 ? b a a ? 解:(1)a // b 时 有以下两种情况 ? ? ? ? ? 当 a 与 b 同向时 a ? b ? a ? b ? 12 ? ? ? ? ? 当 a 与 b 反向时 a ? b ? ? a ? b ? ?12 ? ? ? (2) a ? b 时 a ? b ? 0
? ? ? ? ? ? 8、 已知非零向量 a 与 b,满足 a ? 2 b ,且 a ? b ? ? ? ? 与 a ? 2b 垂直,求证: ? b a

五、巩固与练习

五、巩固与练习

9.已知 a ? 5, b ? 4, 且a与b夹角为60 ,问k为何值时, 使 k a ? b ? a ? 2b

?

?

? ?

解 :? k a ? b ? a ? 2b
2
2

? ? 2 ? k a ? 2k a ? b ? b ? a ? 2b ? 0
? k a ? ?2k ? 1?a ? b ? 2 b ? 0
2

?

? ?

?

?

? k a ? b ? a ? 2b ? 0

?

??

?

1 ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos 60? ? 5 ? 4 ? ? 10 2
14 解得 : k ? 15
所以当k ?

? k ? 25 ? ?2k ? 1??10 ? 2 ?16 ? 0

两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方 法之一.

14 时, k a ? b ? a ? 2b 15

?

? ?

?

A C
O

B

六、课堂小结
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算,它与向量的加法、减 法、数乘运算一样,也有明显的物理背景和几何意义,同时还有一 系列的运算性质,但与向量的线性运算不同的是,数量积的运算结 果是数量而不是向量. 2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致,应用时不要 似是而非. 3. 利用 a ? a ?| a | 或| a |? 在字符运算中是一种常用方法.
2

a?a

可以求向量的模,

4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、 不等式等问题,它是一个工具性知识点,具有很强的功能作用.

六、课堂小结 对功W=|F||s|cos?结构分析
抽 象

几何 意义

数形 结合

平面向量数量积的定义 → → a ·b=| a | | b | cos ? 公 式 变 形 特 殊 化

灵活 运用

解决 问题

五条重要性质



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